基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的FAST主動(dòng)反射面調(diào)節(jié)優(yōu)化模型

呂蘢 陳浩 吳建鑫 劉亞蘭 鄧依蘭 范小林

文章編號(hào)? 1000-5269（2024）01-0064-08

DOI：10.15958/j.cnki.gdxbzrb.2024.01.10

收稿日期：2023-06-06

基金項(xiàng)目：貴州省教育廳自然科學(xué)研究資助項(xiàng)目（黔教技[2023]011）

作者簡(jiǎn)介：呂? 蘢（1999—），男，在讀碩士，研究方向：數(shù)理統(tǒng)計(jì)，E-mail：lvlong11@mails.ccnu.edu.cn.

*通訊作者：范小林，E-mail：xiaolin.fan@gznu.edu.cn.

摘? 要：針對(duì)500 m口徑球面射電望遠(yuǎn)鏡（five-hundred-meter aperture spherical radio telescope，F(xiàn)AST）的主動(dòng)反射面調(diào)節(jié)問(wèn)題，利用旋轉(zhuǎn)拋物面在三維空間中的定義建立了一個(gè)對(duì)任意天體角度均適用的工作拋物面方程，該方法不同于以往的坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)的方法。利用反射面板重心點(diǎn)作為反射點(diǎn)，將反射接收比定義為能把光線反射到饋源艙被其接收的面板數(shù)量與300 m口徑工作拋物面下總面板數(shù)量的比值。結(jié)合主索節(jié)點(diǎn)徑向伸縮距離、邊界平穩(wěn)過(guò)度和鄰接距離變化幅度三個(gè)約束條件，以接收比最大化作為目標(biāo)函數(shù)，建立了一個(gè)工作拋物面優(yōu)化模型，并利用節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)和模擬退火算法對(duì)其進(jìn)行求解，得到了工作理想拋物面。選用兩組天體角度進(jìn)行實(shí)例分析，結(jié)果顯示調(diào)節(jié)后的接收比增大12.82%，并給出了工作主索節(jié)點(diǎn)的部分徑向調(diào)節(jié)方案。本研究為FAST對(duì)于任意天體角度的變形提供了一種新的建模方法，也對(duì)饋源艙反射接收比提出了一種新的計(jì)算方式。

關(guān)鍵詞：FAST主動(dòng)反射面；旋轉(zhuǎn)拋物面；饋源艙接收比；優(yōu)化模型；模擬退火算法

中圖分類號(hào)：P16;O182

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

歷時(shí)22年建成的我國(guó)具有自主知識(shí)產(chǎn)權(quán)的FAST是目前世界上單口徑最大、靈敏度最高的射電望遠(yuǎn)鏡［1］，從開始運(yùn)行至今已取得大量重要科學(xué)發(fā)現(xiàn)［2］，其中，對(duì)其主動(dòng)反射面進(jìn)行合理調(diào)節(jié)以增加反射接收比的研究是一個(gè)重要的問(wèn)題。

在觀測(cè)天體時(shí)，F(xiàn)AST會(huì)局部形成300 m口徑工作拋物面。若想更有效地利用FAST對(duì)宇宙進(jìn)行探索，對(duì)其主動(dòng)反射面的調(diào)節(jié)優(yōu)化是關(guān)鍵操作之一，而其中對(duì)主動(dòng)反射面建立理想拋物面方程則是重要的基礎(chǔ)問(wèn)題之一。針對(duì)此問(wèn)題，錢宏亮［3］利用拋物線和圓弧代替工作拋物面和基準(zhǔn)球面，通過(guò)使拋物面與基準(zhǔn)球面之間的距離最大值與最小值的絕對(duì)值之和最小，得到了三種理想拋物線方案，為FAST后續(xù)研究提供了寶貴的模型和參考方案。隨后，朱麗春［4］通過(guò)比較這三種方案，選擇了第二種方案作為理想拋物面。問(wèn)題進(jìn)一步轉(zhuǎn)換到了如何讓工作主索節(jié)點(diǎn)盡可能快地變化到給出的工作理想拋物面上。為此，研究者們利用了各種方法對(duì)主索節(jié)點(diǎn)位移變化的求解進(jìn)行了研究，朱麗春［4］使用了機(jī)器學(xué)習(xí)的方法；端素紅［5］使用了粒子群優(yōu)化算法；王志遠(yuǎn)［6］使用了迭代學(xué)習(xí)理論；王亞男［7］使用了統(tǒng)計(jì)回歸分析理論。他們?yōu)楹竺娴腇AST整網(wǎng)控制策略奠定了基礎(chǔ)，這將對(duì) FAST主動(dòng)反射面的精確變形研究產(chǎn)生重大的現(xiàn)實(shí)意義。

