基于Rényi-α 熵的參數(shù)化糾纏度量*

戴偉鵬 賀衎 侯晉川

(太原理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,太原 030024)

與各種非參數(shù)化糾纏度量相比,參數(shù)化糾纏度量顯示了其優(yōu)越性.并發(fā)糾纏被廣泛用于描述量子實(shí)驗(yàn)中的糾纏.作為一種糾纏度量,它與特定Rényi-α 熵有關(guān).本文提出了一種基于Rényi-α 熵的參數(shù)化兩體糾纏度量,命名為α-對(duì)數(shù)并發(fā)糾纏.與現(xiàn)有的參數(shù)化度量不同,首先定義了純態(tài)的度量,然后推廣到混合態(tài).進(jìn)一步驗(yàn)證了α-對(duì)數(shù)并發(fā)糾纏滿足糾纏度量3 個(gè)條件.展示了對(duì)純態(tài)的度量是容易計(jì)算的,然而對(duì)于混合態(tài),解析計(jì)算只適用于特殊的雙量子位態(tài)或特殊的高維混合態(tài).因此,本文致力于建立一般兩體態(tài)α-對(duì)數(shù)并發(fā)糾纏的一個(gè)下界.令人驚訝的是,這個(gè)下界是這個(gè)混合態(tài)的正部分轉(zhuǎn)置判據(jù)和重排判據(jù)的函數(shù).這表明了3 種糾纏度量之間的聯(lián)系.有趣的是,下界依賴于與具體態(tài)相關(guān)的熵參數(shù).這樣我們可以選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)α,使得Gα(ρ)?0用于特定態(tài)ρ 的實(shí)驗(yàn)糾纏檢測(cè).此外,計(jì)算了isotropic 態(tài)的α-對(duì)數(shù)并發(fā)糾纏的表達(dá)式,并給出了d=2時(shí)isotropic 態(tài)的解析表達(dá)式.最后,討論了α-對(duì)數(shù)并發(fā)糾纏的的單配性.建立了兩個(gè)量子比特系統(tǒng)中并發(fā)糾纏和α-對(duì)數(shù)并發(fā)糾纏之間的函數(shù)關(guān)系,然后得到了該函數(shù)的一些有用性質(zhì),并結(jié)合Coffman-Kundu-Wootters (CKW)不等式,建立了關(guān)于α-對(duì)數(shù)并發(fā)糾纏的單配性不等式.最終證明了單配性不等式對(duì)于α-對(duì)數(shù)并發(fā)糾纏是成立的.

1 引言

近年來,圍繞量子糾纏這一課題展開了大量的研究,對(duì)量子信息理論產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響.量子糾纏在量子密集編碼[1]、量子隱形傳態(tài)[2]、量子密鑰共享[3]、量子密碼[4]等量子計(jì)算和量子信息中起著不可或缺的作用.如何驗(yàn)證一個(gè)量子復(fù)合系統(tǒng)態(tài)是糾纏態(tài)還是可分態(tài)是量子信息理論的一個(gè)基本問題.對(duì)于一般的混合態(tài),這仍然是未解決的問題.到目前為止,兩體糾纏有兩個(gè)重要的糾纏判據(jù).一種是正偏轉(zhuǎn)置(PPT)判據(jù)[5],這個(gè)判據(jù)描述了對(duì)于任意可分的兩體態(tài)ρAB,它的偏轉(zhuǎn)置矩陣滿足≥0.正偏轉(zhuǎn)置判據(jù)只是純態(tài)和2?2 或者2?3混合態(tài)的糾纏判據(jù)的充要條件,但一般而言,對(duì)于更高的維度是不充分的[5,6].另一種是重排判據(jù)[7–9],即對(duì)任意可分的兩體態(tài)ρAB,它的重排矩陣R(ρ)滿足∥R(ρ)∥1≤1,其中∥X∥1表示矩陣X的跡范數(shù),∥X∥1=這兩個(gè)糾纏判據(jù)在量子信息理論中得到了廣泛的應(yīng)用.

