一項改進(jìn)小數(shù)乘法豎式教學(xué)的實驗研究

□羅永軍 許兆琛

在小學(xué)數(shù)學(xué)中，存在一些常見且易導(dǎo)致學(xué)生出錯的問題，這些問題常常被教師戲稱為“坑”。盡管教師和學(xué)生都對這些“坑”的存在心知肚明，但不管教師怎么提醒，學(xué)生還是會不由自主地“掉”進(jìn)去。例如，受小數(shù)加減法豎式計算的影響，學(xué)生在進(jìn)行小數(shù)乘法的豎式計算時，往往習(xí)慣性地將小數(shù)點對齊。然而，小數(shù)乘法的豎式計算應(yīng)當(dāng)采取末尾對齊的方式。正是這種計算上的習(xí)慣，導(dǎo)致學(xué)生出現(xiàn)各種錯誤（如圖1）。

圖1

學(xué)生出錯的原因，與“同形繼承”這一既有經(jīng)驗有關(guān)。［1］當(dāng)前的教學(xué)主要側(cè)重于通過理解乘法的意義和積的變化規(guī)律來理解算理，進(jìn)而明確算法。盡管算理的理解相對容易，但在實際操作中，由于正處于具體運算階段，學(xué)生的思維依賴可見的具體形式，所以當(dāng)他們看到小數(shù)點時，就不由自主地將其對齊進(jìn)行運算，從而導(dǎo)致計算出錯。此外，受“乘法是越乘越大”（積大于因數(shù)）這一經(jīng)驗的負(fù)遷移，學(xué)生反而會認(rèn)為錯誤的結(jié)果是正確的。因此，僅僅依靠教師的不斷提醒并不能從根本上解決問題。學(xué)生的問題就是教學(xué)研究的課題，筆者試圖重新審視問題的根源，從算理入手，探索破解之道。

一、數(shù)學(xué)本質(zhì)的分析

數(shù)是對數(shù)量的抽象，分析算理需要把數(shù)的運算還原為數(shù)量之間關(guān)系的比較。小數(shù)加減法之所以要求小數(shù)點對齊或者說相同數(shù)位對齊，是由加減法的意義決定的，即表示兩個同類量的合并與分離。例如，買了5.7元蘋果與4.12元桃子，一共要付多少元？解決這個問題就是要把兩個同類量合并成一個新的數(shù)量。合并時，要把相同單位上的數(shù)合在一起（如圖2），5元和4元相加得到9元，7角和1角相加得到8 角，再與2 分相加，得到9 元8 角2 分，即9.82元。這種相同單位上數(shù)量的加減運算，抽象到數(shù)的加減運算層面，就是相同計數(shù)單位的數(shù)的加減運算。因此，小數(shù)加減法的豎式計算要求小數(shù)點對齊。

圖2

對于小數(shù)乘整數(shù)的運算，乘法的意義是若干個相同加數(shù)相加。因此，當(dāng)兩個因數(shù)相乘時，它們所表示的意義是不同的：一個表示“相同加數(shù)”，另一個表示相同加數(shù)的“個數(shù)（倍數(shù)）”。例如，買了2千克單價是5.7元/千克的蘋果，一共花了多少錢？5.7元/千克和2千克并非同類量，單位也不同。這里的2 需要與5 和7 分別相乘，因此，在進(jìn)行乘法計算時，并不要求數(shù)位對齊（如圖3）。

圖3

實際上，從計數(shù)單位運算的一致性視角來看，可以把5.7元理解為57個0.1元，即57角，而2個57角就是114角。這樣，小數(shù)乘整數(shù)就可以全部轉(zhuǎn)化為整數(shù)乘法。這就提供了另一條豎式教學(xué)路徑，即無須依賴積的變化規(guī)律，而是通過“整數(shù)化”的方法進(jìn)行計算，如5.7×2=57×2×0.1=11.4（元）（實際書寫時先寫結(jié)果114，然后再加小數(shù)點）。在豎式中，像這樣直接按整數(shù)乘法的法則進(jìn)行計算，不加小數(shù)點，使得算理和算法得以統(tǒng)一，既易于理解，又便于操作。

那么，對于小數(shù)乘小數(shù)的運算，是否也可以采用類似的思路進(jìn)行教學(xué)呢？答案是肯定的。其中，乘法的面積模型為小數(shù)乘法整數(shù)化的算理和算法提供了支持。

二、參考教材的思考

用面積模型解釋小數(shù)乘法的意義在歐美教材中已經(jīng)使用多年，如美國的California Mathematics（《加州數(shù)學(xué)》）。該教材提供了一種讓學(xué)生直觀理解小數(shù)乘法意義的方法，這種方法是用方格圖來表示小數(shù)單位及小數(shù)運算（如圖4），被稱為模型圖（Models）。方格圖由10×10 即100 個方格組成，表示1；一行或一列10 個方格組成數(shù)條，表示0.1 或；每個方格表示0.01或?qū)W生三年級第一次認(rèn)識小數(shù)時，便開始使用這一模型圖［2］，并在后續(xù)小數(shù)學(xué)習(xí)過程中反復(fù)應(yīng)用。

