基于PnP-ADMM的離散體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化

鄭立偉,李海艷,陳慶杰,溫懿嵐

(廣東工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院,廣州 510006)

0 引言

拓?fù)鋬?yōu)化作為一種材料分布問(wèn)題,旨在尋找最佳的結(jié)構(gòu)形態(tài)或材料分布,以滿足給定的性能要求和約束條件。變密度法是結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化的常用方法,方法實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單,優(yōu)化效率高,是一種主流的拓?fù)鋬?yōu)化方法[1]。SIGMUND[2]提出了一種被稱為SIMP(solid isotropic material with penalization)的方法,用于解決材料結(jié)構(gòu)優(yōu)化問(wèn)題。SIMP方法從學(xué)術(shù)界到工業(yè)界都獲得了巨大的普及和成功。除連續(xù)變量拓?fù)鋬?yōu)化方法外,離散變量拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題也在一些研究中得到了解決。離散體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化面臨著幾個(gè)挑戰(zhàn)。首先,單元密度的變化容易導(dǎo)致奇異最優(yōu)解問(wèn)題,這意味著在刪除某些單元時(shí)可能會(huì)得到不合理或不穩(wěn)定的結(jié)構(gòu);其次,由于設(shè)計(jì)空間的復(fù)雜性,尋找全局最優(yōu)解通常是非常困難的。

近年來(lái),多種方法來(lái)克服離散變量在拓?fù)鋬?yōu)化中固有的組合復(fù)雜性。STOLPE等[3]利用分支定界法得到了離散變量拓?fù)鋬?yōu)化的一些全局最優(yōu)解,并作為拓?fù)鋬?yōu)化的重要基準(zhǔn)。YUAN等[4]提出了一種離散變量拓?fù)鋬?yōu)化松弛方法。該方法繼承了傳統(tǒng)的順序近似規(guī)劃方法,將拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一系列可分離整數(shù)規(guī)劃子問(wèn)題。LIANG等[5]將材料體積約束下最小柔度的離散變量拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題用具有離散變量靈敏度的離散變量子規(guī)劃序列逼近。然而,在實(shí)際應(yīng)用中,拓?fù)鋬?yōu)化通常涉及多個(gè)目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化,這些目標(biāo)可能相互矛盾。過(guò)去的很多研究過(guò)于關(guān)注單一目標(biāo)優(yōu)化,而忽略了多目標(biāo)優(yōu)化的挑戰(zhàn)和重要性。多目標(biāo)優(yōu)化的研究需要更多地關(guān)注如何平衡不同目標(biāo)之間的權(quán)衡,以及如何在多目標(biāo)條件下找到最佳解。在處理離散變量的同時(shí),如何方便地處理其他可能的多個(gè)約束在過(guò)去的研究中存在一些限制。

根據(jù)DANIELYAN、翁詩(shī)陽(yáng)等[6-7]將PnP框架應(yīng)用于圖像重建領(lǐng)域,改進(jìn)交替方向乘子法形成的(primal-dual neural projection alternating direction method of multipliers,PnP-ADMM)算法可以高效的求解多約束問(wèn)題,提供了一種靈活、高效的圖像恢復(fù)和處理方法。PnP-ADMM算法的基本思想是對(duì)目標(biāo)函數(shù)與每個(gè)約束添加一個(gè)懲罰項(xiàng)和對(duì)偶變量,將具有復(fù)雜約束的優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一系列子問(wèn)題,推導(dǎo)出每個(gè)約束的迭代式,通過(guò)每個(gè)約束迭代式迭代求解目標(biāo)變量,即離散體結(jié)構(gòu)問(wèn)題中的結(jié)構(gòu)發(fā)布。