糾纏度量的關(guān)鍵是度量一個(gè)糾纏量子系統(tǒng)可以利用多少資源,這對(duì)量子信息的定量研究具有重要意義.對(duì)于兩體系統(tǒng),常見的糾纏度量有: 并發(fā)糾纏[10–12]、負(fù)性糾纏[13,14]、生成糾纏[15,16]、Rényi-α熵糾纏[17,18]、Tsallis-q熵糾纏[19]、robustness 糾纏[20]等.對(duì)于任意的純態(tài)|ψ〉A(chǔ)B,并發(fā)糾纏可表示為C(|ψ〉A(chǔ)B)=其中ρA=trB|ψ〉〈ψ| .近年來,通過并發(fā)糾纏,參數(shù)化糾纏測(cè)度問題被廣泛研究[21–23].楊雪等[21]提出當(dāng)q≥2 時(shí)的參數(shù)化單調(diào)糾纏量q-并發(fā)糾纏,它與一般的Tsallis-q熵有關(guān),并且通過聯(lián)系PPT 判據(jù)和重排判據(jù)來刻畫它的解析下界.魏志偉等[22]將q-并發(fā)糾纏的解析下界刻畫得更緊致.此外,魏志偉和費(fèi)少明[23]受Tsallis-q熵糾纏和參數(shù)化單調(diào)糾纏量q-并發(fā)糾纏的啟發(fā),對(duì)于任意的0 ≤α≤1/2,提出了一種新的參數(shù)化糾纏度量,命名為α-并發(fā)糾纏,并且研究了它的性質(zhì),刻畫了其解析下界.本文將提出一種參數(shù)化糾纏度量,命名為α-對(duì)數(shù)并發(fā)糾纏.

此外,用解析方法計(jì)算任意給定混合態(tài)的糾纏度是非常困難的.目前,只適用于特殊度量和雙量子位態(tài)或特殊的高維混合態(tài)[12,24–28].因此,尋找糾纏度量的解析下界具有重要意義.如在文獻(xiàn)[29–33]中,通過聯(lián)系PPT 判據(jù)和重排判據(jù),給出了并發(fā)糾纏的解析下界.本文的一個(gè)目標(biāo)是構(gòu)造α-對(duì)數(shù)并發(fā)糾纏的解析下界.第2 節(jié)給出α-對(duì)數(shù)并發(fā)糾纏的定義,然后證明它是一個(gè)良好的糾纏度量;第3 節(jié)根據(jù)PPT 判據(jù)和重排判據(jù),得到一般兩體系統(tǒng)α-對(duì)數(shù)并發(fā)糾纏的解析下界;第4 節(jié)計(jì)算了isotropic 態(tài)的α-對(duì)數(shù)并發(fā)糾纏;第5 節(jié)研究α-對(duì)數(shù)并發(fā)糾纏的單配性問題.

2 α-對(duì)數(shù)并發(fā)糾纏

在量子系統(tǒng)中,對(duì)于Hilbert 空間HA?HB中的任意純態(tài)|ψ〉,并發(fā)糾纏(concurrence)定義為

其中,ρA為子系 統(tǒng)A 的約化 密度算子,ρA=trB|ψ〉〈ψ|.純態(tài)的并發(fā)糾纏與特定的Rényi-α 熵有關(guān),即當(dāng)α=2時(shí),C(|ψ〉)=其中R2(ρA) 表示α=2時(shí)的Rényi-α熵,R2(ρA)=-log2tr.接下來,定義另一個(gè)參數(shù)化糾纏度量并命名為α-對(duì)數(shù)并發(fā)糾纏,對(duì)于α≥2,它與一般的Rényi-α 熵有關(guān).

HA?HB是任意d×d維的Hilbert 空間,任意定義在Hilbert 空間HA?HB上的純態(tài)|ψ〉 可以表示為Schmidt 分解:

其中λi表示Schmit 系數(shù)的平方,且λi>0,m是Schmit數(shù),1 ≤m≤d.{|ai〉}和{|bi〉}是與子系統(tǒng)A 和B 相關(guān)聯(lián)的規(guī)范正交列[34].

定義2.1對(duì)于任意的純態(tài)|ψ〉,α-對(duì)數(shù)并發(fā)糾纏可以被定義為

對(duì)任意的α≥2,其中ρA=trB|ψ〉〈ψ| 是約化密度算子.

根據(jù)上面的定義,對(duì)于任意的純態(tài)|ψ〉 通過Schmidt 分解,可以得到

其中,Gα(|ψ〉) 滿足0 ≤Gα(|ψ〉)≤-log2m1-α.當(dāng)且僅當(dāng)|ψ〉 是可分態(tài)時(shí)下界可以得到,當(dāng)最大糾纏純態(tài)時(shí),上界可以得到.

