巧用導(dǎo)數(shù)求解含參函數(shù)零點(diǎn)問題
——以2022年全國乙卷第21題為例

王 慧

(揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,江蘇 揚(yáng)州 225009)

含參函數(shù)y=f(x,t)是隨參數(shù)變化而變化的動(dòng)態(tài)函數(shù),含參函數(shù)零點(diǎn)問題既是高考?？嫉臒狳c(diǎn),也是難點(diǎn).解決問題的關(guān)鍵是對(duì)參數(shù)的處理,有直接討論、分離參數(shù)兩種解決思路.本文基于這兩種思路,以2022年全國乙卷(理)第21題為例,給出三種解法,并對(duì)解法進(jìn)行再反思.

1 真題再現(xiàn)

題目(2022年全國乙卷(理),21題)已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)+axe-x,

(1)當(dāng)a=1時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程;

(2)若f(x)在區(qū)間(-1,0),(0,+∞)各恰有一個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍.

第(1)問先算出切點(diǎn),再求導(dǎo)得出斜率,最后根據(jù)點(diǎn)斜式方程便可得到切線方程;第(2)問是含參函數(shù)的零點(diǎn)問題,函數(shù)中包含學(xué)生熟知的以e為底的對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù),但又包含具有變化性的參數(shù),所以它考查學(xué)生思維的靈活性、創(chuàng)新性,綜合運(yùn)用知識(shí)的能力以及數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).下面是對(duì)第(2)問解法的探究.

2 解法探究

2.1 直接討論法

解決函數(shù)零點(diǎn)問題最直接的辦法就是求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性得到函數(shù)的單調(diào)性和極值、最值的符號(hào),進(jìn)而根據(jù)零點(diǎn)存在性定理判斷函數(shù)零點(diǎn)的存在情況[1].但對(duì)于含參函數(shù)來講,它是隨參數(shù)變化而變化的動(dòng)態(tài)函數(shù),并且原函數(shù)和導(dǎo)數(shù)中都含有參數(shù),所以在判斷函數(shù)單調(diào)性時(shí),就要考慮參數(shù)對(duì)某一區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性判斷是否有影響,如果有影響,必須分類討論.

解法1(ⅰ)當(dāng)a≥0時(shí),在(0,+∞)內(nèi)ln(1+x)>0,axe-x≥0,即f(x)>0.

所以f(x)在(0,+∞)內(nèi)無零點(diǎn),不合題意.

顯然g′(x)在(-1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,且g′(-1)=e-1+2a,g′(0)=1.

所以g(x)>g(-1)>0,即f′(x)>0.

所以f(x)在(-1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.

又f(0)=0,所以f(x)在(-1,0),(0,+∞)內(nèi)都沒有零點(diǎn),不合題意.

②當(dāng)g(x)<0,即a<-1時(shí),存在x1∈(-1,0),x2∈(0,1)使g(x1)=g(x2)=0.

對(duì)f(x)的單調(diào)性分析見表1:

表1 f(x)的單調(diào)性分析

因?yàn)閒(0)=0,所以f(x1)>0,f(x2)<0.

又當(dāng)x→-1時(shí),f(x)<0,當(dāng)x→+∞時(shí),f(x)>0,所以f(x)在(-1,0),(0,+∞)內(nèi)各恰有一個(gè)零點(diǎn).

綜上所述,a的取值范圍是(-∞,-1).

第(2)問處理的關(guān)鍵是在第(1)問中已算出f(0)=0,以及對(duì)參數(shù)a的分類,肯定與否定并用,否定只需說明在區(qū)間(-1,0)或(0,+∞)內(nèi)f(x)沒有零點(diǎn)即可.

2.2 分離參數(shù)

函數(shù)的零點(diǎn)問題可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)問題,也可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題,對(duì)于含參函數(shù)來說,通常是常函數(shù)與不含參的函數(shù),或者是含參的一次函數(shù)與不含參的函數(shù).

2.2.1完全分離參數(shù)

故h(x)在(-1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.

又h(0)=0,所以對(duì)g(x)的單調(diào)性分析見表2:

表2 g(x)的單調(diào)性分析

由極限思想可畫出y=g(x)的大致圖象.