為進(jìn)一步得到添加約束條件下的最優(yōu)工作拋物面，李明輝等［8］根據(jù)三種理想拋物線方案，將其變換為含焦徑比參數(shù)f和頂點(diǎn)位移參數(shù)h的拋物線方程。同時(shí)，李明輝等［8］使用數(shù)值模擬方法進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化，為后續(xù)分析提供了參考；而牟淼等［9］使用的粒子群算法；龐登浩等［10］則使用的遺傳算法。他們逐漸將智能算法應(yīng)用到該領(lǐng)域，相比于傳統(tǒng)的搜索法，提高了運(yùn)算速度。

當(dāng)天體變動(dòng)為任意角度時(shí)，劉鈺［11］通過(guò)坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)得到不同天體角度下的旋轉(zhuǎn)拋物面方程，并使用代數(shù)推導(dǎo)的方法得到了主索節(jié)點(diǎn)位移變化公式；而李建玲等［12］嘗試了是否可以通過(guò)增加工作口徑來(lái)盡可能地接收更多光線，從而應(yīng)對(duì)天體位置的變化。綜上，我們了解到目前的文獻(xiàn)中主要是采用旋轉(zhuǎn)拋物線和坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)的方法來(lái)得到任意天體角度下主動(dòng)反射面的理想拋物面方程。

前面大都是以主索節(jié)點(diǎn)位移量最小化為優(yōu)化目標(biāo)。而薛建興等［13］給出了一種FAST 瞬時(shí)拋物面的擬合誤差（root mean square，RMS），該項(xiàng)研究對(duì)確定反射面單元初始面形及調(diào)節(jié)瞬時(shí)拋物面擬合精度很有意義。沈世云等［14］則以RMS精度最小為目標(biāo)，結(jié)合約束條件，使用了一種改進(jìn)的非?？焖俚哪M退火算法，具有更高的搜索效率和更優(yōu)的搜索結(jié)果。

目前，提高饋源艙的接收比是進(jìn)行主索節(jié)點(diǎn)調(diào)節(jié)的主要目標(biāo)。牟淼等［9］和郭學(xué)俊等［15］提出了以主索節(jié)點(diǎn)為反射點(diǎn)，利用光線反射原理計(jì)算能被饋源艙接收到的反射點(diǎn)數(shù)量，并將其與總的工作主索節(jié)點(diǎn)數(shù)量的比值作為饋源艙接收比。王丹等［16］則利用光滑球面的法向量作為反射法向量，將反射光線進(jìn)入饋源艙的比例作為接收比。他們提供了一些反射接收比的計(jì)算方法。

針對(duì)以上現(xiàn)狀，本文采用三維空間中旋轉(zhuǎn)拋物面方程的定義，建立了一般化的300 m口徑工作拋物面方程。該方法不同于坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)的方法，可直接得到任意天體角度的工作拋物面方程。在實(shí)際中，面板仍為平面面板，其反射點(diǎn)不一定在拋物面上。因此，利用反射面板的三個(gè)主索節(jié)點(diǎn)的重心坐標(biāo)作為反射點(diǎn)并代替整塊面板，將饋源艙接收比定義為能把光線反射到饋源艙被其接收的面板數(shù)量與300 m口徑下總的工作反射面板數(shù)量之比，并結(jié)合約束條件建立工作拋物面調(diào)節(jié)優(yōu)化模型。利用模擬退火算法對(duì)優(yōu)化模型進(jìn)行求解，得到接收比最大的工作理想拋物面，同時(shí)給出部分主索節(jié)點(diǎn)的徑向調(diào)節(jié)方案。本文為FAST對(duì)于任意天體角度的變形提供了一種新的建模方法，并結(jié)合了已知數(shù)據(jù)進(jìn)行優(yōu)化求解，也提出了具有更廣泛意義的饋源艙接收比計(jì)算方法。