本文應(yīng)用LIANG等[5]提出的離散靈敏度方法,基于PnP-ADMM算法,推導(dǎo)出在體積約束和離散約束下的結(jié)構(gòu)優(yōu)化算法。以MBB梁和懸臂梁為算例,柔度最小化為優(yōu)化目標(biāo)進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化實(shí)驗(yàn),結(jié)構(gòu)柔度與LIANG等[5]的DVTOPCRA算法相比有一定下降,驗(yàn)證該方法的可行性和有效性。

1 離散變量拓?fù)鋬?yōu)化模型

考慮在最小化結(jié)構(gòu)柔度的拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題,使用基于有限元的方法,數(shù)學(xué)表達(dá)式可以表示為:

(1)

本研究是建立在文獻(xiàn)[5]的基礎(chǔ)上,利用其將離散變量拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題近似為以下一系列顯式可分離線性整數(shù)規(guī)劃子問(wèn)題,引入與離散變量兼容的離散靈敏度求目標(biāo)函數(shù),將模型1應(yīng)用該方法后的數(shù)學(xué)模型。

約束包括體積約束和離散變量約束,柔度最小化作為離散變量拓?fù)鋬?yōu)化的目標(biāo)函數(shù),因此作為本研究的離散變量拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型:

(2)

式中:bi是離散靈敏度。離散靈敏度的計(jì)算,根據(jù)文獻(xiàn)[5]的推導(dǎo)為以下計(jì)算方法:

(3)

式中:p為懲罰參數(shù),Ue為單元位移矩陣,Ke為單元?jiǎng)偠染仃嚒?/p>

2 基于PnP-ADMM的離散變量?jī)?yōu)化算法

LAI等[8]基于即插即用交替方向法乘法器(PnP-ADMM)算法框架開(kāi)發(fā)了一種新的CUP重構(gòu)算法。將該方法的框架用于求解離散變量拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題,推導(dǎo)各約束對(duì)應(yīng)變量的迭代式。

2.1 離散變量迭代算法

通過(guò)該框架求解模型2,并且對(duì)目標(biāo)函數(shù)和各個(gè)約束添加各自的權(quán)重項(xiàng),模型2的Lagrange公式為:

(4)

離散密度變量為:

(5)

式中:v表示目標(biāo)函數(shù)的對(duì)應(yīng)的離散子變量,u表示體積約束的變量,ω表示離散約束的變量。

變量v、u、ω的值分別表示為:

(6)

(7)

(8)

根據(jù)PnP-ADMM求解框架,密度變量ρ的值為:

(9)

因此,求解最優(yōu)結(jié)構(gòu)密度發(fā)布問(wèn)題,被分解為求解v、u、ω3個(gè)中間變量的子問(wèn)題。推導(dǎo)出通過(guò)ρ更新v、u、ω,再由3個(gè)變量迭代計(jì)算ρ的循環(huán)迭代關(guān)系。

為了求解v、u、ω的每次迭代的最優(yōu)值,分別對(duì)式(6)～式(8)進(jìn)行求導(dǎo)求解,對(duì)式(6)求局部最優(yōu)值:

(10)

推導(dǎo)得到變量v的迭代式:

(11)

同理,對(duì)式(7)求導(dǎo):

(12)

推導(dǎo)得到u的迭代式:

(13)

式中:E為mn×1的1矩陣。

同理,對(duì)式(8)求導(dǎo):

(14)

推導(dǎo)得到ω的迭代式:

(15)

根據(jù)式(11)、式(13)、式(15),可以通過(guò)舊的密度變量ρ迭代求解新的v、u、ω值。

得到v、u、ω3個(gè)新的變量值,用于更新密度變量ρ,同樣對(duì)ρ表示式(9)進(jìn)行求導(dǎo),求ρ局部最優(yōu):

(16)

求得ρ迭代公式:

(17)

根據(jù)PnP-ADMM求解框架,每次更新完設(shè)計(jì)變量ρ,需要對(duì)懲罰因子μ1、μ2、μ3進(jìn)行判斷更新。首先計(jì)算各設(shè)計(jì)子變量的原始?xì)埐瞀?、ε2、ε3:

