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    一道高校創(chuàng)新班招生試題的探究

    2024-04-05 16:02:32張志剛
    中學(xué)數(shù)學(xué)研究 2024年3期
    關(guān)鍵詞:展開式泰勒切線

    張志剛

    解題教學(xué)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中具有不可替代的作用.對于典型問題,教師要引導(dǎo)學(xué)生挖掘本質(zhì),捕捉信息,抓住關(guān)鍵,尋求聯(lián)系,觸發(fā)靈感,構(gòu)建方案.讓學(xué)生在感知確認、抽象概括、合情推理、操作運算等思維活動中,全方位、多角度、多層次地思考問題,逐步學(xué)會有邏輯地思考數(shù)學(xué)問題.同時,教師追根溯源可以洞悉命題意圖,橫跨縱聯(lián)利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維.

    1 試題呈現(xiàn)

    本題是2023年中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)創(chuàng)新班初試第4題,為函數(shù)與數(shù)列的綜合問題.試題結(jié)構(gòu)精煉,情境新穎,突出對數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)的考查,呈現(xiàn)出更強的綜合性與選拔性,具有較高的研究價值.

    2? 解法探究

    第(1)問 本小問要求證明不等式恒成立,可考慮構(gòu)造函數(shù),通過導(dǎo)數(shù)討論其單調(diào)性證明.

    首先證明:當(dāng)x>0時,sinx

    設(shè)fx=sinx-xx>0,f′x=cosx-1≤0,所以fx在0,+∞上單調(diào)遞減,所以當(dāng)x>0時,fx

    第(2)問 本小問是數(shù)列不等式的證明問題,綜合性較強.解答時應(yīng)注重借助第(1)問的結(jié)論,結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法與放縮進行證明.

    3 命制背景

    本題第(1)問不等式的高等數(shù)學(xué)背景是正弦函數(shù)的泰勒(Taylor)展開式.

    用多項式逼近函數(shù)是近似計算和理論分析的一個重要內(nèi)容[2].學(xué)生在“導(dǎo)數(shù)的幾何意義”一節(jié)已學(xué)習(xí)了切線擬合——以直代曲,即用曲線上某點處的切線近似代替此點附近的曲線.例如,函數(shù)y=sinx點0,f0附近的圖象可用切線y=x擬合.然而,切線擬合在很多場合中并不能滿足精確度要求,需用二次或高于二次的多項式逼近.切線擬合啟發(fā)我們:既然用一階導(dǎo)數(shù)逼近就可在切點附近達到一定的精度,那么多次求導(dǎo),讓擬合函數(shù)在某點處的任意階導(dǎo)數(shù)與原函數(shù)的同階導(dǎo)數(shù)相等,應(yīng)會提高精確度.這正是泰勒公式的核心思想:圖1先把函數(shù)轉(zhuǎn)換(改寫)為多項式形式,

    其中多項式的系數(shù)求導(dǎo)得到.然后用多項式擬合函數(shù),其誤差是關(guān)于x-x0n的高階無窮小量.例如,由麥克

    此外,將上式中的高次項舍棄,保留前部片段就得到一些常用的不等式.例如,保留展開式的前一項即得sinx

    諸多高考題和模擬題以泰勒公式為科學(xué)背景;或是直接應(yīng)用泰勒公式,或是研究泰勒公式,考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng).下面列舉兩例,體會泰勒公式在比較大小、不等式恒成立等問題中的功用.

    A.a

    C.c

    本題以分數(shù),指數(shù)式和對數(shù)式為載體,考查比較大小的問題,屬于探索創(chuàng)新情境.常見解法是構(gòu)

    造函數(shù)fx=1-xex-1,gx=xex+ln1-x,利用導(dǎo)數(shù)討論其單調(diào)性,進而判定代數(shù)式的大小.下面利用泰勒展開式給出兩種解法.

    點評:上述兩種解法借助泰勒公式近似計算或放縮,論證簡潔高效,彰顯了泰勒展開式在函數(shù)擬合與近似計算中的獨特價值.

    例2 (2020年新高考Ⅰ卷第21題)已知函數(shù)fx=aex-1-lnx+lna.(1) 當(dāng)a=e時,求曲線y=fx在點1,f1處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積;(2) 若fx≥1,求a的取值范圍.

    本題第(1)問變?yōu)槔脤?dǎo)數(shù)的幾何意義解決曲線的切線問題,較為容易.第(2)問為考查不等式恒成立求參數(shù)范圍問題,常見的解答思路有同構(gòu)變形、虛設(shè)零點等.下面利用分類討論思想嘗試作答.

    綜上,a的取值范圍是1,+∞.

    4 延伸思考

    爾問題.

    歐拉將方程與巴塞爾問題,創(chuàng)造性地把有限多項式的因式乘積形式類比至無限項多項式中,成功地把無窮級數(shù)和數(shù)字π聯(lián)系起來,彰顯了獨特的原創(chuàng)性和簡潔性,也成為近年高考模擬考試的熱點命題素材,下面再舉一例.

    例3 (2023年湖南省永州市第三次適應(yīng)性測試第22題)已知函數(shù)fx=xe-x·lna,gx=sinx.

    (1)若x=0是函數(shù)hx=fx+agx的極小值點,討論hx在區(qū)間-∞,π上的零點個數(shù);

    參考文獻

    [1] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編.數(shù)學(xué)分析(上冊)(第4版)[M].北京:高等教育出版社,2010.7.

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