1? 工作拋物面方程的建立

根據(jù)三維空間中旋轉(zhuǎn)拋物面的定義［17］推導(dǎo)出工作拋物面方程。

如圖1，根據(jù)天體方位角α及仰角β確定直線SC的方向向量n0=（a，b，c），其中，

a=cos β cos αb= cos β sin αc=sin βa2+b2+c2=1 （1）

如圖2，由于約束條件使旋轉(zhuǎn)拋物面方程可能達(dá)不到以饋源艙點(diǎn)P為焦點(diǎn)的理想拋物面，所以工作拋物面的焦點(diǎn)P′可在點(diǎn)P的基礎(chǔ)上沿天體方向上下調(diào)節(jié)一定的幅度θ1，這里以向上移動(dòng)為正。則工作拋物面的焦點(diǎn)P′的坐標(biāo)為

（P′x，P′y，P′z）=（θ1+F－R）n0（2）

在上式中，當(dāng)θ1=0 m時(shí)為饋源艙點(diǎn)P的坐標(biāo)。根據(jù)FAST的調(diào)節(jié)要求，工作拋物面的頂點(diǎn)D′可在點(diǎn)D的基礎(chǔ)上沿天體方向上下調(diào)節(jié)θ2，θ2∈（－0.6，0.6）［16］，這里以向上移動(dòng)為正。因此，工作拋物面的頂點(diǎn)D′的坐標(biāo)為

（D′x，D′y，D′z）=（θ2－R）n0（3）

當(dāng)θ2=0 m時(shí)為點(diǎn)D的坐標(biāo)。準(zhǔn)面上點(diǎn)Q的坐標(biāo)為

（Qx，Qy，Qz）=－（R+θ1+F－2θ2）n0

以點(diǎn)Q與法向量n0構(gòu)成的準(zhǔn)面方程為

Ω：ax+by+cz+R+θ1+F－2θ2=0（4）

根據(jù)三維空間中旋轉(zhuǎn)拋物面的定義［17］，利用工作拋物面的焦點(diǎn)P′的坐標(biāo)和準(zhǔn)面方程Ω、以及空間中的一點(diǎn)A（x，y，z），可得工作拋物面方程為

G：d2（A，P′）－d2（A，Ω）=0（5）

將式（2）與式（4）代入式（5），具體展開如下

G：（x－P′x）2+（y－P′y）2+（z－P′z）2=

（ax+by+cz+R+θ1+F－2θ2）2（6）

2? 300 m口徑工作拋物面的優(yōu)化與求解

2.1? 300 m口徑的圓方程與投影橢圓方程的求解

如圖2，300 m口徑圓的圓心點(diǎn)B的坐標(biāo)為

（Bx，By，Bz）=－R2－1502n0

選取一個(gè)與向量n0正交的向量u1=（b，－a，0），以及與向量n0和向量u1都正交的向量u2=n0×u1=（ac，bc，－a2－b2）。特別地，當(dāng)β=90°時(shí)，取向量u1=（1，0，0），u2=（0，1，0）。將向量u1，u2單位化得到

u1=u1‖u1‖2，u2=u2‖u2‖2

這里符號(hào)·×·表示向量的外積，‖·‖2表示向量的長(zhǎng)度。則300 m口徑的圓的參數(shù)方程為

x=Bx+150（u1xcos +u2xsin ）

y=By+150（u1ycos +u2ysin ）

z=Bz+150（u1zcos +u2zsin ） （7）

式中，∈［0，2π］。橢圓的一般方程為

H（x，y）：h1x2+h2xy+h3y2+h4x+h5y+h6=0（8）

取式（7）中的n個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)（xk，yk），并在XOY平面上進(jìn)行投影橢圓方程（8）的最小二乘擬合。擬合的目標(biāo)函數(shù)和約束條件［18］為

argmin（h1，…，h6）∑nk=1（H（xk，yk））2h22－4h1h3<0 （9）

當(dāng)取α=36.795°，β=78.169°時(shí)，得到的示意圖如圖3所示。

2.2? 工作主索節(jié)點(diǎn)徑向伸縮距離的確定

本文主要是利用基準(zhǔn)球面節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行模型中橢圓方程的參數(shù)擬合以及主索節(jié)點(diǎn)變化前后距離的計(jì)算。文獻(xiàn)［19］中附件1是基準(zhǔn)球面節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)，如表1所示，其包括節(jié)點(diǎn)編號(hào)、三維坐標(biāo)、賦予的索引i∈I，其中I={1，2，…，2 226}，表示主索節(jié)點(diǎn)的索引集合。