圖4

在教學(xué)小數(shù)乘小數(shù)時，教材通過小數(shù)模型直觀形象地呈現(xiàn)了0.8× 0.4 的計算過程［3］：首先，構(gòu)建一個10×10 的空白小數(shù)模型，每個小方格表示1 個0.01。然后，用涂色表示第一個因數(shù)0.8，即每行表示1 個0.1，涂8 行。接著，將模型中的4 列小方格涂成藍(lán)色，表示乘0.4。涂色后的重疊部分即為乘積。這種計算方式實際上是在計算長方形的面積，面積單位與小數(shù)單位相對應(yīng)，即0.8×0.4=8×4×0.01=0.32（如圖5）。

圖5

美國教材的編排與筆者的設(shè)想不謀而合，除了上述簡單的小數(shù)乘法，對其他類型的乘法，如0.7×2.5、2.5×1.36、0.036×3500 等，也可以用如下的形式進(jìn)行計算（如圖6）。需要注意的是，在列豎式時，如果涉及小數(shù)乘整十?dāng)?shù)、整百數(shù)等的乘法運算，應(yīng)先化簡再計算。

圖6

三、學(xué)生研究

從運算的一致性視角，把小數(shù)乘法整數(shù)化，無論是算理還是算法，都是自洽的。此種方法有助于消除學(xué)生面對小數(shù)乘法時可能產(chǎn)生的混淆和困擾。然而，實際效果究竟如何？為探究此問題，本研究設(shè)計了針對小數(shù)乘法常見類型的問卷調(diào)查（如圖7），并進(jìn)行了對照實驗。

圖7

第1部分是小數(shù)加減法，共4題，分別涉及了小數(shù)加減法的常見類型，以了解學(xué)生對數(shù)位對齊的掌握情況。第2部分包含小數(shù)乘法常見的三種類型：第①②題是小數(shù)乘整數(shù)；第③⑤⑥題是小數(shù)乘小數(shù)，分別為一位小數(shù)乘一位小數(shù)、一位小數(shù)乘三位小數(shù)但轉(zhuǎn)化為整數(shù)是三位數(shù)乘兩位數(shù)、一位小數(shù)乘兩位小數(shù)但轉(zhuǎn)化為整數(shù)是兩位數(shù)乘三位數(shù)；第④⑦⑧題是小數(shù)乘整十?dāng)?shù)。

本研究分別于2021年和2023年對兩屆學(xué)生進(jìn)行了對照實驗。結(jié)果顯示，兩屆學(xué)生的實驗結(jié)果基本一致。以2023年為例，對學(xué)校五年級240人進(jìn)行了前測。其中，有42人全對或只是在進(jìn)位上出錯，表明他們已提前掌握了小數(shù)乘法。因此，在統(tǒng)計實驗人數(shù)時，這42名學(xué)生排除在外（僅在統(tǒng)計數(shù)據(jù)時排除，實際教學(xué)時仍正常參與）。實際列入對照分析的學(xué)生人數(shù)共計198 人，其中實驗班人數(shù)為95人，對照班人數(shù)為103人。

分析結(jié)果顯示，小數(shù)加減法的正確率較高，達(dá)到了約92%。研究還發(fā)現(xiàn)，小數(shù)加減法的正確率與小數(shù)乘法的正確率之間并無顯著相關(guān)性，即加減運算的技能并不能直接遷移到乘法運算中。然而，加減運算的經(jīng)驗卻對乘法運算產(chǎn)生了普遍的負(fù)遷移。具體前測情況如表1所示。

表1 前測正確率統(tǒng)計表

從上表可以看出，對照班在每一題上的正確率幾乎都略高于實驗班，但差異并不顯著。在前測中，學(xué)生的主要錯誤來自小數(shù)點的干擾，從而造成對位混亂以及積的小數(shù)位數(shù)錯誤。由此可見，亟須探索一種有效的方法來使學(xué)生擺脫這一困境。

四、教學(xué)實驗

（一）實驗設(shè)計

鑒于將小數(shù)乘法整數(shù)化處理后，“小數(shù)乘整數(shù)”與“小數(shù)乘小數(shù)”的算法就達(dá)成了統(tǒng)一，因此將它們合并于同一課時進(jìn)行教學(xué)。教學(xué)設(shè)計遵循浙教版教材五年級上冊“小數(shù)乘法”的有關(guān)內(nèi)容，具體分為五個環(huán)節(jié)：（1）情境引入。（2）讓學(xué)生獨立思考并交流7.8×2的豎式計算方法，通過面積模型理解算理。（3）延伸，嘗試數(shù)學(xué)情境中0.55×2.6 的計算。（4）鞏固練習(xí)。根據(jù)因數(shù)判斷積的小數(shù)位數(shù)、直接由整數(shù)積得出小數(shù)乘法結(jié)果，以及列豎式計算2.5×0.08、2.5×1.36、0.036×3500 等。（5）課堂小結(jié)。在對比實驗過程中，對照班與實驗班的主要區(qū)別在于“列豎式”這一環(huán)節(jié)，即實驗班在列豎式時將因數(shù)由小數(shù)改成整數(shù)，以減少小數(shù)點對計算的干擾。那么，這一細(xì)微改變將如何影響教學(xué)效果呢？

