源于情境 類比抽象 應用深化
——以“分量+分量=總量”模型構建為例

□盛國平 盛勤杰

數量關系不僅是解決問題的核心，也是培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)的關鍵?！读x務教育數學課程標準（2022年版）》強調讓學生經歷在具體情境中運用數量關系解決問題的過程，并明確提出“分量+分量=總量”這一數量關系，為數量關系的教學提供了清晰的方向。

然而，在課堂中存在教學零碎化和片面性的問題。部分教師過于側重計算技能的培養(yǎng)，這在一定程度上削弱了學生構建數量關系的能力。如何有效進行數量關系的教學？對此，不少教師感到迷茫。本文以人教版教材三年級上冊“三位數加三位數”的教學內容為例，探討如何借助具體情境，引導學生自主探究，深入理解“分量+分量=總量”這一數量關系的形成過程，進而培養(yǎng)他們的自主探究能力與數量關系的構建能力。

一、利用現實情境，感知數量關系模型

教師通過實物或圖片，為學生構建與生活息息相關的現實情境，引導學生在提取并分析信息的過程中，激活已有知識經驗，形成新的認知沖突。同時，通過數形結合，幫助學生理解現實情境，切實感悟數量之間的模型關系。

（一）創(chuàng)設情境，提取信息

學生對數量關系的理解必須建立在具體的情境之上。通過對具體情境的感知，學生就能夠從中提取并分析出與數量關系緊密相關的信息。

師：學校組織同學們到動物園參觀。這些濕地野生動物你都了解嗎？

教師用課件出示主題圖（如圖1）。

圖1

師：濕地孕育了豐富多樣的野生動物，下面是關于中國濕地部分動物重量的統(tǒng)計表（如表1），你從中獲得了哪些數學信息？

表1

生：濕地動物丹頂鶴重13 千克，麋鹿重122 千克，鱷魚重317千克。

師：你們能據此提出與數學有關的問題嗎？

生：丹頂鶴和麋鹿一共重多少千克？

生：麋鹿和鱷魚一共重多少千克？

生：丹頂鶴和鱷魚一共重多少千克？

生：麋鹿比丹頂鶴重多少千克？

將生活中的實例引入數學教學，可以拉近課堂與實際生活之間的距離，使學生更易于發(fā)現情境中的數學信息。學生通過對這些信息的搜集和分析，可以提升信息搜集與處理能力，進而發(fā)展數學素養(yǎng)和實踐應用能力。

（二）找共同點，激活經驗

學生已有知識經驗是他們學習新知識的基礎。為此，教師在教學中要善于找到新舊知識點之間的聯系。

師：同學們剛剛提出了那么多數學問題，現在，我們先一起解決“麋鹿和鱷魚一共重多少千克？”的問題。

師：這一題要求我們求麋鹿和鱷魚一共重多少千克。大家回憶一下，我們什么時候學過與求“一共”相關的內容？

生：一、二年級時學過。

引導學生深入探索并發(fā)現和以往知識的共通點，可以有效激活學生的已有知識經驗，使他們能夠在學習新知識的過程中更好地形成知識體系，并加強知識之間的聯系。

（三）借助線段，數形轉化

為了使學生能夠直觀地感知模型，教師在教學中需要借助數形結合的方式，將抽象的數學模型與具體的圖形相結合，從而幫助學生更好地理解模型的內涵。

學生選取信息并提出問題后，教師出示問題：麋鹿和鱷魚一共重多少千克？

師：你們能用圖式來表示這些信息和問題嗎？

學生動手操作，畫一畫、擺一擺。

師：我們以前是用畫小方塊或者擺小木棒的方式來表示這類問題中的數量的，現在你們覺得還合適嗎？

生：不合適，因為數太大了。

師：那該怎么辦呢？

生：我們可以用線段來表示某一個數量。

學生用畫線段圖的方式表示題目中的數量關系（如圖2）。

圖2

師：你能說一說這幅線段圖表示什么意思嗎？

生：我先畫一條線段表示鱷魚重317 千克，再在它的后面畫一條線段表示麋鹿重122千克，下面這個問句就表示這兩種動物一共重多少千克。

畫圖的實質是借助圖形表征幫助學生把抽象問題具體化、直觀化，從而使學生能通過直觀感知與數學抽象的深度融合來理解題意，并分析數量關系，尋找到解決問題的突破口，實現知識的有效遷移。