將表1中的坐標(biāo)（xMi，yMi）逐一代入橢圓方程（8）中，使H（xMi，yMi）≤0，可篩選出包含在橢圓內(nèi)的節(jié)點(diǎn)，即為工作主索節(jié)點(diǎn)，將其索引集合記為II。進(jìn)一步，使－1≤H（xMi，yMi）≤0，可篩選出邊界工作主索節(jié)點(diǎn)，將其索引集合記為IeI。將基準(zhǔn)球面上的主索節(jié)點(diǎn)Mi與原點(diǎn)C構(gòu)成的直線方程和式（4）工作拋物面方程G聯(lián)立求解得點(diǎn)Ni的坐標(biāo)，即為由基準(zhǔn)球面通過(guò)促動(dòng)器徑向伸縮到工作拋物面上的主索節(jié)點(diǎn)。聯(lián)立方程為

x－0xMi=y－0yMi=z－0zMi，i∈Ι

G：d2（A，P′）－d2（A，Ω）=0

如圖4，300 m口徑基準(zhǔn)球面第i∈Ι個(gè)主索節(jié)點(diǎn)Mi和對(duì)應(yīng)的工作拋物面主索節(jié)點(diǎn)Ni之間的距離為

di=（xMi－xNi）2+（yMi－yNi）2+（zMi－zNi）2

定義函數(shù)節(jié)點(diǎn)變化方向函數(shù)為

εi=? 1，? 若zNi－zMi≥0－1，? 若zNi－zMi<0

因此，令δ1i為300 m口徑下主索節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的促動(dòng)器徑向伸縮距離，其取值為正表示主索節(jié)點(diǎn)徑向向上，值為負(fù)表示徑向向下，其中，

δ1i=εidi（10）

2.3? 鄰接工作主索節(jié)點(diǎn)距離變化幅度矩陣

一塊三角反射面板有3個(gè)主索節(jié)點(diǎn)。文獻(xiàn)［19］中附件3是每塊反射面板的三個(gè)節(jié)點(diǎn)編號(hào)，如表2所示。本文可利用表2中的數(shù)據(jù)獲得每個(gè)節(jié)點(diǎn)的相鄰主索節(jié)點(diǎn)，從而結(jié)合表1中的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)計(jì)算出工作拋物面變化前后的鄰接點(diǎn)變化幅度。

定義鄰接矩陣U=（Uij），其中，

Uij=1，? 若節(jié)點(diǎn)Mi與Mj相鄰0，? 若節(jié)點(diǎn)Mi與Mj不相鄰

基準(zhǔn)球面和工作拋物面主索節(jié)點(diǎn)之間的距離矩陣分別記為D1=（D1ij），D2=（D2ij），其中，

D1ij=（xMi－xMj）2+（yMi－yMj）2+（zMi－zMj）2

D2ij=（xNi－xNj）2+（yNi－yNj）2+（zNi－zNj）2

因此，變化前后鄰接工作主索節(jié)點(diǎn)之間的距離矩陣分別為D1=（D1ij），D2=（D2ij），其中，

D1ij=D1ijUij，D2ij=D2ijUij

鄰接工作主索節(jié)點(diǎn)之間的距離變化幅度矩陣為Δ2=（δ2ij），其中

δ2ij=（D2ij－D1ij）/D1ij×100%（11）

式中，i，j∈Ι，為工作主索節(jié)點(diǎn)的索引。

2.4? 饋源艙接收比

若主動(dòng)反射面是一塊巨大的光滑反射鏡，則光線反射的光心即為旋轉(zhuǎn)拋物面焦點(diǎn)，這時(shí)可用曲面面積的比值來(lái)表示饋源艙接收比。在實(shí)際中，F(xiàn)AST的反射面由若干塊近似等邊三角形的面板構(gòu)成，其端點(diǎn)位于工作拋物面上。反射面板將天體入射光線盡可能地反射到饋源艙，從而使之被接收。現(xiàn)取出300 m口徑工作拋物面下所有的工作主索節(jié)點(diǎn)，根據(jù)表1和表2得到工作面板的三個(gè)主索節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)，計(jì)算出每塊面板的法向量，并根據(jù)天體信號(hào)入射向量求得反射向量［20］。