定義2.2對(duì)于Hilbert 空間HA?HB中的一般的混合態(tài)ρAB,可以通過凸頂?shù)男问綄?duì)α-對(duì)數(shù)并發(fā)糾纏進(jìn)行定義:

令D是Hilbert空間HA?HB上的一 個(gè)兩體態(tài)的集合.一個(gè)良好定義的糾纏度量E應(yīng)該滿足以下基本條件[35–37]:

1)E(ρ)≥0對(duì)于任意態(tài)ρ ∈D,當(dāng)且僅 當(dāng)ρ 為可分態(tài)時(shí)等號(hào)成立;

2)E(ρ) 在局部酉變換下是不變的,即E(ρ)=

3) 在局部操作與經(jīng)典通信(LOCC)下E(ρ)是不增的,即對(duì)任意的LOCCΛE(ρ)≥E(Λ(ρ)) .

定理2.1α-對(duì)數(shù)并發(fā)糾纏Gα(ρ) 由定義2.2給出的形式,是一個(gè)糾纏度量.

證明需要驗(yàn)證Gα(ρ) 滿足糾纏度量定義的3 個(gè)條件.

1) 由定義2.1可以得到Gα(|ψ〉)≥0,再通過Gα(ρ)的凸頂形式,根據(jù)定義可以得到Gα(ρ)≥0 .如果ρ 是一個(gè)糾纏態(tài),那么在ρ 的任意純態(tài)分解中,至少存在一個(gè)糾纏純態(tài)|ψ〉,那么至少有一個(gè)Gα(|ψi〉)>0,再根據(jù)Gα(ρ) 的凸頂形式,可以得到Gα(ρ)>0.因此,Gα(ρ)=0 當(dāng)且僅當(dāng)ρ 是可分態(tài).

2) 由tr(ρα) 的酉不變性,可知Gα(|ψ〉) 是局部酉不變的,再根據(jù)Gα(ρ) 的凸頂形式,可以得到

3) Mintert 等[38]證明了在LOCC 條件下,可以從態(tài)|ψ〉開始制備態(tài)|?〉當(dāng)且僅當(dāng)λψ ?λ?.λψ表示由態(tài)|ψ〉 的Schmit 系數(shù)的平方按降序給出的Schmit 向量.λψ ?λ?表示λψ被λ?優(yōu)化.由于在LOCC下糾纏度量是不增的,當(dāng)λψ ?λ?時(shí),任意糾纏度量E必須滿足E(ψ)≥E(?) .在文獻(xiàn)[39]中,這種條件被稱為Schur 凹.E作為Schmidt 系數(shù)的平方λi的函數(shù)是Schur 凹的,當(dāng)且僅當(dāng)滿足下面兩個(gè)條件:

1)E在任意兩個(gè)元的置換下是不變的;

2) 對(duì)于λ的任意兩個(gè)分量λi和λj,滿足

接下來,只需驗(yàn)證Gα(ρ) 是Schur 凹的即可得到Gα(ρ)在LOCC 下是不增的.所以,需要驗(yàn)證上述兩個(gè)條件.首先,對(duì)任意純態(tài)|ψ〉,當(dāng)λ中的任意兩個(gè)Schmidt 系數(shù)的平方λi和λj置換時(shí),α-對(duì)數(shù)并發(fā)糾纏Gα(ρ) 是不變的.所以驗(yàn)證了條件1).一個(gè)簡(jiǎn)單的計(jì)算表明:

對(duì)λ中的任意兩個(gè)Schmidt 系數(shù)的平方λi和λj都成立.當(dāng)α≥2時(shí),,所以可以直接驗(yàn)證(6)式的不等式成立.根據(jù)上述條件,可以得到:

式中最后一個(gè)不等式由Gα(ρ) 的凸頂形式的定義得到.證明完成.

3 α-對(duì)數(shù)并發(fā)糾纏的下界

本節(jié)通過使用PPT 判據(jù)和重排判據(jù)來推導(dǎo)α-對(duì)數(shù)并發(fā)糾纏的下界.一個(gè)兩體態(tài)可以寫成的形式,i和k是子系統(tǒng)A 的行和列下標(biāo),j和l是子系統(tǒng)B 的行和列下標(biāo).PPT 判據(jù)[5,6]: 如果態(tài)ρAB是可分的,則對(duì)A 系統(tǒng)的偏轉(zhuǎn)置是非負(fù)的,即≥0,偏轉(zhuǎn)置矩陣為

重排判據(jù)[7–9]: 重排矩陣為

如果態(tài)ρAB是可分的,則∥R(ρ)∥1≤1,其中∥X∥1表示矩陣X的跡范數(shù),∥X∥1=

定理3.1對(duì)于HA?HB上維數(shù)分別為m和n(m≤n)的任意混合糾纏態(tài)ρ,α-對(duì)數(shù)并發(fā)糾纏Gα(ρ)滿足下面不等式:

從文獻(xiàn)[21]和文獻(xiàn)[40]可以得到下面的不等式:

這里,不等式(16)來自不等式:

因此,將不等式(22)代入不等式(18),可得:

根據(jù)(9)式,即

用類似的方法可以證明

結(jié)合不等式(23)和不等式(24),可得

至此完成了該定理的證明.