二、利用遷移類比，提煉數量關系模型

為使學生更好地掌握數量關系，教師需要引導他們回顧已有的相關知識，并運用類比推理的方式，逐步從已知的關系中抽象概括出具有普遍意義的數學模型。

（一）運用語言描述，初步抽象規(guī)律

用自然、生動的語言來描述規(guī)律，是學生學習和認識規(guī)律的初步階段。通過語言描述，學生能夠初步感知規(guī)律的存在和形式，從而建立起對規(guī)律的基本認識。

師（出示圖2）：鱷魚的重量和麋鹿的重量合并起來就是一共重多少千克。你能模仿老師的方法說一說嗎？

小組合作后交流。

生：丹頂鶴的重量和鱷魚的重量合并起來就是一共重多少千克。

生：丹頂鶴的重量和麋鹿的重量合并起來就是一共重多少千克。

教師引導學生聯系運算的意義，在充分理解問題的基礎上，用自己的語言表達量與量之間的關系。如學生可以使用“……和……合并起來就是……”“……和……就可以求出……”等表達方式。這種語言描述方式不僅能夠幫助學生將觀察到的現象進行系統(tǒng)化整理，而且為他們學習如何將具體現象抽象為數學模型打下了堅實的基礎。通過這種方式，學生不僅能夠提高數學運算能力，還能夠提升邏輯思維和抽象思維能力，為未來的學習奠定良好的基礎。

（二）積累學習材料，進行類比分析

學生在學習中對規(guī)律的發(fā)現是一個漸進的、積累性的過程。只有不斷積累學習材料，他們對規(guī)律的認識才能逐漸變得清晰和深入。

教師出示學習單（如表2）。

表2

要求：先填一填題目中已知什么、求什么，再列式解答。

教師利用列表的方式呈現三個題目的解決過程。通過討論、比較，學生發(fā)現這三道題目的相似之處，即它們都是將描述兩種動物的重量的數進行合并。通過對學習材料的積累與整理，學生獲得了豐富的學習經驗，并經過類比推理，發(fā)現這些題目本質上具有一致性，即都符合“分量+分量=總量”這一數量關系。

（三）通過已有經驗，得出基本模型

在日常生活中，許多學生都有過與天平接觸的生活經驗。作為一種稱重工具，天平的顯性功能在于衡量物體的重量。同時，它還是數學中“表示兩邊相等”的基本模型。

教師出示天平圖（如圖3）。

圖3

師：這幅圖中的物品是天平，它有什么特點？

生：左右兩邊平衡，就表示左右兩邊相等。

師：現在，如果老師讓你將之前提到的動物放到天平上，你會怎么放？

（小組討論）

師：想象這里有一個超級大的天平，左邊托盤上站著重317 千克的鱷魚和重122 千克的麋鹿，右邊托盤上放多重的物體，天平才會平衡呢？

生：放重量為439千克的物體，即317+122=439（千克）。

師：如果左邊托盤上換成重317千克的鱷魚和重13千克的丹頂鶴呢？

生：右邊托盤上放重量為330 千克的物體，天平會再次平衡，即317+13=330（千克）。

師：那如果左邊托盤上換成丹頂鶴和麋鹿呢？

生：右邊托盤上放重量為135 千克的物體，天平會再次平衡，即13+122=135（千克）。

師：天平右邊的數和左邊的數有什么關系？

生：右邊是總量，左邊的兩個量相加就是右邊的量。

師：如果左邊的量稱為分量，那右邊的量可以稱作什么呢？

生：總量。

師：我們可以把它們的關系概括為：分量+分量=總量。

天平是數學上表示兩個數量關系的直觀模型，能夠為學生理解相等數量關系提供幫助。

三、開展拓展訓練，應用數量關系模型

開展拓展訓練是促進學生內化數量關系模型的關鍵環(huán)節(jié)。通過多樣化的實踐應用，學生可以進一步實現對數量關系模型的理解，并逐漸將其內化為自己的思維方式。

