利用統(tǒng)計(jì)熱力學(xué)對(duì)白矮星結(jié)構(gòu)及演化的分析

黃 柯

(云南大學(xué) 物理與天文學(xué)院,云南 昆明 650091)

白矮星的結(jié)構(gòu)由簡(jiǎn)并等溫核與理想氣體外包層組成,白矮星外包層內(nèi)的氣體可視為理想氣體,而中心核是電子簡(jiǎn)并的等溫核,形成自由電子氣體.恒星在依靠輻射力抵抗引力的機(jī)制失效后,極端高密度內(nèi)核的電子簡(jiǎn)并壓強(qiáng)足以抵抗氦核間產(chǎn)生的巨大引力時(shí),就形成了白矮星.但是Pauli不相容原理所產(chǎn)生的電子簡(jiǎn)并壓強(qiáng)存在一個(gè)上限,導(dǎo)致白矮星質(zhì)量存在一個(gè)極限值,即Chandrasekhar極限.當(dāng)白矮星質(zhì)量小于Chandrasekhar極限時(shí),白矮星能穩(wěn)定存在,處于動(dòng)態(tài)平衡;隨著白矮星質(zhì)量不斷增加到Chandrasekhar極限時(shí),白矮星將會(huì)發(fā)生進(jìn)一步演化.結(jié)構(gòu)決定性質(zhì),對(duì)白矮星特殊性質(zhì)與演化的理解,其基礎(chǔ)是分析描述白矮星結(jié)構(gòu)的物態(tài)方程.

本文采用統(tǒng)計(jì)熱力學(xué)理論對(duì)描述白矮星結(jié)構(gòu)的物態(tài)方程進(jìn)行分析,第1部分對(duì)統(tǒng)計(jì)物理的三種分布進(jìn)行闡述.第2部分通過(guò)經(jīng)典統(tǒng)計(jì)的Boltzmann分布推導(dǎo)了白矮星外包層的理想氣體物態(tài)方程.第3部分通過(guò)量子統(tǒng)計(jì)的Fermi分布,考慮非相對(duì)論與相對(duì)論情況,推導(dǎo)了白矮星內(nèi)核簡(jiǎn)并電子氣體的物態(tài)方程.第4部分在分析了白矮星結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上,通過(guò)簡(jiǎn)并電子壓強(qiáng)與氦核引力勢(shì)相互平衡,考慮極端相對(duì)論情況,求解了白矮星的Chandrasekhar極限,并以此極限值展開對(duì)白矮星演化的闡述.第5部分對(duì)該研究工作作出小結(jié).

1 經(jīng)典統(tǒng)計(jì)與量子統(tǒng)計(jì)

粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述可分為經(jīng)典統(tǒng)計(jì)與量子統(tǒng)計(jì),若粒子可分辨,采用經(jīng)典統(tǒng)計(jì)中的Boltzmann分布,Boltzmann系統(tǒng)中的粒子視為定域粒子,完全描述粒子的波函數(shù)沒有交疊,因此近似為連續(xù)分布,因?yàn)榱Ｗ涌煞直?而且處在某一量子態(tài)上的粒子數(shù)不受限制,根據(jù)等概率假設(shè)得出Boltzmann分布[1]為

(1)

Bose分布為

(2)

Fermi分布為

(3)

三種分布的區(qū)別在于,Fermi分布要求滿足Pauli不相容原理:不能有兩個(gè)及以上全同的Fermion處在同一個(gè)量子態(tài)上,即Fermi系統(tǒng)的任意一個(gè)個(gè)體量子態(tài)上的粒子數(shù)要受到限制,而Bose系統(tǒng)與Boltzmann系統(tǒng)則沒有這一限制.

(4)

其中N!是粒子全同性原理引入的因子[1].

