淺議如何通過感悟數(shù)本質(zhì)的一致性發(fā)展符號意識

作者簡介：趙硯（1982～），女，漢族，吉林長春人，長春市第一實驗銀河小學(xué)，研究方向：小學(xué)數(shù)學(xué)。

摘? 要：分?jǐn)?shù)與自然數(shù)具有相同的符號意義，都是用來表示具體數(shù)量，是對具體數(shù)量的符號化表示。有些量可以用自然數(shù)來表示，而分?jǐn)?shù)就是用來表示無法用自然數(shù)度量的量，是通過分割產(chǎn)生的新的數(shù)，分?jǐn)?shù)正是能夠精確地表示這類數(shù)而引入的數(shù)學(xué)符號。從學(xué)生所熟悉并感興趣的生活經(jīng)驗出發(fā)，利用直觀的方式，使學(xué)生通過折一折、涂一涂等動手操作的活動，逐漸形成分?jǐn)?shù)的符號化表象，建立對分?jǐn)?shù)的符號化形式的理解，而再進(jìn)一步理解分?jǐn)?shù)的意義，并將意義與符號統(tǒng)一。利用幾何直觀將學(xué)生已有的經(jīng)驗與知識，通過適當(dāng)?shù)牟僮骰顒诱故境鰜?，將?shù)字符號用自己理解的圖畫體現(xiàn)出來，不僅拉近了數(shù)學(xué)符號與學(xué)習(xí)情境的距離，更讓學(xué)生的思考有的放矢，有參照、有對比，這樣才能建立比較清晰、準(zhǔn)確的認(rèn)識，才能從本質(zhì)上理解數(shù)字符號的意義。

關(guān)鍵詞：幾何直觀；符號意識；數(shù)本質(zhì)

中圖分類號：G623.5??? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A??? 文章編號：1673-8918（2024）09-0109-04

一、 單元知識結(jié)構(gòu)分析

北師大版三年級下第六單元主要學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識、簡單的分?jǐn)?shù)大小比較和同分母分?jǐn)?shù)的加減運(yùn)算。分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識是學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)比較大小、簡單計算的基礎(chǔ)，同時也為學(xué)生深入學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的意義做好鋪墊。從整數(shù)到分?jǐn)?shù)是數(shù)概念和意義的一次擴(kuò)充，不僅讓學(xué)生理解分?jǐn)?shù)與自然數(shù)具有相同意義，也是表示一種量，同時更應(yīng)該讓學(xué)生感受到分?jǐn)?shù)與整數(shù)在構(gòu)成方式上的一致性，強(qiáng)調(diào)數(shù)是對數(shù)量的抽象，注重打通數(shù)之間的關(guān)聯(lián)，把握數(shù)的一致性。

（一）課標(biāo)研讀

2022版數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)當(dāng)中，在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域當(dāng)中明確指出了“初步體會數(shù)是對數(shù)量的抽象，感悟數(shù)的概念本質(zhì)上的一致性”。

從數(shù)概念本質(zhì)上來看，“一致性”主要體現(xiàn)在兩個方面：

一方面，整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)都是對數(shù)量或者數(shù)量關(guān)系的抽象。另一方面，無論整數(shù)、小數(shù)還是分?jǐn)?shù)，都可以從計數(shù)單位以及計數(shù)單位個數(shù)的角度來認(rèn)識。

由此可見，建立整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)概念一致性的關(guān)鍵之一就是要從“計數(shù)單位”的角度來認(rèn)識。

分?jǐn)?shù)概念的教學(xué)需要從過程與對象兩個維度來實施，既要充分凸顯分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的過程，體會到分?jǐn)?shù)的符號化意義，同時也需引導(dǎo)學(xué)生感悟分?jǐn)?shù)的本質(zhì)特征。從基礎(chǔ)到提升，借助幾何直觀，幫助學(xué)生豐富分?jǐn)?shù)概念的內(nèi)涵，從而培養(yǎng)學(xué)生的符號意識。

（二）縱向比較，把握前后知識脈絡(luò)

以現(xiàn)行北師大版教材為例，“數(shù)”概念的教學(xué)結(jié)構(gòu)安排如表1所示。

從“一個一個”的數(shù)到“一組一組”的數(shù)。數(shù)的發(fā)展過程同樣伴隨著計數(shù)單位的發(fā)展。因計數(shù)的需要而產(chǎn)生新的計數(shù)單位。計數(shù)活動的本質(zhì)是創(chuàng)造計數(shù)單位。

無論整數(shù)、小數(shù)還是分?jǐn)?shù)，都可以從計數(shù)單位和計數(shù)單位的個數(shù)角度來認(rèn)識它們，“數(shù)”在形成過程中體現(xiàn)出的本質(zhì)都是依靠不同的計數(shù)單位累加而形成，都可以從計數(shù)單位和計數(shù)單位的個數(shù)角度來認(rèn)識。分?jǐn)?shù)與自然數(shù)類似，是數(shù)計數(shù)單位的個數(shù)“數(shù)”出來的。如此來看，“計數(shù)單位”的形成與“計數(shù)單位”的累加過程就是“數(shù)”形成的過程，這樣分?jǐn)?shù)與自然數(shù)的構(gòu)成與結(jié)構(gòu)就都一致了，更有助于學(xué)生認(rèn)可分?jǐn)?shù)是個“數(shù)”，有助于學(xué)生感悟數(shù)的概念的本質(zhì)的一致性。

（三）橫向梳理，解讀單元教學(xué)內(nèi)容

從整數(shù)到分?jǐn)?shù)是一個數(shù)字概念的延伸，也是一個計數(shù)單位的延伸。那么在學(xué)生學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的形成過程、分?jǐn)?shù)的大小比較以及分?jǐn)?shù)的加減法運(yùn)算當(dāng)中，其核心內(nèi)涵都是分?jǐn)?shù)單位。

通過對這一自然單元知識內(nèi)容的橫向梳理我們發(fā)現(xiàn)，在分?jǐn)?shù)的意義的初步教學(xué)中，要讓學(xué)生通過操作，體會到計數(shù)單位在分?jǐn)?shù)形成過程中所起的作用，就必須經(jīng)歷分?jǐn)?shù)單位的產(chǎn)生過程。

那么本單元要解決的核心問題就是：

（1）感悟分?jǐn)?shù)單位是分?jǐn)?shù)的本質(zhì)。

（2）感悟分?jǐn)?shù)與整數(shù)的數(shù)概念的一致性。

本單元教科書編寫的基本特點主要體現(xiàn)在以下幾個方面。

（1）結(jié)合實際操作活動，幫助學(xué)生積累實物操作經(jīng)驗，豐富計數(shù)方式的一致性。

教材結(jié)合“分蘋果”“分圖形”等具體的問題情境，喚起學(xué)生已有的分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)經(jīng)驗，利用實物操作等手段，幫助學(xué)生感悟分?jǐn)?shù)表示的數(shù)量意義。

（2）經(jīng)歷從表征操作到符號操作的抽象過程，探索分?jǐn)?shù)單位在同分母分?jǐn)?shù)加減法運(yùn)算中的重要作用。

本單元在同分母分?jǐn)?shù)加減法的學(xué)習(xí)過程中，教材注重結(jié)合圖形的幾何直觀幫助學(xué)生理解分?jǐn)?shù)加減運(yùn)算與分?jǐn)?shù)單位個數(shù)的聯(lián)系。

（四）單元教學(xué)框架

在這節(jié)課的設(shè)計上主要考慮到兩個方面：一方面是體現(xiàn)出分?jǐn)?shù)與自然數(shù)具有相同意義，也就是一種量，借助直觀體會到分?jǐn)?shù)是數(shù)單位數(shù)出來的，也就是分?jǐn)?shù)的度量意義。

另一方面是借助對圖形的涂畫過程，讓分?jǐn)?shù)單位累加的過程可視化，讓學(xué)生在經(jīng)歷實際操作的過程中，逐漸豐富表象特征，最終幫助學(xué)生將表象與符號對接起來，理解分?jǐn)?shù)所表示的符號意義。

我們把核心問題與每節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行了融合，設(shè)計單元教學(xué)框架，如圖1所示，以豐富的直觀表征貫穿于整個單元教學(xué)中，不斷充實學(xué)生對分?jǐn)?shù)的認(rèn)識；同時，還借助幾何直觀，體現(xiàn)分?jǐn)?shù)單位的累加過程，讓學(xué)生看到分?jǐn)?shù)單位在分?jǐn)?shù)形成和運(yùn)算中起重要作用的增減過程，感受到分?jǐn)?shù)計數(shù)單位與整數(shù)計數(shù)單位在構(gòu)成上的一致作用，體會到分?jǐn)?shù)在本質(zhì)上與整數(shù)在構(gòu)成上是一致的。

圖1? 單元教學(xué)框架

二、 課例教學(xué)分享

（一）分一分（一）核心問題確定

從單元整體的視角出發(fā)，本節(jié)課當(dāng)中要完成的核心教學(xué)任務(wù)是：

（1）借助直觀，初步體會分?jǐn)?shù)是對數(shù)量的抽象。經(jīng)歷分?jǐn)?shù)單位的產(chǎn)生過程。

（2）感悟分?jǐn)?shù)單位與分?jǐn)?shù)形成的密切聯(lián)系，初步體會到分?jǐn)?shù)與整數(shù)計數(shù)方式是一致的。