(18)

(19)

(20)

計(jì)算設(shè)計(jì)變量的對(duì)偶?xì)埐顀:

(21)

根據(jù)原始?xì)埐钆c對(duì)偶?xì)埐?μ1、μ2、μ3更新如下:

(22)

式中:τ是平衡因子,σ為剩余容差,且滿足σ>1,τ>1。

(23)

式中:η表示密度變化量,φ表示容差,取0<φ<10-3。

根據(jù)PnP-ADMM求解框架,如果不滿足式(23)的收斂判斷條件,需要更新各約束對(duì)應(yīng)的對(duì)偶變量:

(24)

然后繼續(xù)迭代。如果滿足收斂判斷條件,執(zhí)行下文介紹的移動(dòng)限制策略,直到滿足體積約束,收斂得到最優(yōu)解。

2.2 過(guò)濾方法

在該方法中,為了保證拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題解的存在、并且避免棋盤(pán)格現(xiàn)象,將過(guò)濾方法用于拓?fù)鋬?yōu)化的求解中。本研究采用靈敏度過(guò)濾方法[9]。SIGMUND等[9]提出的敏度過(guò)濾方法,通過(guò)設(shè)置過(guò)濾半徑并引入線性卷積因子,修正目標(biāo)函數(shù)的靈敏度。該方法計(jì)算中心單元與其他單元之間的加權(quán)平均距離,構(gòu)建范圍內(nèi)所有元素的敏度均值,并更新敏度進(jìn)行后續(xù)迭代處理,以解決棋盤(pán)格問(wèn)題。

靈敏度過(guò)濾的公式為:

(25)

2.3 移動(dòng)限制策略

本方法使用離散變量的靈敏度信息構(gòu)造子問(wèn)題,因此這些信息的精度僅在當(dāng)前設(shè)計(jì)變量附近,優(yōu)化算法迭代過(guò)程需要嚴(yán)格控制,以確保近似子問(wèn)題的解逐漸收斂到真實(shí)解。使用移動(dòng)限制策略對(duì)信息精度進(jìn)行優(yōu)化。根據(jù)YUAN等[4]的研究,不同的移動(dòng)限制策略可能適用于不同的問(wèn)題。

對(duì)于最小柔度問(wèn)題,本研究選擇控制體積分?jǐn)?shù)作為移動(dòng)限制策略。即該模塊的計(jì)算通過(guò)預(yù)定義的體積縮減因子χ逐漸減少材料的使用,它小于但接近于1,以限制設(shè)計(jì)變量的變化范圍,在當(dāng)前的體積分?jǐn)?shù)約束下進(jìn)行收斂計(jì)算后,按照縮減的體積分?jǐn)?shù)約束繼續(xù)計(jì)算。本文選擇體積分?jǐn)?shù)縮減因子χ為0.999,通過(guò)每次循環(huán)計(jì)算只去除0.1%的材料體積,用這個(gè)方法控制結(jié)構(gòu)分布的變化范圍,確保基于離散靈敏度的整數(shù)規(guī)劃子問(wèn)題的近似精度。

3 數(shù)值算例

為了驗(yàn)證應(yīng)用PnP-ADMM方法后的改進(jìn)算法有效性,算例驗(yàn)證使用MBB梁和懸臂梁兩種經(jīng)典結(jié)構(gòu)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。將本文的改進(jìn)算法命名為PNPDETOP算法。為了提供有效的比較,采用文獻(xiàn)[5]的DVTOPCRA方法和本文的PNP-ADMM改進(jìn)算法PNPDETOP進(jìn)行相同情況下的實(shí)驗(yàn),比較兩種方法的結(jié)果數(shù)據(jù)驗(yàn)證本研究的有效性。