由圖知當(dāng)a<-1時(shí),滿足曲線y=g(x)與直線y=-a在(-1,0),(0,+∞)內(nèi)各有一個(gè)交點(diǎn),綜上, 符合題意的a的取值范圍是(-∞,-1).

利用導(dǎo)數(shù)繪制函數(shù)g(x)的圖象,然后通過平移直線y=-a得到符合題目要求的a的取值范圍.

2.2.2不完全分離參數(shù)

令f(x)=0,得到ln(1+x)ex=-ax.將原問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(x)=ln(1+x)ex的圖象與直線y=-ax的交點(diǎn)問題.

解法3令g(x)=ln(1+x)ex,顯然g(x)在(-1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,由極限思想可畫出g(x)的大致圖象.

設(shè)曲線y=g(x)與直線y=-ax在[0,+∞)內(nèi)的切點(diǎn)為(x0,-ax0),則有

解得x0=0,a=-1,此時(shí)曲線y=g(x)與直線y=-ax在(0,+∞)內(nèi)沒有交點(diǎn),在(-1,0)內(nèi)有一個(gè)交點(diǎn).

所以當(dāng)a<-1時(shí),滿足曲線y=g(x)與直線y=-ax在(-1,0),(0,+∞)內(nèi)各有一個(gè)交點(diǎn).

綜上,符合題意的a的取值范圍是(-∞,-1).

此方法將a賦予了更明確的幾何意義——斜率,根據(jù)兩個(gè)函數(shù)在切點(diǎn)處的函數(shù)值和切線斜率相同,算出相切情況下a的值.此處函數(shù)g(x)比較特別,它在(0,+∞)內(nèi)的圖形是凹的,而且在曲線y=g(x)與直線y=-ax相切時(shí),以及在旋轉(zhuǎn)直線y=-ax使兩者在(0,+∞)內(nèi)相交的過程中,兩者在(-1,0)內(nèi)恒有交點(diǎn).

3 結(jié)束語

這兩種思路都是利用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)零點(diǎn)問題的常用方法.對(duì)于這三種解法各有利弊,直接討論法是解此題型的通用方法,其關(guān)鍵是對(duì)參數(shù)的處理,需要熟練掌握一元一次、一元二次、分式、指數(shù)、對(duì)數(shù)等不等式的解法,而且有時(shí)還會(huì)涉及隱零點(diǎn)問題.在遇到無法求解的不等式時(shí),通常需要二次求導(dǎo)來研究[2],解題過程復(fù)雜、繁瑣,這就要求學(xué)生思維縝密細(xì)致,并且對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力、邏輯推理能力等要求較高.

完全分離參數(shù)法借助數(shù)形結(jié)合,經(jīng)過平移直線與曲線相交,進(jìn)而得到參數(shù)的取值范圍,但是并不是所有的函數(shù)都能分離出參數(shù).不完全分離參數(shù)法實(shí)際上也是從函數(shù)圖象入手,將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)換為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題,但與完全分離參數(shù)法不同的是,它是從兩個(gè)函數(shù)圖象相切的臨界情況入手,再通過直線繞定點(diǎn)旋轉(zhuǎn),得到曲線和直線相交且符合題意的情況,進(jìn)而求出參數(shù)的取值范圍.需要注意的是,這種方法只適合于在整個(gè)定義域內(nèi)凹凸性不變的函數(shù),或者在某個(gè)區(qū)間凹凸性不變,在另外的區(qū)間內(nèi)恒符合題目要求的函數(shù).

參數(shù)分離法雖然避免了對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論,但是它是借助數(shù)形結(jié)合思想來解決問題,缺乏嚴(yán)謹(jǐn)性,而且在刻畫不含參部分函數(shù)的大致圖象時(shí),會(huì)借助極限思想.而極限思想對(duì)高中生的思維來講較困難,所以這個(gè)方法更適合用于選擇題或填空題中.

在高中數(shù)學(xué)知識(shí)庫中,函數(shù)占有很大比重,而導(dǎo)數(shù)是其中的重中之重,并且在高考選擇題、填空題、簡答題中都有所涉及.所以這就要求教師在教學(xué)時(shí)善于使用教材進(jìn)行教學(xué),幫助學(xué)生構(gòu)建完整的知識(shí)框架.另外在教學(xué)過程中,教師要有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生設(shè)而不求、分類討論、等價(jià)轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等思想,以及發(fā)展學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng).