Fredholm積分-微分方程的高精度數(shù)值方法研究

林楠,張新東

(新疆師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,新疆 烏魯木齊830017)

積分方程于1823年由Able首先提出,隨后許多學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了研究.Fredholm和Volterra開創(chuàng)了研究線性積分方程理論的先河.其中Fredholm先后提出了三類Fredholm積分方程.隨著科技水平的不斷發(fā)展,許多實(shí)際問題也日漸復(fù)雜化,例如生物醫(yī)學(xué),航空航天,經(jīng)濟(jì)學(xué)等問題,這些問題大部分都可以轉(zhuǎn)化成求解積分-微分方程,這是繼微分方程和積分方程后出現(xiàn)的又一新的數(shù)學(xué)分支.而Fredholm積分-微分方程是其重要組成部分,在許多的領(lǐng)域中都有著廣泛的運(yùn)用,尤其是在生物數(shù)學(xué)、原子物理、航天航空等方面.但由于大部分的積分-微分方程都很難得到確切的解析解,所以尋找不同的數(shù)值求解方法尤為重要.目前,隨著不斷的研究,已經(jīng)出現(xiàn)了許多有效的求解方法,如:有限差分配置法[1],變分迭代法[2],Adomian分解法[3],Tau方法[4]等.

本文運(yùn)用一種新型無網(wǎng)格計(jì)算方法,即重心插值配點(diǎn)法求解Fredholm積分-微分方程.重心插值配點(diǎn)法包括重心Lagrange插值和重心有理插值.2004年,Berrut等人提出了重心Lagrange插值公式[5],由于重心Lagrange插值在一些特殊節(jié)點(diǎn)的分布下具有很好的數(shù)值穩(wěn)定性,但對(duì)于常用的等距節(jié)點(diǎn),其插值卻是病態(tài)的.于是在2007年,Floater 等人提出了一種重心有理插值形式[6],這種插值方法能夠有效的克服插值不穩(wěn)定性問題.由于重心插值配點(diǎn)法具有計(jì)算精度高,程序簡單等優(yōu)點(diǎn),所以可以用來求解各種不同類型的方程,如:Allen-Cahn方程[7,8],Cahn-Hilliard方程[9],高維Fredholm積分方程[10],非線性拋物方程[11],粘彈性波方程[12]等.

本文主要介紹如何運(yùn)用重心插值配點(diǎn)法對(duì)積分項(xiàng)包含未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的Fredholm積分-微分方程進(jìn)行數(shù)值求解.本文首先對(duì)重心插值配點(diǎn)法進(jìn)行介紹,進(jìn)而使用重心插值配點(diǎn)法推導(dǎo)出Fredholm積分-微分方程的離散格式,最后通過三個(gè)不同的數(shù)值算例驗(yàn)證了本文方法的有效性和數(shù)值格式的穩(wěn)定性.

本文主要研究以下形式的Fredholm積分-微分方程

(1)

其中,p(x),q(x),f(x)均為區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù);K(x,t)為關(guān)于變量x,t連續(xù)的積分核函數(shù);r,s均為正整數(shù).

1 重心插值配點(diǎn)法介紹

本節(jié)主要介紹求解方程(1)時(shí)所用到的重心Lagrange插值和重心有理插值.

1.1 重心Lagrange插值

設(shè)有n+1個(gè)不同的插值節(jié)點(diǎn)xj(j=0,1,…,n)和相對(duì)應(yīng)的一組實(shí)數(shù)yj.則Lagrange 插值公式為

(2)

其中,Lj(x)為Lagrange插值基函數(shù),

令l(x)=(x-x0)(x-x1)…(x-xn),

定義重心權(quán)

也就是ωj=1/l′(xj),則插值基函數(shù)就可以表示成

(3)

將式(3)代入式(2)中,得到改進(jìn)的Lagrange插值公式[13]

(4)

利用插值常數(shù)1,可以得下面的恒等式:

(5)

將式(5)兩邊分別去除式(4)的兩邊,就可以得到重心Lagrange插值公式[14]

其中,ωj為重心Lagrange插值權(quán).