2 Boltzmann分布推導(dǎo)白矮星外包層的理想氣體物態(tài)方程

白矮星外包層可視為理想氣體,滿足非簡(jiǎn)并條件e-α?1,因此服從Boltzmann分布.可以求得Boltzmann系統(tǒng)的內(nèi)能為[1]

(5)

(6)

(7)

(8)

為便于推導(dǎo),取單原子分子模型,僅考慮非相對(duì)論情況下粒子平動(dòng)的能量,故自由度取3,忽略氣體分子間的相互作用,視為近獨(dú)立粒子并做自由運(yùn)動(dòng),因?yàn)锽oltzmann系統(tǒng)滿足經(jīng)典統(tǒng)計(jì),粒子可分辨,無(wú)全同性的概念,所以態(tài)量子化不存在,系統(tǒng)應(yīng)視為連續(xù)分布,故配分函數(shù)要求寫成積分項(xiàng)[3]

(9)

(10)

聯(lián)立式(8)和式(10)可以得到白矮星外包層的理想氣體物態(tài)方程

(11)

實(shí)際上,對(duì)于雙原子或者多原子分子,還應(yīng)該考慮轉(zhuǎn)動(dòng)與振動(dòng)的自由度以及能量,但由于配分函數(shù)Z1始終是體積V的單值函數(shù),所以結(jié)果仍然滿足式(11).

3 Fermi分布推導(dǎo)白矮星內(nèi)核的簡(jiǎn)并電子氣體物態(tài)方程

Chandrasekhar理論指出:白矮星內(nèi)核的電子是完全簡(jiǎn)并的.簡(jiǎn)并電子幾乎提供了全部的Fermi壓強(qiáng)以抵抗來(lái)自氦核引力的坍縮.電子的運(yùn)動(dòng)速度與白矮星的平均密度有關(guān),平均密度滿足ρ?106g·cm-3時(shí),簡(jiǎn)并電子的速度會(huì)遠(yuǎn)小于光速c≈2.99×108m·s-1,通過(guò)非相對(duì)論物態(tài)方程描述,而平均密度滿足ρ>106g·cm-3時(shí),簡(jiǎn)并電子的速度接近光速,通過(guò)相對(duì)論物態(tài)方程描述[4].

3.1 自由電子氣體的Fermi統(tǒng)計(jì)

白矮星內(nèi)核的密度極大,電子之間靠得很近,因?yàn)殡娮訉儆贔ermion,Pauli不相容原理指出:兩個(gè)及以上完全相同的Fermion不能占據(jù)同一個(gè)量子態(tài),根據(jù)能量最低原理,要保持體系的穩(wěn)定,電子應(yīng)從能量最低的態(tài)開始,依次填充至能量較高的態(tài),于是產(chǎn)生了宏觀上獨(dú)特的量子效應(yīng)——電子簡(jiǎn)并.電子的簡(jiǎn)并程度同樣與密度有關(guān),密度越高,簡(jiǎn)并度越大,電子運(yùn)動(dòng)速度越接近光速,滿足相對(duì)論物態(tài)方程.

(12)

(13)

上式表明T=0 K時(shí),電子從ε=0的態(tài)開始,依次填充至ε=μ(0)的態(tài)為止.μ(0)表示電子0+K時(shí)的最大能量,稱為Fermi能級(jí),此時(shí)電子是完全簡(jiǎn)并狀態(tài).

3.2 自由電子在非相對(duì)論與相對(duì)論下的量子態(tài)密度

首先確定電子的量子態(tài)密度,設(shè)自由度為3的電子在體積V內(nèi)自由運(yùn)動(dòng),將μ空間的體積Vdpxdpydpz除以相格大小h3可以得到三維自由粒子在Vdpxdpydpz內(nèi)的量子態(tài)密度[1]為

(14)

(15)

先將動(dòng)量表示為球極坐標(biāo)形式

(16)

再將式(16)代入式(15)可得

(17)

(18)