（一）拓展運用，鞏固模型

●題目：菜場運來白菜112筐，青菜32筐，_________？

師：你能把題目補充完整嗎？

生：一共運來多少筐蔬菜？

師：你能用“分量+分量=總量”來分析一下嗎？

生：分量是白菜的筐數和青菜的筐數，總量是蔬菜的總筐數，因此白菜的筐數+青菜的筐數=蔬菜的總筐數。

生：112+32=144（筐）。

加法模型“分量+分量=總量”是數學中一種基本且重要的概念，它描述了一個整體由兩個或多個部分合并組成的情況。教學中，教師要引導學生思考、討論分量和總量各自所代表的含義，幫助學生將加法模型抽象化，從而加深對“分量+分量=總量”模型的理解和應用。

（二）運用變式，內化模型

●題目：媽媽把32個蘋果放在兩個盤子里，一個盤子里放了8個蘋果，____？

師：你們能補充一個問題嗎？

生：另一個盤子里有幾個蘋果？

師：你們能找一下這一題的分量和總量嗎？

生：32個蘋果是總量，8個蘋果是分量，要求的也是分量。所以這一題應該是用“總量-分量=分量”解決。

生：32-8=24（個）。

加法模型的變式可以表達為“總量-分量=分量”。這是對“分量+分量=總量”這一數量關系模型的逆向運用，可以實現數量關系的結構化遷移，從而加深學生對加法模型概念的理解。這樣的學習有助于學生形成網狀知識結構，豐富學生的數學基本活動經驗，使學生逐漸形成數學思想方法。

●題目：小紅今年18歲，比小明大了2歲，________？

師：請補充問題。

生：小明多少歲？

師：你能用今天學習的數量關系對題目進行具體分析嗎？

生：小紅的年齡是總量，小明的年齡和相差的2歲都可以看成分量。

生：小明的年齡+2歲=小紅的年齡。

在理解數量關系的過程中，學生應認識到合并關系可以進一步拓展為增加關系。除了掌握這些基本的數量關系，學生還需深入理解“又來了”“多了”“增加了”“走掉了”“用去了”等詞語的內涵。教師要通過這樣的教學，引導學生掌握分析問題的方法，提高他們的審題能力和分析能力，從而提升他們解決問題的能力。

（三）流程分析，深化模型

分析法和綜合法是兩種常用的思維方法，在解決問題中發(fā)揮著重要作用。同時，它們在深化模型理解方面也具有重要意義，能夠幫助學生分析數量關系，提升分析能力。

●題目：宏光小學三年級有男生186 人，女生174 人，已經體檢的有328 人，沒有體檢的有多少人？

綜合法：從條件入手，找出中間問題，再解決所求問題（如圖4）。

圖4

根據男生186人和女生174人可以求出三年級一共有360 人。然后用360 人減去已經體檢的328人，就可以求出沒有體檢的有32人。

分析法：從問題入手，尋求解決問題的條件，逐漸向已知條件靠攏，最后利用已知條件解決問題（如圖5）。

圖5

要求三年級沒有體檢的有多少人，必須要知道三年級一共有多少人，再減去已經體檢的人數。因為已經體檢了328人是已知的，而三年級的總人數未知，所以要求三年級的總人數必須要知道三年級男生和女生各自的人數。

總之，通過自主建構加法意義的數量關系模型，即分量+分量=總量，學生能夠更好地理解并掌握這一數量關系，這將為他們今后構建其他數量關系模型打下堅實的基礎。