（二）分一分（一）教材分析

如何能完成以上兩個關(guān)鍵的核心任務(wù)？從教材入手，將多個版本的教材進(jìn)行了對比。

從幾個版本教材呈現(xiàn)的形式來看，在編寫上都重視以下幾個方面：

1. 結(jié)合實際操作活動，幫助學(xué)生積累實物操作經(jīng)驗，直觀感知分?jǐn)?shù)單位的產(chǎn)生過程。

2. 經(jīng)歷從表征操作到符號操作的抽象過程，積累分?jǐn)?shù)單位的累加過程，感悟數(shù)形成過程的一致性。

3. 對接圖形表征與符號表征，為符號操作提供鋪墊，發(fā)展學(xué)生的符號意識。

（三）分一分（一）學(xué)情分析

通過閱讀《吳老師與兒童數(shù)學(xué)教育》，以及對吳老師的教育思想和課例的學(xué)習(xí)，在教學(xué)觀念上產(chǎn)生了兩個方面的改變：一方面認(rèn)識到教學(xué)要從兒童立場出發(fā)，強(qiáng)調(diào)兒童的主體地位，調(diào)動兒童的積極性、主動性；第二個方面是教學(xué)中要給學(xué)生充分自主學(xué)習(xí)的機(jī)會，激發(fā)學(xué)生主體的深度參與，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，感悟數(shù)學(xué)的思想方法。

觀念的改變帶動了設(shè)計上的改變。于是我們對學(xué)生進(jìn)行了預(yù)測，通過對學(xué)生的訪談，我們發(fā)現(xiàn)在正式學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)以前，像“二分之一”“三分之一”等數(shù)學(xué)表達(dá)已經(jīng)出現(xiàn)在他們的口頭語言中，但對這樣的數(shù)學(xué)符號學(xué)生的理解還停留在表象中，所以，利用直觀的方式，使學(xué)生通過折一折、涂一涂等動手操作的活動，在分?jǐn)?shù)圖形表征的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步建立對分?jǐn)?shù)的符號化形式的理解，最后將分?jǐn)?shù)所表示的數(shù)量意義與符號意義統(tǒng)一起來。

本節(jié)課以下面兩點為基礎(chǔ)進(jìn)行教學(xué)：

（1）借助直觀打通圖形表征與分?jǐn)?shù)表征的通道，在豐富圖形表征的基礎(chǔ)上，逐步建立對分?jǐn)?shù)單位的理解。

（2）創(chuàng)造更多動手操作的活動。將分?jǐn)?shù)單位創(chuàng)造的過程，以及分?jǐn)?shù)單位在累加過程中所對應(yīng)的實際意義統(tǒng)一起來。

（四）分一分（一）關(guān)鍵環(huán)節(jié)分享

本節(jié)課需要幫助學(xué)生認(rèn)識和理解分?jǐn)?shù)單位，充分經(jīng)歷創(chuàng)建分?jǐn)?shù)單位的過程。那么就需要學(xué)生在循序漸進(jìn)的操作過程中，逐步經(jīng)歷從實物操作過渡到表征操作，從而為符號操作做好鋪墊。計數(shù)單位累加的過程，是學(xué)生利用直觀豐富計數(shù)單位累加的直觀經(jīng)驗，加深對分?jǐn)?shù)單位實質(zhì)的理解。

課例中幾個關(guān)鍵環(huán)節(jié)

環(huán)節(jié)一：借助直觀，在操作中逐步經(jīng)歷分?jǐn)?shù)單位的創(chuàng)作。

學(xué)生借助分蘋果和圖形表征“一半”，初步感知“一半”的符號意義。

關(guān)鍵問題1：同學(xué)們創(chuàng)作的“一半”，圖形的形狀和大小都不一樣，為什么陰影部分都可以表示出這個圖形的“一半”？

通過關(guān)鍵問題1的引導(dǎo)，打通“一半”與“二分之一”的連接。這個環(huán)節(jié)要完成從實物操作到表征操作的過渡，經(jīng)歷二分之一的創(chuàng)造過程。

關(guān)鍵問題2：為什么每個圖形的陰影都不一樣，卻都能用二分之一表示？

通過關(guān)鍵問題2的引導(dǎo)，學(xué)生在觀察、對比當(dāng)中不斷地積累分?jǐn)?shù)創(chuàng)造的過程。將學(xué)生的作品展示出來，通過對同一圖形和不同圖形的聯(lián)系與比較，從而進(jìn)行整體的溝通與聯(lián)結(jié)，學(xué)生在觀察中對比，在對比中不斷分析，通過直觀感受到圖形中變與不變的本質(zhì)，挖掘出二分之一共同的、本質(zhì)的概念特征。

