基于空間光調(diào)制器的艾里光束能量調(diào)制方法

翟中生,陸佩佩,劉春利,張 駱

(湖北工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院現(xiàn)代制造質(zhì)量工程湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,湖北 武漢 430068)

1 引 言

1979年,Berry和Balazs等人求解薛定諤方程得到的一個(gè)特殊解[1],此特殊解為艾里函數(shù)。在近軸近似條件下,決定光場(chǎng)行為的麥克斯韋方程可以簡(jiǎn)化成薛定諤方程形式。Christodoulides 和他的學(xué)生便是通過這種方式將艾里光束引入到光學(xué)領(lǐng)域中。然而,遵循該解的粒子和波前因攜帶無窮能量,不能存在于現(xiàn)實(shí)中。直到2007年,艾里光束被Siviloglou等人在實(shí)驗(yàn)中實(shí)際產(chǎn)生才重新開啟了對(duì)它的研究[2]。艾里光束也在同年被其和Siviloglou 等人在實(shí)驗(yàn)中產(chǎn)生[3],許多奇異和獨(dú)特的特征也被發(fā)現(xiàn),包括無衍射、自加速和自愈合[4-7]。二維艾里光束在一定傳播距離內(nèi)表現(xiàn)出橫向自加速和近似無衍射的特性[8]。由于艾里光束所具有的這些奇特的光學(xué)特性,吸引了人們的廣泛關(guān)注。在經(jīng)過十多年的研究,人們對(duì)艾里光束的研究、應(yīng)用已有重大突破,基于它的三大光學(xué)特性,艾里光束在光鑷、光彈、超分辨率顯微成像和等離子體激元等諸多領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用[9-15]。

純相位空間光調(diào)制器(SLM)由于其高衍射效率,被廣泛應(yīng)用于全息圖的加載與顯示[16-17]?；诳臻g光調(diào)制器改變?nèi)D與入射光的相對(duì)位置可以對(duì)艾里光束的軌跡和能量進(jìn)行調(diào)制[5],但是這種方法需要手動(dòng)調(diào)試位置,操作難度大。因?yàn)檎{(diào)制難度大之后大多數(shù)研究偏向于軌跡控制,可以通過建立自彎曲信號(hào)傳輸?shù)母咚僮杂煽臻g光通信系統(tǒng)來產(chǎn)生并控制艾里光束以獲得不同的傳播軌跡;當(dāng)艾里光束給定初速度且與加速度相反時(shí),艾里光束將經(jīng)歷先減速后加速的過程,通過探究初速度與加速度的關(guān)系可以改變?nèi)肷浣谴笮砜刂栖壽E[17]。

本文提出了一種可對(duì)艾里光束能量進(jìn)行可控調(diào)制的方法,該全息圖是基于立方型相位掩模的基礎(chǔ)上改進(jìn)的,可以對(duì)艾里光束能量的位置進(jìn)行任意調(diào)制,為囚禁原子和超快激光微納加工等領(lǐng)域提供了一些可能的研究方向,并且還能為光學(xué)通信、光束整形、光學(xué)成像等應(yīng)用領(lǐng)域設(shè)計(jì)相應(yīng)的相位分布算法和系統(tǒng)架構(gòu),為研究新型的空間光調(diào)制器技術(shù)以提高光場(chǎng)調(diào)控系統(tǒng)的分辨率、速度和穩(wěn)定性也具有一定啟示。

2 理論推導(dǎo)

本文可以使用數(shù)學(xué)模型來描述液晶空間光調(diào)制器的過程。在液晶空間光調(diào)制器中,液晶分子的雙折射性通過施加電壓來調(diào)制入射光束的相位。改變液晶像素分子上施加的電壓會(huì)導(dǎo)致液晶分子和電場(chǎng)之間形成不同的夾角。這個(gè)夾角會(huì)改變液晶分子的指向矢量和入射光的偏振方向之間的夾角,從而改變液晶的有效折射率(或反射率),進(jìn)而改變光線在液晶中傳播的相位。入射光的相位變化量由以下公式給出:

ΔΦ=(π/λ)·Δn·d

(1)

其中,V為施加在液晶像素上的電壓;θ為液晶分子的指向矢量和入射光的偏振方向之間的夾角;no為液晶在零電場(chǎng)下的折射率;ne為液晶在電場(chǎng)作用下的額外折射率;Δn=ne-no為液晶的雙折射率變化量;d為液晶層的厚度;λ為入射光的波長(zhǎng)。

為了研究類艾里光束的行為,先從考慮傍軸衍射方程開始分析,該方程控制與平面光束相關(guān)的電場(chǎng)包絡(luò)φ的傳播特性有關(guān)。

(2)

式中,i為虛數(shù);φ為艾里光束的電場(chǎng)包絡(luò);s=x/x0為橫向坐標(biāo);x0代表任意橫向尺度,會(huì)影響艾里主瓣尺寸大小;ξ=z/kx02為傳播距離;k=2πnn/λ為波數(shù);n為介質(zhì)折射率;λ為波長(zhǎng)。對(duì)式(2)進(jìn)行直接求解,可以得到艾里函數(shù)解:

(3)

其中,Ai(·)為艾里函數(shù),表達(dá)式如下:

(4)

公式(3)作為波函數(shù)可以用來描述粒子的運(yùn)動(dòng)特性,在初始條件下,艾里光束的振幅分布可以描述為φ(s,ξ=0)=Ai(s),所以在初始條件下艾里波包為標(biāo)準(zhǔn)的艾里函數(shù)。在艾里函數(shù)上添加一個(gè)指數(shù)截?cái)嗪瘮?shù)便可對(duì)無限艾里光束進(jìn)行衰減得到有限艾里函數(shù)。指數(shù)截?cái)嗪瘮?shù)通常具有以下形式:

f(x)=exp(-x2/w2)

(5)

其中,x是空間坐標(biāo);w是截?cái)鄥?shù)。函數(shù)在x趨近于無窮遠(yuǎn)時(shí)逐漸趨近于零,從而實(shí)現(xiàn)對(duì)光場(chǎng)的截?cái)嘈ЧＭㄟ^調(diào)整截?cái)鄥?shù)w的大小,可以控制光場(chǎng)的截?cái)喑潭?。在?shí)際應(yīng)用中,添加指數(shù)截?cái)嗪瘮?shù)可以幫助提高空間光調(diào)制器的性能和穩(wěn)定性,減小由于光場(chǎng)在傳播過程中產(chǎn)生的衍射效應(yīng)和畸變問題,從而改善激光的聚焦效果和傳輸質(zhì)量,使艾里函數(shù)具有實(shí)際意義,則有限艾里光束的一維場(chǎng)分布為:

φ(s,ξ=0)=Ai(s)exp(as)

(6)

式中,a是衰減程度常數(shù),當(dāng)a=0時(shí),為理想艾里光束的精確解形式,當(dāng)a>0時(shí)起到衰減作用,a值越大衰減程度越高。有限艾里光束的傅立葉光譜,其在歸一化k空間頻譜由φ1給出:

φ1(k)=exp(-ak2)×exp(i(k3-3a2k-a3i)/3)

(7)

這類光譜也可以推廣到二維情況:

(8)

式中,kx,ky分別是x和y方向上對(duì)應(yīng)的波矢。

基于上面的討論,函數(shù)Ai(x)exp(ax)的傅里葉變換是用三次相位exp(k3/3)調(diào)制的高斯光束;這里相位函數(shù)激發(fā)了我們的想法。如果能構(gòu)造相應(yīng)的調(diào)制相位,就可以得到任何所需的強(qiáng)度分布。如果合理地修改立方相位,以產(chǎn)生能量可調(diào)諧的艾里光束,將可控相位引入公式(6)得到下式:

(9)

式中,φr=exp(i(6kx2ky-ky3))是對(duì)立方相位修改的相位項(xiàng),φm=exp(-i6vky/2)是能量調(diào)制相位項(xiàng),可以通過改變能量調(diào)制參數(shù)v對(duì)艾里光束進(jìn)行能量調(diào)制。然后基于角譜衍射理論利用快速傅里葉變換計(jì)算得到傳播距離z后的復(fù)振幅光場(chǎng)表達(dá)式U(kx,ky,z):

U(kx,ky,z)=?A(kx,ky,z)·

exp[i2π(xkx+yky)]dkxdky

(10)

A(kx,ky,z)=φ3(kx,ky)·

(11)

3 能量可調(diào)諧艾里光束仿真分析

根據(jù)角譜衍射規(guī)律,可以知道隨距離傳播的艾里光束能量的流向,取v=-2,0,2時(shí)的頻譜生成全息圖進(jìn)行測(cè)試,以焦平面(能量最高)為初始平面觀察其前后不同距離處艾里光束的變化規(guī)律,如表1所示。當(dāng)v=0時(shí),φm=1不起調(diào)制作用,φr對(duì)立方相調(diào)制生成調(diào)制艾里光束,在初始平面,艾里光束保持完整的相交形狀且主瓣能量最高,隨著遠(yuǎn)離初始平面,主瓣的能量逐漸向內(nèi)部流動(dòng)且次級(jí)旁瓣與主旁瓣有一個(gè)失衡又恢復(fù)的過程,不變的是各個(gè)位置的主瓣能量仍是最高的,還有全息圖并不是完全左右對(duì)稱,所以艾里光束在傳播過程兩側(cè)能量分布不是完全對(duì)稱的。當(dāng)v=2時(shí)φm和φr均起調(diào)制作用,距離初始零平面越遠(yuǎn),能量流動(dòng)越明顯,在初始零平面前,主瓣能量?jī)?nèi)流,隨著距初始平面越遠(yuǎn)主瓣能量越弱,尖銳的波前分布隨著傳播距離的增加逐漸演變成平滑的弧形。相反,在初始零平面后,內(nèi)部能量流向主瓣,隨著距初始平面越遠(yuǎn)主瓣能量越強(qiáng)最后維持穩(wěn)定。同理,當(dāng)v=-2時(shí)與當(dāng)v=2時(shí)能量流動(dòng)情況相反。

表1 調(diào)制艾里光束隨距離變化的光場(chǎng)演化

因?yàn)槟芰苛鲃?dòng)的方向不同使其主瓣能量可以調(diào)控,根據(jù)角譜衍射定律仿真了v=-2、0、2時(shí)頻譜生成的全息圖的軸向能量分布,如圖2所示。當(dāng)v=0時(shí),初始平面能量最高,然后越遠(yuǎn)離能量越弱。v≠0時(shí),在類艾里光束的基礎(chǔ)上對(duì)其能量進(jìn)行調(diào)制并與v=0對(duì)比來觀察能量的轉(zhuǎn)移規(guī)律。當(dāng)v<0時(shí),從整個(gè)傳播軌跡來看,與v=0相比能量偏向了左邊,直觀來看就是圖1(a)所示;當(dāng)v>0時(shí),從整個(gè)傳播軌跡來看,與v=0相比時(shí)能量偏向了右邊,直觀來看就是圖1(c)所示。此方法會(huì)使艾里光束的傳播軌跡由平面轉(zhuǎn)到三維空間,但是能量調(diào)制的效果是顯然的。

圖1 調(diào)制艾里光束相位圖與光強(qiáng)分布

圖2 調(diào)制艾里光束相位圖與光強(qiáng)分布

接著,詳細(xì)探討了不同數(shù)值調(diào)制參數(shù)v與能量分布調(diào)制移動(dòng)范圍的關(guān)系,因?yàn)関值的正值與負(fù)值是對(duì)稱分布的,所以選取v=0、1、2時(shí)的相位全息圖根據(jù)角譜衍射理論計(jì)算了其傳播過軌跡與光強(qiáng)分布,如圖2所示,圖中虛線橢圓框表示能量移動(dòng)的方向與距離,虛線橢圓框垂直引下的虛線是映射到弦長(zhǎng)的能量移動(dòng)的位置。隨著v值的增加,能量持續(xù)右移,以能量分布移動(dòng)比為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行量化調(diào)制參數(shù)v與能量分布調(diào)制移動(dòng)范圍的關(guān)系,能量分布移動(dòng)比ηp為:

(12)

式中,xn是v值對(duì)應(yīng)的能量移動(dòng)的位置,x是移動(dòng)軌跡總長(zhǎng)度的一半。通過仿真數(shù)據(jù)可知x=32 mm,x1=8.8 mm,x2=16 mm,根據(jù)能量分布移動(dòng)比計(jì)算可知ηp1=27.5%,ηp2=50 %。因?yàn)槟芰科剖且粋€(gè)范圍,所以能量調(diào)控參數(shù)v每改變單位數(shù),能量的移動(dòng)比約為25 %。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