相對(duì)論情況下,動(dòng)量與能量關(guān)系式為ε=cp,代入(17)式可求得在ε→ε+dε能量范圍內(nèi),自由電子的量子態(tài)密度為

(19)

3.3 完全簡(jiǎn)并情況下電子氣體的非相對(duì)論物態(tài)方程與相對(duì)論物態(tài)方程

非相對(duì)論情況下,每個(gè)量子態(tài)上的平均電子數(shù)為f(0)×D(ε)dε,所以總的電子數(shù)N為

(20)

(21)

可求解得系統(tǒng)的內(nèi)能為

(22)

(23)

將式(21)(22)代入式(23)可得非相對(duì)論情況下的電子簡(jiǎn)并壓強(qiáng)為

(24)

(25)

μe≈2表示氦原子電離度,mu≈1.66×10-27kg表示原子質(zhì)量單位,求得非相對(duì)論情況下電子簡(jiǎn)并壓強(qiáng)與密度的關(guān)系為

(26)

式(26)即為完全簡(jiǎn)并情況下電子氣體的非相對(duì)論物態(tài)方程.

現(xiàn)在我們來(lái)討論相對(duì)論情況.同理,相對(duì)論情況下,總的電子數(shù)N為

(27)

(28)

可求解得系統(tǒng)的內(nèi)能為

(29)

(30)

將式(28)、(29)代入式(30)可得相對(duì)論情況下的電子簡(jiǎn)并壓強(qiáng)為

(31)

(32)

式(32)即為完全簡(jiǎn)并情況下電子氣體的相對(duì)論物態(tài)方程.

對(duì)比式(11)、式(26)以及式(32)可知:一方面,完全簡(jiǎn)并情況下,考慮相對(duì)論與否,電子氣體簡(jiǎn)并壓強(qiáng)P(0)都只是體密度ρ的單值函數(shù);另一方面,理想氣體物態(tài)方程表明隨溫度的升高,壓強(qiáng)亦隨之增大,而內(nèi)核電子氣體在完全簡(jiǎn)并情況下,壓強(qiáng)就不再是溫度的函數(shù),只與體密度有關(guān),隨著中心密度的不斷增大,其質(zhì)量將趨于Chandrasekhar極限,即電子簡(jiǎn)并壓強(qiáng)支撐的質(zhì)量存在上限[8].

4 Chandrasekhar極限的求解

白矮星的熱核反應(yīng)已經(jīng)停止,其演化過(guò)程即冷卻過(guò)程,在白矮星形成初期,高溫高密度的中心核通過(guò)激發(fā)中微子實(shí)現(xiàn)快速降溫,后期將由冷卻過(guò)程主導(dǎo)白矮星的演化[9],星體通過(guò)緩慢收縮而放出引力勢(shì)能,即白矮星通過(guò)減小半徑進(jìn)而提高密度,由式(26)、(32)可知電子簡(jiǎn)并壓強(qiáng)隨密度增大而劇增,用以抵抗來(lái)自氦核的巨大引力,電子簡(jiǎn)并壓強(qiáng)和引力相抗衡可建立起流體靜力學(xué)平衡.本文從平衡方程入手求解Chandrasekhar極限.

從動(dòng)力學(xué)角度看白矮星隨時(shí)間的演化過(guò)程,在不考慮流動(dòng)效應(yīng)時(shí),設(shè)重力沿z軸向下,白矮星內(nèi)部平衡結(jié)構(gòu)的密度ρ與壓強(qiáng)P服從流體靜力學(xué)平衡方程[8]:

(33)

假定該平衡結(jié)構(gòu)的物理量都只是位置r的函數(shù),式(33)可改寫為

(34)

引力主要來(lái)源于氦核,因?yàn)橐?chǎng)是保守力場(chǎng),可以引入勢(shì)的概念,根據(jù)萬(wàn)有引力定律,引力勢(shì)φ服從泊松方程[8]

▽2φ=4πρG

(35)