3.1 MBB梁

以MBB梁為例討論改進(jìn)算法的有效性。MBB梁為對(duì)稱結(jié)構(gòu),因此,取1/2模型進(jìn)行優(yōu)化,模型如圖1所示。梁的右底角限制了垂直位移,且在梁左上角處施加了一個(gè)大小為1、垂直向下的點(diǎn)載荷F。設(shè)計(jì)域被離散為120*40個(gè)單元和150*50個(gè)單元的算例。在本文改進(jìn)算法與文獻(xiàn)[5]的算法中,兩個(gè)算例的以下參數(shù)都保持相同,材料的楊氏模量E=1,泊松比λ=0.3,過(guò)濾半徑rmin=3,懲罰因子p=3,材料的目標(biāo)體積分?jǐn)?shù)f=0.5,體積縮小因子χ=0.999。本文算法的各約束權(quán)重θ1=0.3,θ2=2.0,θ3=0.5,文獻(xiàn)[5]的方法的參數(shù)β取β=2000。

圖1 MBB梁結(jié)構(gòu)

根據(jù)以上設(shè)定參數(shù),進(jìn)行實(shí)驗(yàn)得到數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 MBB梁算例對(duì)比驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)

分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果,基于PnP-ADMM框架的變密度改進(jìn)優(yōu)化算法PNPDETOP同樣也可以迭代出符合約束的目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果,并且優(yōu)化后的柔度值與DVTOPCRA迭代后的柔度值相比較,長(zhǎng)寬比150*50和120*40的算例的柔度均有明顯下降,150*50的MBB梁算例下降2.48%,120*40的MBB梁算例下降2.09%。因此,在MBB梁的實(shí)驗(yàn)測(cè)試中,說(shuō)明本改進(jìn)優(yōu)化算法有效且效果良好。

3.2 懸臂梁

以懸臂梁為例討論改進(jìn)算法的有效性。結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)域、載荷和邊界條件如圖2所示,載荷大小為1。依然將設(shè)計(jì)域離散為150*50和120*40個(gè)單元的實(shí)驗(yàn)算例。PNPDETOP算法和DVTOPCRA算法懲罰因子參數(shù)設(shè)置p=2。采用的算法其他參數(shù)設(shè)置均與MBB梁的實(shí)驗(yàn)一致。

圖2 懸臂梁結(jié)構(gòu)

表2為懸臂梁結(jié)構(gòu)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

表2 懸臂梁算例對(duì)比驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)

分析表2數(shù)據(jù),改進(jìn)算法PNPDETOP對(duì)懸臂梁結(jié)構(gòu)優(yōu)化也同樣有效。長(zhǎng)寬比150*50和120*40的算例優(yōu)化后的柔度對(duì)比DVTOPCRA算法的結(jié)果都有所下降,分別降低了2.70%和2.09%。因此,基于PnP-ADMM算法框架的改進(jìn)算法,對(duì)于MBB梁和懸臂梁優(yōu)化算例都具有有效性。

4 結(jié)束語(yǔ)

對(duì)于改進(jìn)求解離散體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化的全局最優(yōu)解的優(yōu)化算法問(wèn)題,本文基于PnP-ADMM算法框架,采用離散變量?jī)?yōu)化算法,應(yīng)用移動(dòng)限制策略,提出了一種新的離散體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法。并通過(guò)MBB梁和懸臂梁結(jié)構(gòu)算例,以文獻(xiàn)[5]的算法作為對(duì)照,對(duì)改進(jìn)的算法進(jìn)行有效性驗(yàn)證,通過(guò)實(shí)驗(yàn)得到的結(jié)構(gòu)柔度,相比DVTOPCRA算法,柔度值下降在2%左右,都有明顯下降。

本方法可以在多約束求解方面繼續(xù)探索,由于應(yīng)用了PnP-ADMM的求解框架,該算法具有即插即用的交替乘子算法部分特點(diǎn)。對(duì)于多約束問(wèn)題,探索約束的即插即用,進(jìn)行對(duì)應(yīng)多約束下的優(yōu)化求解。