這是一個讓學(xué)生自主創(chuàng)作的環(huán)節(jié)，這個環(huán)節(jié)意在賦予他們自由操作的空間。喚醒學(xué)生已有的知識儲備和學(xué)習(xí)經(jīng)驗，同時順應(yīng)學(xué)生的分物經(jīng)驗和認(rèn)知習(xí)慣，幫助學(xué)生感悟“整個”與“一半”的符號特征，感悟當(dāng)不能用自然數(shù)的符號來記錄數(shù)量時，需要引入一種新的數(shù)來表示。

通過創(chuàng)作“一半”可以將學(xué)生的思考可視化，學(xué)生在畫“一半”的過程中獲得活動經(jīng)驗，為后面分?jǐn)?shù)的符號意義構(gòu)建了基礎(chǔ)。學(xué)生通過對自主創(chuàng)作的作品進(jìn)行辨析，初步抽象出“一半”所表示的符號意義。

環(huán)節(jié)二：充分利用圖形表征從而支撐對分?jǐn)?shù)單位本質(zhì)的理解。

接下來帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)入表象操作當(dāng)中，利用豐富的圖形表征支撐對分?jǐn)?shù)單位的理解。

關(guān)鍵問題3：你找到了幾分之一？怎樣得到的？

借助關(guān)鍵問題3的引導(dǎo)，學(xué)生邊思考邊操作，在“數(shù)”與“形”之間不斷進(jìn)行“數(shù)學(xué)化”與“再創(chuàng)造”。借助豐富的圖形表征把分?jǐn)?shù)單位概念不斷地刻畫出來。在親身經(jīng)歷多個分?jǐn)?shù)單位的創(chuàng)造過程中，逐步感悟到分子、分母在具體情境中的含義，將分?jǐn)?shù)單位與具體情境關(guān)聯(lián)，打通對分?jǐn)?shù)單位各個部分的理解。

學(xué)生通過對同一圖形和不同圖形的聯(lián)系與比較，從而進(jìn)行整體的溝通與聯(lián)結(jié)，通過進(jìn)一步的對比與分析，逐步感悟到分?jǐn)?shù)共同的、本質(zhì)的符號特征，學(xué)生在辨析中思考，在思考中感悟，在變與不變中挖掘出二分之一的本質(zhì)意義。

環(huán)節(jié)三：直觀中經(jīng)歷分?jǐn)?shù)單位累加的過程，感悟數(shù)概念本質(zhì)的一致性。

依托前面的環(huán)節(jié)，學(xué)生已經(jīng)積累了一定的活動經(jīng)驗。那么這個環(huán)節(jié)是從表象操作到符號操作的過渡，在操作當(dāng)中直觀體現(xiàn)出分?jǐn)?shù)是分?jǐn)?shù)單位累加而形成的。

關(guān)鍵問題4：你是怎樣看出來這是幾分之幾的？請你也涂出一個分?jǐn)?shù)。

利用關(guān)鍵問題4的引導(dǎo)，學(xué)生經(jīng)歷了分?jǐn)?shù)單位的累加過程，在操作中感知分?jǐn)?shù)是由若干個分?jǐn)?shù)單位累加而成。將分?jǐn)?shù)單位累加過程與分?jǐn)?shù)的形成對接起來。在涂和畫當(dāng)中不斷感悟計數(shù)單位在分?jǐn)?shù)中的核心地位，從而幫助學(xué)生感悟分?jǐn)?shù)與整數(shù)在構(gòu)成上的一致性，都是計數(shù)單位的累加。

通過以上幾個環(huán)節(jié)，學(xué)生在逐步地對比、分析、抽取共同特征中，經(jīng)歷了分?jǐn)?shù)單位的產(chǎn)生過程；在圖形表征的基礎(chǔ)上豐富了分?jǐn)?shù)單位累加的經(jīng)驗，引導(dǎo)學(xué)生感悟分?jǐn)?shù)也是數(shù)計數(shù)單位數(shù)出來的，體驗了分?jǐn)?shù)與整數(shù)的一致性。

參考文獻(xiàn)：

［1］呂莉.淺談“分?jǐn)?shù)墻”在“異分母加減法”教學(xué)中的應(yīng)用［J］.小學(xué)教學(xué)參考，2015（23）：46-47.

［2］王小娟.小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中優(yōu)化數(shù)概念的教學(xué)策略辨析［J］.考試周刊，2020（59）：13-14.

［3］孫曉天，張丹.義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）課例式解讀［M］.北京：教育科學(xué)出版社，2022.