4 α-對(duì)數(shù)并發(fā)糾纏關(guān)于isotropic 態(tài)

Isotropic態(tài)ρF可以表示為

定理4.1給出isotropic態(tài)ρF在Cd ?Cd(d≥2)上的α-對(duì)數(shù)并發(fā)糾纏Gα(ρ) :

其中,F ∈(1/d,1],co(η(F,α,d)) 表示給定函數(shù)η(F,α,d)上界的最大凸函數(shù).

證明下面利用文獻(xiàn)[26,41,42]中的相關(guān)方法給出這個(gè)定理的證明.對(duì)稱態(tài)ρF下的Gα由下式給出:

其中函數(shù)η(F,α,d) 可定義為

通過Schmit 分解可以得到

通過直接計(jì)算可以得到

其中Fd≥1 .極值的條件由下式給出:

其中Λ1,Λ2表示拉格朗日乘子.對(duì)任意的α≥2,是關(guān)于的凸函數(shù).我們知道一個(gè)凸函數(shù)和一個(gè)線性函數(shù)至多在兩點(diǎn)上相交,因此方程(32)至多有兩個(gè)非零解.令γ,δ表示這兩個(gè)正解,則

其中n+m≤d,n≥1 .最小化問題已轉(zhuǎn)化為如下問題:minGα(|ψ〉) 約束條件為

其中Gα(|ψ〉)=-log2(nγ2α+mδ2α).通過求解上述方程,可以得到:

因此,只需要在1 ≤n≤Fd和Fd≤n+m≤d定義的平行四邊形區(qū)域上最小化Gα(|ψ〉) 即可.首先,通過對(duì)約束條件做如下微分來計(jì)算γnm和關(guān)于n和m的導(dǎo)數(shù):

接下來,計(jì)算Gα(|ψ〉) 關(guān)于n和m的偏導(dǎo)數(shù):

同樣是金枝玉葉的段譽(yù)，第一次來燕子塢吃的那些：“茭白蝦仁”“龍井茶葉雞丁”，看看就教人饞涎欲滴。段譽(yù)的當(dāng)時(shí)心理評(píng)判是這樣的：“魚蝦肉食之中混以花瓣鮮果，色彩既美，自別有天然清香?！?/p>

容易發(fā)現(xiàn):

因此,主要通過分析下面的方程來判斷偏導(dǎo)數(shù)是正還是負(fù):

通過分析得到:

不等式(43)可由函數(shù)f(α)=(關(guān)于α 的增函數(shù))得到.對(duì)于任意的α≥2和γ≥δ,有

和之前一樣主要分析前面的方程:

通過化簡(jiǎn)得到:

設(shè)t=δ/γ,t ∈[0,1] .記(49)式中括號(hào)里面的式子為

則f(1)=0.對(duì)f(t) 求導(dǎo)得到下式:

然后,令

則g(1)=1.對(duì)g(t) 求導(dǎo)得到下式:

有h(1)=0,當(dāng)α≥2時(shí),

通過這種方法,得到函數(shù)η(F,α,d) 的解析表達(dá)式為

其中,γ和δ 可以寫成

至此完成了對(duì)定理的證明.

例4.1為了方便起見,以d=2為例,即

其中F ∈[1/2,1],可以得到:

根據(jù)co(·) 的定義,需要計(jì)算η(F,α,2) 的二階導(dǎo)數(shù)來判斷其性質(zhì),從而給出co(η(F,α,2)) 的解析式.對(duì)于二階導(dǎo)數(shù),有

通過(66)式和(67)式可以知道P1-P2和P1+P2是非負(fù)的.然后可以得到下面的結(jié)果:

根據(jù)不等式(68),有

接下來可以得到:

對(duì)任意的α≥2都成立,其中當(dāng)且僅當(dāng)F=1 時(shí)等號(hào)成立.因此,對(duì)F ∈[1/2,1],η(F,α,2) 的二階導(dǎo)數(shù)是非負(fù)的.也就是說,當(dāng)α≥2時(shí),η(F,α,2) 是F ∈[1/2,1]上的凸函數(shù).根據(jù)co(η(F,α,d)) 的定義,可以得到co(η(F,α,2)) 的解析式.雙量子比特isotropic態(tài)ρF的Gα由下式給出:

5 α-對(duì)數(shù)并發(fā)糾纏的單配性

本節(jié)建立了一個(gè)關(guān)于α-對(duì)數(shù)并發(fā)糾纏的單配性的數(shù)學(xué)表達(dá)式.首先,在雙量子比特中建立并發(fā)糾纏與α-對(duì)數(shù)并發(fā)糾纏Gα之間的函數(shù)關(guān)系.對(duì)雙量子比特純態(tài),得:

對(duì)任意兩體純態(tài)|ψ〉A(chǔ)B,并發(fā)糾纏C(|ψ〉A(chǔ)B) 可以寫成:

不難發(fā)現(xiàn),|ψ〉A(chǔ)B的Schmit 系數(shù)λ0,λ1,即約化密度矩陣ρA的特征值與C(|ψ〉A(chǔ)√B) 存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.這個(gè)關(guān)系為通過上述方法,可以定義雙量子比特系統(tǒng)中并發(fā)糾纏與Gα之間關(guān)系的函數(shù).

定義5.1對(duì)任意的α≥2,gα(x)是x ∈[0,1]上的可微函數(shù),使得

根據(jù)gα(x),可以寫出下式:

根據(jù)gα的性質(zhì),可以給出混合態(tài)ρAB的形式.

引理5.1對(duì)任意的α≥2,gα在x ∈[0,1] 上是一個(gè)單調(diào)遞增的凸函數(shù).

這個(gè)引理證明由文獻(xiàn)[18]給出.基于這個(gè)引理,給出了關(guān)于混合態(tài)ρAB的如下定理.

定理5.1對(duì)任意的α≥2,當(dāng)gα是單調(diào)遞增的凸函數(shù)時(shí),有

對(duì)任意的雙量子態(tài)ρAB.

式中第二個(gè)等式來自Gα(|ψ〉A(chǔ)B)=gα(C(|ψ〉A(chǔ)B)) .第一個(gè)不等式來自gα的凸性.根據(jù)gα是單調(diào)遞增函數(shù)以及C(ρAB) 的定義,可以得到第二個(gè)不等式.設(shè)存在一個(gè)最優(yōu)分解使得

式中第二個(gè)等式來自C(|ψi〉A(chǔ)B)=C(ρAB),不等式來自Gα(ρAB) 的定義.根據(jù)上述兩個(gè)不等式,可以得到:

至此,完成了證明.

CKW 不等式是單配性不等式,具體如下:

其中C是并發(fā)糾纏,|ψ〉A(chǔ)(BC)表示將ABC 切分成兩部分A 和BC,C(ρAB)和C(ρAC) 是約化密度矩陣ρAB和ρAC在子系統(tǒng)AB 和AC 上的并發(fā)糾纏.

引理5.2對(duì)于任意的α≥2,

其中0 ≤x,y≤1,0 ≤x2+y2≤1 .

這個(gè)引理證明由文獻(xiàn)[18]給出.

定理5.2對(duì)于α≥2 和任意的三體量子態(tài)ρA(BC),有關(guān)于Gα單配性不等式:

證明對(duì)于α≥2,注意到,對(duì)于A 和BC 的二分,|ψ〉A(chǔ)(BC)是2?4 純態(tài).由于gα(x) 單調(diào)遞增的性質(zhì)以及CKW 不等式,可以得到:

其中ρAB=trC(|ψ〉A(chǔ)BC〈ψ|),ρAC=trB(|ψ〉A(chǔ)BC〈ψ|),然后利用引理2中的不等式,得到

將兩個(gè)不等式結(jié)合起來得到:

根據(jù)Gα和并發(fā)糾纏的函數(shù)關(guān)系,(84)式可以改寫為

式中最后一個(gè)不等式來自于Gα(ρ) 的定義.至此,完成了證明.

6 結(jié)論

本文研究了基于Rényi-α 熵的參數(shù)化糾纏度量問題.首先,引入了α-對(duì)數(shù)并發(fā)糾纏的概念,其中α≥2 ;然后,證明了α-對(duì)數(shù)并發(fā)糾纏是一個(gè)定義良好的糾纏度量,得到了α-對(duì)數(shù)并發(fā)糾纏的下界,計(jì)算了isotropic 態(tài)的α-對(duì)數(shù)并發(fā)糾纏的表達(dá)式;最后,對(duì)該糾纏度量單配性問題進(jìn)行了討論.參數(shù)化糾纏度量α-對(duì)數(shù)并發(fā)糾纏給出了一族糾纏度量,豐富了量子糾纏理論,后續(xù)工作可以對(duì)參數(shù)α 的范圍進(jìn)行討論,研究α ∈(0,1) 時(shí)的情況.