如圖5，入射向量為－n0。取反射面板的兩個(gè)平面向量n1，n2，通過(guò)計(jì)算得到面板的法向量n3，并將其進(jìn)行單位化得到n3，其中，

n3=n1×n2，n3=n3‖n3‖2

利用反射向量計(jì)算公式［20］得到反射向量為

n4=－n0+2〈n0，n3〉n3

〈·，·〉表示向量的內(nèi)積。

假設(shè)每塊面板能將所有的入射光線反射到饋源艙接收平面上，則可用每塊面板的重心點(diǎn)T代替整塊面板，其坐標(biāo)為

Tx=1/3（N1x+N2x+N3x）

Ty=1/3（N1y+N2y+N3y）

Tz=1/3（N1z+N2z+N3z）

式中，Ni表示第i個(gè)工作主索節(jié)點(diǎn)。如圖6，將第l塊面板的重心點(diǎn)Tl與對(duì)應(yīng)的反射向量n4l構(gòu)成的直線方程和饋源艙接收平面方程聯(lián)立求解得到交點(diǎn)Kl，其方程為

ax+by+cz－（F－R）=0x－Tlxn4lx=y－Tlyn4ly=z－Tlzn4lz

n4l=（n4lx，n4ly，n4lz）

因?yàn)轲佋磁撌且渣c(diǎn)P為圓心、直徑為1 m的圓盤，所以當(dāng)點(diǎn)Kl與饋源艙點(diǎn)P的距離小于0.5 m時(shí)，可認(rèn)為該面板反射的光線能被饋源艙全部接收。

最終計(jì)算能把光線反射到饋源艙并被其接收的面板數(shù)量Nre，接著將Nre與300 m口徑工作拋物面下的面板數(shù)量Njob的比值定義為工作拋物面的饋源艙接收比，記為

γPR=NreNjob×100%（12）

類似地，將拋物面方程替換為球方程，可得到300 m口徑基準(zhǔn)球面反射面板的饋源艙接收比，記為γSR。

2.5? 工作拋物面調(diào)節(jié)的優(yōu)化模型建立及求解

模型優(yōu)化的主要目的是對(duì)于任意給出的天體位置α，β，確定參數(shù)θ1，θ2，使工作拋物面反射接收比γPR盡可能大。需要考慮的約束條件為：（C1）頂點(diǎn)D′在點(diǎn)D的上下徑向移動(dòng)范圍為θ2∈（－0.6，0.6）；（C2）主索節(jié)點(diǎn)由基準(zhǔn)球面變化到工作拋物面時(shí)，徑向變化距離不超過(guò)0.6 m，即δ1i≤0.6 m，i∈Ι，并記δ1am=maxi∈Ιδ1i；（C3）為了使300 m口徑工作拋物面與基準(zhǔn)球面的邊界能平穩(wěn)過(guò)渡，令邊界主索節(jié)點(diǎn)的徑向變化距離的絕對(duì)值不超過(guò)0.1 m，即δ1i≤0.1 m，i∈Ιe；（C4）相鄰主索節(jié)點(diǎn)之間的距離變化幅度不超過(guò)0.17%，因此令矩陣Δ2中元素的絕對(duì)值δ2ij小于等于0.17%，并記δ2am=maxi，j∈Ιδ2ij。綜上，結(jié)合式（1）—（12）及約束條件（C1）—（C4）建立工作拋物面優(yōu)化模型為

（θ1，θ2）=argmax（θ1，θ2）γPR（α，β，θ1，θ2）

s.t.a=cos β cos α，b=cos β sin α，c=sin β

n0=（a，b，c），R=300.4，F(xiàn)=0.466R

（P′x，P′y，P′z）=（θ1+F－R）n0

（Ax，Ay，Az）=（x，y，z）

Ω：ax+by+cz+R+θ1+F－2θ2=0

G：d2（A，P′）－d2（A，Ω）=0

（Bx，By，Bz）=－R2－1502n0

x=Bx+150（u1xcos +u2xsin ）

y=By+150（u1ycos +u2ysin ）

z=Bz+150（u1zcos +u2zsin ）

argmin（h1，…，h6）∑nk=1（H（xk，yk））2

h22－4h1h3<0

H（xMi，yMi）≤0，i∈Ι

－1≤H（xMi，yMi）≤0，i∈Ιe

θ2∈（－0.6，0.6）；δ1i≤0.6，i∈Ι

δ1i≤0.1，i∈Ιe

δ2ij≤0.17%，i，j∈Ι

ΙeΙΙ，Ι={1，2，…2 226}

式中，Ι表示所有節(jié)點(diǎn)的索引；Ι表示工作主索節(jié)點(diǎn)索引；Ιe表示邊界主索節(jié)點(diǎn)索引。針對(duì)上述工作拋物面優(yōu)化模型，本文利用模擬退火算法［21］對(duì)其進(jìn)行求解。