式中G=6.67×10-11m3·kg-1·s-2表示引力常量,同時(shí)引力勢(shì)φ與引力加速度g的關(guān)系滿足

g=-▽?duì)?/p>

(36)

假設(shè)白矮星為球?qū)ΨQ星體,電荷背景處(處為零),呈現(xiàn)電中性,電子按照自由電子氣體處理,以白矮星中心為原點(diǎn)建立球坐標(biāo)系,根據(jù)球?qū)ΨQ性,取引力加速度為g=(-g,0,0),代入式(35),通過(guò)拉普拉斯算子▽2在球坐標(biāo)系下的表示可解得

圖1 球?qū)ΨQ型白矮星示意圖

(38)

(39)

由邊界條件r=0,Mr=0對(duì)式(39)積分得

(40)

(41)

(42)

Mch就是著名的Chandrasekhar極限,其中M⊙表示太陽(yáng)質(zhì)量,當(dāng)白矮星質(zhì)量趨近于1.4M⊙時(shí),白矮星半徑將趨于零,密度將趨于無(wú)窮大,白矮星將被壓縮為一個(gè)奇點(diǎn),因此不可能有超過(guò)該極限質(zhì)量的白矮星存在,天文觀測(cè)同樣證實(shí)了這一觀點(diǎn),迄今為止觀測(cè)到的白矮星質(zhì)量大多為0.5～0.8M⊙[11],因此當(dāng)白矮星質(zhì)量超過(guò)Chandrasekhar極限時(shí),有兩種情況[8,10]:①若白矮星處于雙星系統(tǒng),它將不斷吸積來(lái)自伴星的物質(zhì)并達(dá)到Chandrasekhar極限,最終產(chǎn)生Ia型超新星爆發(fā).②若白矮星是孤立的,等離子中微子過(guò)程使得熱核爆炸不會(huì)發(fā)生,白矮星將被中子化,即電子簡(jiǎn)并壓強(qiáng)不足以抵抗氦核產(chǎn)生的巨大引力,電子會(huì)被巨大的引力壓進(jìn)原子核,與核內(nèi)質(zhì)子結(jié)合形成中子,中子也是Fermion,但中子簡(jiǎn)并壓強(qiáng)卻比電子簡(jiǎn)并壓強(qiáng)大得多,能夠抵抗此時(shí)氦核產(chǎn)生的巨大引力,最后演化為一顆全新且穩(wěn)定的中子星.

5 小 結(jié)

統(tǒng)計(jì)物理規(guī)律指出:實(shí)驗(yàn)觀測(cè)的時(shí)間平均值等于系統(tǒng)的系綜平均值,一個(gè)精確的理論模型往往可以更好地指導(dǎo)實(shí)驗(yàn)觀測(cè).本文在此思想上從描述微觀狀態(tài)的統(tǒng)計(jì)物理規(guī)律出發(fā),對(duì)白矮星結(jié)構(gòu)與演化進(jìn)行分析,利用統(tǒng)計(jì)熱力學(xué)理論推導(dǎo)了外包層理想氣體與內(nèi)核電子氣體滿足的物態(tài)方程,得到了非相對(duì)論與相對(duì)論情況下的內(nèi)核電子簡(jiǎn)并壓強(qiáng),由此分析了白矮星的結(jié)構(gòu),并在此基礎(chǔ)上通過(guò)內(nèi)核電子簡(jiǎn)并壓強(qiáng)與氦核引力勢(shì)相平衡的條件,利用流體靜力學(xué)平衡方程求解了球?qū)ΨQ型白矮星的Chandrasekhar極限,以此極限值展開對(duì)白矮星的兩種演化結(jié)果的闡述.利用統(tǒng)計(jì)物理規(guī)律幫助我們深入地理解白矮星結(jié)構(gòu)與演化的本質(zhì),對(duì)統(tǒng)計(jì)熱力學(xué)在實(shí)踐中應(yīng)用具有一定的意義.