探尋一次函數(shù)的平移規(guī)律

說到平移，大家一定不陌生。如果我們把一次函數(shù)圖像進(jìn)行平移，會發(fā)生什么呢？

比如，一次函數(shù)y=2x。當(dāng)它的圖像向上平移3個單位時，函數(shù)表達(dá)式為y=2x+3（如圖1），平移前后k值不變，b值的變化揭示了平移的方向和距離。正如教材所言：“一次函數(shù)y=kx+b的圖像可以由正比例函數(shù)y=kx的圖像向上（b＞0）或向下（b＜0）平移|b|個單位長度得到”，即“上下平移”的規(guī)律。應(yīng)用此規(guī)律可直接寫出“上下平移”后的函數(shù)表達(dá)式。

但你發(fā)現(xiàn)了嗎？圖1中的圖像向上平移3個單位，也可以看成向左平移1.5個單位。那么“左右平移”和“上下平移”有什么關(guān)系？這兩種平移之間可以相互轉(zhuǎn)化嗎？我們不妨以圖2為例，繼續(xù)探尋其中的奧秘。

由圖2可知：k＞0，b＞0，直線AB與坐標(biāo)軸的公共點坐標(biāo)分別為A（0，b），B（-[bk]，0），因此OA=b，OB=[bk]（我們稱OA、OB為圖像平移前后產(chǎn)生的縱橫截距）。也就是將y=kx+b向下平移b個單位或者向右平移[bk]個單位都可以得y=kx，而OA∶OB=b∶[bk]=k，則OA=kOB，即縱截距=橫截距×k，這樣，左右平移就可以轉(zhuǎn)化為上下平移啦！我們來驗證下：如圖1，y=2x向左平移1.5個單位，就是向上平移1.5×2=3個單位，得y=2x+3，成立。我們再試一個k＜0的情況（如圖3）：y=-0.5x+2向左平移6個單位，則向上平移6×（-0.5）=-3個單位，即向下平移3個單位，得y=-0.5x-1，成立！

我們用y=kx（k＞0）形式表達(dá)這個“規(guī)律”：一次函數(shù)y=kx向右平移t個單位，即向下平移kt個單位，新表達(dá)式為y=kx-kt=k（x-t）；一次函數(shù)y=kx向左平移t個單位，即向上平移kt個單位，新表達(dá)式為y=kx+kt=k（x+t）。應(yīng)用此規(guī)律，“左右平移”的函數(shù)表達(dá)式就可以直接寫出啦。大家可以再描述k＜0的一般情況。

從熟悉的上下平移轉(zhuǎn)化為左右平移，我目睹了“數(shù)”與“形”的微妙關(guān)聯(lián)，這個過程真有意思！聽老師說，未來我們還要學(xué)習(xí)更為復(fù)雜的函數(shù)，在“數(shù)形結(jié)合”和“轉(zhuǎn)化”的思想帶領(lǐng)下，我信心滿滿！

教師點評：

小沈同學(xué)探尋一次函數(shù)平移規(guī)律，從“上下平移”出發(fā)，運用“轉(zhuǎn)化”，找到了與“左右平移”的關(guān)系，將教材知識進(jìn)行了拓展。這種化陌生為熟悉，正是認(rèn)知未知世界的能力！函數(shù)之旅剛剛起步，讓我們一起去領(lǐng)略函數(shù)的無限風(fēng)光！

（指導(dǎo)教師：蔣瑾鑫）