3? 模型實(shí)例分析

3.1? 天體位置α=36.795°，β=78.169°

選取天體位置α=36.795°，β=78.169°，利用模擬退火算法迭代200次，得到當(dāng)θ1=－1.087 9 m，θ2=－0.340 8 m時(shí)，工作拋物面的反射接收比達(dá)到最優(yōu)，此時(shí)焦徑比f(wàn)′=（F－θ2+θ1）/R=0.463 5。將上述解代入式（6）得到工作理想拋物面方程為

0.973 0x2－0.040 3xy－0.321 4xz－91.441 9x+0.984 9y2－0.240 4yz－69.394 8y+0.042 0z2－545.125 5z－16 7499.753 9=0

其方程的拋物面圖形如圖7所示。

由式（3）得到此天體位置下工作理想拋物面的頂點(diǎn)D′的坐標(biāo)為

（D′x，D′y，D′z）=（－49.376 0，－36.931 2，－294.352 0）

節(jié)點(diǎn)徑向伸縮變化距離絕對(duì)值的最大值δ1am=maxi∈Ιδ1i=0.484 4<0.6 m；鄰接主索節(jié)點(diǎn)距離變化幅度矩陣絕對(duì)值的最大值δ2am=maxi，j∈Ιδ2ij=0.161 2%<0.17%。通過(guò)比較，二者分別符合約束條件（C2）、（C4）。計(jì)算結(jié)果還給出了工作主索節(jié)點(diǎn)間的連接主索共1 986根，其中距離變化幅度的絕對(duì)值小于0.07%的有618根，占31.12%，在0.07%到0.17%之間的有1 368根，占68.88%。

需要調(diào)節(jié)的部分主索節(jié)點(diǎn)編號(hào)、原始坐標(biāo)、調(diào)節(jié)后的坐標(biāo)和徑向伸縮長(zhǎng)度的方案如表3所示。共有692個(gè)工作主索節(jié)點(diǎn)需要調(diào)節(jié)，如主索節(jié)點(diǎn)A0需徑向向上移動(dòng)0.086 m。利用該數(shù)據(jù)點(diǎn)繪制出圖像如圖8所示，其中紅色圓點(diǎn)表示基準(zhǔn)球面所有主索節(jié)點(diǎn)，綠色星點(diǎn)表示300 m口徑下工作主索節(jié)點(diǎn)變化后的點(diǎn)。從圖中可觀察出靠近頂點(diǎn)部分的點(diǎn)主要向上延伸，靠近邊界部分的點(diǎn)主要向下延伸。

通過(guò)求解得到300 m口徑下的工作反射面板數(shù)量為1 295塊、基準(zhǔn)球面的有效反射面板為65塊，因此，根據(jù)式（12）計(jì)算得到基準(zhǔn)球面的饋源艙接收比為5.02%。工作理想拋物面的有效反射面板為231塊，則饋源艙接收比為17.84%。通過(guò)對(duì)比，可知調(diào)節(jié)后的饋源艙接收比明顯增大。

3.2? 天體位置α=0°，β=90°

選取天體位置α=0°，β=90°，利用模擬退火算法迭代200次，得到當(dāng)θ1=－1.124 1 m，θ2=－0.342 9 m時(shí)，工作拋物面達(dá)到最優(yōu)，對(duì)應(yīng)的饋源艙接收比為27.55%。此時(shí)焦徑比f(wàn) ′=（F－θ2+θ1）/R=0.463 4、頂點(diǎn)變化距離h′=0.342 9 m，與文獻(xiàn)［8］中最優(yōu)參數(shù)（f，h）=（0.463 0，0.304 0）結(jié)果相近。將上述結(jié)果代入式（6）得到工作理想拋物面方程為