1.2 重心有理插值

重心有理插值[15]是利用有理函數(shù)進(jìn)行插值,給定插值節(jié)點(diǎn)xi(i=0,1,…,n)及其所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值yi,選擇一個(gè)整數(shù)d,并滿足0≤d≤n,對(duì)于每一個(gè)i=0,1,…,n-d,令pi為插值d+1個(gè)點(diǎn)對(duì)(xi,yi),(xi+1,yi+1),…,(xi+d,yi+d)的次數(shù)至多為d的多項(xiàng)式,則有理函數(shù)插值公式為

(6)

其中,λi(x)=(-1)i/((x-xi)…(x-xi+d)).

將多項(xiàng)式pi(x)寫成Lagrange公式形式

(7)

并將式(7)代入式(6)的分子中,能夠得到

(8)

其中

(9)

指標(biāo)集Jk={i∈M:k-d≤i≤k},其中M={0,1,2,…,n}為一指標(biāo)集.由于

由此可以得到

(10)

將式(8)和式(10)代入式(6)中,則得到的高階重心有理插值公式就可以寫為

2 離散格式構(gòu)造

下面,考慮運(yùn)用重心插值配點(diǎn)法構(gòu)造方程(1)的離散格式.

首先,將方程(1)的區(qū)間[a,b]離散為a=x0

(11)

其中,Lj(x)(j=0,1,…,n)為重心Lagrange插值基函數(shù)或重心有理插值基函數(shù).

將公式(11)代入方程(1)中,可得到如下等式,

(12)

進(jìn)一步,若使方程(12)在節(jié)點(diǎn)xi(0≤i≤n)處成立,則可得到如下n+1個(gè)方程的方程組

(13)

將方程(13)右端第二項(xiàng)中的積分號(hào)和求和號(hào)交換次序,則可得到

(14)

對(duì)上式右端項(xiàng)中的積分項(xiàng)引入記號(hào)Kj(xi),并采用Gauss積分公式[16]計(jì)算,可得

其中,tk,Ak分別為Gauss積分的積分點(diǎn)和積分權(quán);m為Gauss積分的積分點(diǎn)數(shù)量;(b-a)/2為定積分變換系數(shù).

由式(14)可得

(15)

將式(15)代入方程(13)中,可得到重心插值配點(diǎn)法離散格式如下,

(D(r)-P-QK)y=f

(16)

最后,對(duì)Fredholm積分-微分方程的重心插值配點(diǎn)法離散格式(16)施加定解條件,求解代數(shù)方程組,就可以得到Fredholm積分-微分方程的數(shù)值解.

3 數(shù)值算例

數(shù)值計(jì)算中所使用的計(jì)算軟件為Matlab R2021a,電腦型號(hào)是Lenovo小新15ALC 2021.數(shù)值算例計(jì)算的絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差分別定義為

例1滿足y(0)=1和y′(0)=-3的如下方程

其解析解為y(x)=e-3x.

本算例為方程(1)中r=2,s=1的Fredholm積分-微分方程.重心插值配點(diǎn)法的計(jì)算區(qū)間取積分區(qū)間.根據(jù)(16)可以得到本算例重心插值配點(diǎn)法的計(jì)算格式為(D(2)-9I-K)y=f.

在采用8個(gè)高斯積分點(diǎn),21個(gè)等距節(jié)點(diǎn)和第二類Chebyshev節(jié)點(diǎn)、重心有理插值參數(shù)d=15的計(jì)算條件下,重心插值配點(diǎn)法的計(jì)算誤差見表4.1,其中所使用的8個(gè)高斯積分點(diǎn)和積分權(quán)見表2.通過表1、圖1和圖2可以看出,在使用等距節(jié)點(diǎn)時(shí)重心有理插值配點(diǎn)法計(jì)算精度較高,在使用第二類Chebyshev節(jié)點(diǎn)時(shí)重心Lagrange插值配點(diǎn)法的計(jì)算精度高于重心有理插值配點(diǎn)法.