（二）實驗結(jié)果

為便于對比分析，后測卷與前測卷的內(nèi)容保持一致，具體結(jié)果如表2所示。

表2 后測正確率統(tǒng)計表

對于小數(shù)乘法計算，經(jīng)過與前測數(shù)據(jù)的對比，發(fā)現(xiàn)實驗班每一題計算的正確率都超越了對照班。實際上，從2021年的實驗開始，就發(fā)現(xiàn)這樣的豎式計算對學(xué)生幫助很大，效果明顯，所以這次筆者將基礎(chǔ)稍顯薄弱的班級作為實驗班。從后測數(shù)據(jù)來看，實驗班的正確率還是全面超越對照班，并未對原有的小數(shù)加減法計算能力產(chǎn)生負(fù)面影響。更值得關(guān)注的是小數(shù)乘法中最容易出錯的兩種情況，經(jīng)過測試驗證，新方法在以下兩個方面表現(xiàn)出的差異顯著：（1）當(dāng)兩個因數(shù)相乘的結(jié)果的末尾為0時，如1.76×5（P=0.000），新方法顯著提高了正確率；（2）當(dāng)小數(shù)乘整十?dāng)?shù)，且因數(shù)本身含有0，乘積末尾也有0時，如2.75×140（P=0.004）、280×1.35（P=0.002），新方法同樣展現(xiàn)出了明顯的優(yōu)勢。

五、分析與討論

從后測結(jié)果來看，實驗班在計算正確率上顯著超越了對照班。這一令人欣喜的進(jìn)步在小數(shù)乘法的教學(xué)中具有特殊意義。這是因為小數(shù)乘法的豎式計算歷來都被視為教學(xué)中的難點，盡管教師反復(fù)強(qiáng)調(diào)，學(xué)生也經(jīng)過了反復(fù)的練習(xí)，但仍無法完全掌握，經(jīng)常出現(xiàn)反復(fù)犯錯的情況。

現(xiàn)在，筆者只是在本實驗教學(xué)中作了一點小小的改進(jìn)，就觀察到了顯著的效果。這種改進(jìn)基于運算的一致性原理，將小數(shù)乘法整數(shù)化后轉(zhuǎn)化為整數(shù)乘法進(jìn)行計算。這種方式用橫式對應(yīng)算理、豎式對應(yīng)算法，使得學(xué)生在處理豎式計算時，能夠?qū)⑵湟暈榕c整數(shù)乘法完全相同的計算方法。這一轉(zhuǎn)變消除了數(shù)位對齊和末尾對齊兩者之間差異對學(xué)生的干擾，從而顯著提高了學(xué)生的計算正確率。進(jìn)一步分析表明，在傳統(tǒng)的算法中，豎式計算中因數(shù)帶小數(shù)點對成人來說可能影響不大，但對于學(xué)生來說卻是一個很大的挑戰(zhàn)。這主要是因為學(xué)生的大腦皮層尚未發(fā)育完全，神經(jīng)元連接的穩(wěn)定性相對較弱，導(dǎo)致他們在處理類似問題時更依賴于原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。所以，當(dāng)對新的教學(xué)內(nèi)容作微小的改動，以融入學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)時，他們會更容易掌握。

類似地，對于小數(shù)除法的易錯點——除數(shù)是小數(shù)的除法問題，也可以從運算一致性的視角出發(fā)，將除數(shù)整數(shù)化來解決。例如：35.7÷0.17=3570÷17=210、3.57÷0.17=357÷17=21、0.357÷0.17=35.7÷17=2.1。這種方法實際上在多年前就已被提出，并在一些學(xué)校中得到了應(yīng)用。在浙教版教材五年級上冊中，小數(shù)除法的豎式計算就同時呈現(xiàn)了“畫去小數(shù)點”和“整數(shù)化”兩種方法，而學(xué)生在實際應(yīng)用中更傾向于使用后者，認(rèn)為這種方式更加清晰明了。

盡管小數(shù)除法豎式計算的整數(shù)化方法已經(jīng)進(jìn)入教材多年，并幫助無數(shù)學(xué)生提高了計算正確率，但小數(shù)乘法的豎式計算是否也可以作為算理算法相融的一種樣例進(jìn)入教材呢？提供多種選擇對學(xué)生來說無疑是有益的，而且從運算一致性的視角來看，這種方法有助于學(xué)生從整體理解和掌握四則運算的算理。希望本文能引起更多教師的關(guān)注，并開始深度嘗試這種教學(xué)方法，從而為學(xué)生帶來更好的學(xué)習(xí)效果。