x2+y2－556.820 8z－167 459.902 2=0

取x∈［0，150］，步長(zhǎng)為1 m，在XOZ平面上分別計(jì)算基準(zhǔn)球面到添加約束和未添加約束的兩個(gè)工作拋物面之間的連續(xù)點(diǎn)的徑向距離。如圖9，橙色圓點(diǎn)表示未添加約束的徑向距離變化情況，其最大值為0.695 3 m，在x=107 m處取得，不能滿足約束條件（C2）。文獻(xiàn)［11］中提到未添加約束的徑向距離變化最大為0.674 1 m，在x=106.223 4 m處取得，與本文模型計(jì)算結(jié)果相近。藍(lán)色星點(diǎn)表示添加約束后的徑向距離變化情況，其絕對(duì)值最大為0.487 0 m，在調(diào)節(jié)約束范圍（－0.6，0.6）內(nèi)。此時(shí)邊緣點(diǎn)的徑向變化距離的絕對(duì)值為0.057 7<0.1 m，滿足平滑過(guò)渡約束條件（C3）。

4? 結(jié)語(yǔ)

本文針對(duì)FAST主動(dòng)反射面調(diào)節(jié)問(wèn)題，利用旋轉(zhuǎn)拋物面在三維空間中的定義對(duì)其建立了一般化的300 m口徑工作拋物面方程，并給出了饋源艙接收比的計(jì)算方法，同時(shí)結(jié)合約束條件建立了調(diào)節(jié)優(yōu)化模型。本文選取兩組天體角度，利用模擬退火算法求解優(yōu)化模型得到結(jié)論如下：

1）當(dāng)天體位置α=36.795°，β=78.169°時(shí)，基準(zhǔn)球面的饋源艙接收比為5.02%，工作理想拋物面的饋源艙接收比為17.84%。通過(guò)對(duì)比發(fā)現(xiàn)反射接收比增大12.82%，表明模型效果較好。同時(shí)，文中還給出了此天體角度下部分工作主索節(jié)點(diǎn)的徑向調(diào)節(jié)方案。模型具有能對(duì)任意天體角度進(jìn)行求解的優(yōu)點(diǎn)。

2）當(dāng)天體位置α=0°，β=90°時(shí)，在XOZ平面上分別計(jì)算了基準(zhǔn)球面到添加約束和未添加約束的兩個(gè)工作拋物面之間的連續(xù)點(diǎn)的徑向距離。結(jié)果為未添加約束的徑向變化距離最大為0.695 3 m，添加約束后徑向距離最大為0.487 0 m，并且邊緣節(jié)點(diǎn)的徑向變化距離最大為0.057 7 m。加入約束條件后，主索節(jié)點(diǎn)的最大徑向位移變小，從而使FAST整體變形更加快速穩(wěn)定。

本文在計(jì)算接收比時(shí)，利用的是反射面板的數(shù)量之比。但某些面板并不能處處反射光線，因此，可將接收比的計(jì)算轉(zhuǎn)化為實(shí)際反射光線的面板面積與300 m口徑曲面面積之比，從而得到更精確的饋源艙接收比。

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（責(zé)任編輯：于慧梅）

Data Driven Optimization Model for the Adjustment of FAST Reflector

LV Long， CHEN Hao， WU Jianxin， LIU Yalan， DENG Yilan， FAN Xiaolin*

（School of Mathematical Sciences， Guizhou Normal University， Guizhou 550025， China）

Abstract：

At any celestial angle， For the adjustment of the active reflector of the Five-hundred-meter Aperture Spherical radio Telescope （FAST）， a working paraboloid equation for arbitrary celestial angles is established using a rotating paraboloid equation. This is different from the previous coordinate rotation method. The center of gravity of the reflector used as the receiving point， the receiving ratio is defined as the ratio of the amount of light received by the feed chamber to the total amount of light under the 300-meter aperture working paraboloid. Subject to the constraints of radial change of main cable nodes， a smooth transition of borders and variation amplitude of adjacency distance， a working paraboloid optimization model is formulated with maximization of receiving ratio of the feed cabin as the objective function， and the working ideal paraboloid is obtained by simulated annealing algorithm according to the main cable nodes data. The numerical results show that the receiving ratio increases by 12.82% after adjustment， and the procedure of adjusting radial change of main cable nodes is provided. This work provides a new modeling method for FAST deformation at any celestial Angle， and presents a new calculation method for receiving ratio of feed cabin.

Key words：

FAST reflector; paraboloid of revolution; receiving ratio of the feed cabin; optimization model; simulated annealing algorithm