圖1 例1在等距節(jié)點(diǎn)條件下的誤差

表1 例1的計(jì)算誤差

表3 例2的計(jì)算誤差

表4.2 八個(gè)高斯積分點(diǎn)和高斯積分權(quán)重

例2本例的方程如下

其解析解為y(x)=cos(x).

本算例為方程(1)中r=3,s=2的Fredholm積分-微分方程,積分核函數(shù)為K(x,t)=xt.重心插值配點(diǎn)法的計(jì)算區(qū)間取[0,1],根據(jù)公式(16)可以得到本算例重心插值配點(diǎn)法的計(jì)算格式為(D(3)-K)y=f.

在8個(gè)高斯積分點(diǎn)、11個(gè)等距節(jié)點(diǎn)和第二類Chebyshev節(jié)點(diǎn)、重心有理插值參數(shù)d=10的計(jì)算條件下,兩種重心插值配點(diǎn)法的計(jì)算誤差見表3,其中所使用的八個(gè)高斯積分點(diǎn)和積分權(quán)與表2相同.通過表3、圖3和圖4能夠看出,兩種插值配點(diǎn)法在第二類Chebyshev節(jié)點(diǎn)的計(jì)算精度高于等距節(jié)點(diǎn)的計(jì)算精度,且在使用第二類Chebyshev節(jié)點(diǎn)時(shí)重心Lagrange插值配點(diǎn)法的計(jì)算精度高于重心有理插值配點(diǎn)法的計(jì)算精度.

圖3 例2在等距節(jié)點(diǎn)條件下的誤差

例3第三個(gè)例子具有如下形式

其解析解為y(x)=ex+x3.

本算例為(1)中r=4,s=3的Fredholm積分-微分方程,積分核函數(shù)為K(x,t)=xt.重心插值配點(diǎn)法的計(jì)算區(qū)間取[0,1],根據(jù)公式(16)可以得到本算例重心插值配點(diǎn)法的計(jì)算格式(D(4)-K)y=f.

在6個(gè)高斯積分點(diǎn)、11個(gè)等距節(jié)點(diǎn)和第二類Chebyshev節(jié)點(diǎn)、重心有理插值參數(shù)d=10的計(jì)算條件下,重心插值配點(diǎn)法的計(jì)算誤差見表5,其中所使用的6個(gè)高斯積分點(diǎn)和積分權(quán)見表通過表5、圖5和圖6可以看出,在本算例中兩種插值配點(diǎn)法都有較好的計(jì)算精度,且節(jié)點(diǎn)誤差分布基本相同.

圖5 例3在等距節(jié)點(diǎn)條件下的誤差

表5 例3的計(jì)算誤差

4 結(jié)束語

本文主要研究重心插值配點(diǎn)法求解積分項(xiàng)包含未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的Fredholm積分-微分方程.數(shù)值算例結(jié)果表明利用重心Lagrange插值配點(diǎn)法和重心有理插值配點(diǎn)法進(jìn)行計(jì)算,均可得到較高精度的數(shù)值解.但當(dāng)需要獲得高精度數(shù)值解時(shí),一般會(huì)優(yōu)先采用重心Lagrange插值配點(diǎn)法在第二類Chebyshev節(jié)點(diǎn)上計(jì)算.同時(shí),還可以看出,隨著積分項(xiàng)中未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的階數(shù)不斷增大,計(jì)算誤差也會(huì)不斷增大,其主要原因是當(dāng)導(dǎo)數(shù)的階數(shù)越高時(shí),進(jìn)行數(shù)值模擬所需要的運(yùn)算次數(shù)就越多,誤差積累也會(huì)越來越多.