可調(diào)控能量的艾里光束可通過對(duì)其頻譜進(jìn)行傅里葉變換得到,實(shí)驗(yàn)中使用1064 nm的納秒光纖脈沖激光器(RFL-P20QE,光束直徑:D=6.4 mm,脈沖持續(xù)時(shí)間:tp=134 ns,重復(fù)率fr=60 kHz)產(chǎn)生隨機(jī)偏振激光束,激光束穿過半波片和偏振分光棱鏡變?yōu)榫€偏振光水平出射,然后被計(jì)算機(jī)控制的具有10°入射角的液晶空間光調(diào)制器(Hamamatsu X13138-9625,1024×1280 Pixels,像素大小為12.5 μm,填充率97 %)反射,用于產(chǎn)生連續(xù)調(diào)諧相位圖案。在空間光調(diào)制器之后,兩個(gè)平凸透鏡(焦距:f1=500 mm,f2=300 mm)形成4f成像系統(tǒng),光束的縮小率約為1.7×。相位調(diào)制的波前然后由傅里葉透鏡(f3=75 mm)進(jìn)行傅里葉變換。最后,沿z軸的強(qiáng)度分布由焦平面后面的CCD記錄。實(shí)驗(yàn)光學(xué)系統(tǒng)如圖3所示。

圖3 光學(xué)實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)

通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證軸向能量調(diào)控的效果,將生成的全息圖加載到空間光調(diào)制器上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)測(cè)試,選取了v=-2、0、2時(shí)全息圖并在不同傳播位置處的艾里光束光場(chǎng)分布進(jìn)行對(duì)比,測(cè)試結(jié)果如圖4所示。

圖4 隨距離傳播的調(diào)制艾里光束光強(qiáng)分布

因?yàn)閷?shí)驗(yàn)測(cè)試是先經(jīng)過空間光調(diào)制器再經(jīng)過4f系統(tǒng)的,而此時(shí)的4f系統(tǒng)相當(dāng)于一個(gè)縮束系統(tǒng),所以其光場(chǎng)分布相當(dāng)進(jìn)行了一定比例的壓縮,但總體的規(guī)律趨勢(shì)是不變的。v=0時(shí),在傳播過程中主瓣始終保持最高的能量,在對(duì)稱的位置處的主瓣能量大致相同,但是φr對(duì)立方相的位調(diào)制作用使得艾里光束并不是垂直相交分布,所以在到達(dá)某一位置時(shí)能量會(huì)有向一側(cè)偏移的現(xiàn)象,這也是與仿真相符的;當(dāng)v=-2時(shí),仍然是初始位置能量最強(qiáng),不同的是會(huì)多出兩條燕尾旁瓣與原先的兩條相交于主瓣,隨著距離的傳播,多余的兩條燕尾旁瓣會(huì)逐漸消失,與v=0時(shí)相比較,在-12 mm位置處主瓣的形狀保持完整且能量變強(qiáng)了,而在-12 mm位置處主瓣與旁瓣融合且能量變?nèi)趿?說明主瓣能量在整個(gè)傳播過程發(fā)生了轉(zhuǎn)移;同樣,當(dāng)v=2時(shí),主瓣能量在整個(gè)傳播過程發(fā)生了轉(zhuǎn)移且轉(zhuǎn)移方向正好相反。通過前面分析可知,這是因?yàn)橹靼昱c旁瓣之間的能量流動(dòng)造成的,與仿真相符。

實(shí)驗(yàn)選取v=0,1,2時(shí)的相位全息圖進(jìn)行測(cè)試驗(yàn)證調(diào)制參數(shù)v與能量分布調(diào)制移動(dòng)范圍的關(guān)系,選取較高峰值(0～255)的區(qū)域來代表能量并記錄其坐標(biāo)范圍,記錄數(shù)據(jù)如表2所示。隨著v值的增加,能量持續(xù)右移,與仿真結(jié)果一樣。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)根據(jù)能量移動(dòng)比可知參數(shù)x=24 mm、x1=6 mm、x2=12 mm,因?yàn)樵囼?yàn)系統(tǒng)有4f縮束系統(tǒng)且軌跡長(zhǎng)度會(huì)根據(jù)傅里葉透鏡焦距不同而不同,所以實(shí)驗(yàn)中艾里光束的傳播軌跡比仿真的要短一些。根據(jù)計(jì)算可知ηp1=25%,ηp2=50 %,由此可知,能量調(diào)控參數(shù)v每改變單位數(shù),能量的移動(dòng)比為25 %。此實(shí)驗(yàn)結(jié)果與仿真結(jié)果有很好的一致性。

表2 調(diào)制相位圖水平位移的高能量區(qū)域峰值強(qiáng)度

5 結(jié) 論

本文研究了如何對(duì)艾里光束的能量進(jìn)行調(diào)控,通過合理地修改立方相位,得到了能量可調(diào)諧的艾里光束。通過相關(guān)生成理論、光場(chǎng)演化仿真分析和實(shí)驗(yàn)的對(duì)比,驗(yàn)證了該方法的正確性,它能夠?qū)崿F(xiàn)艾里光束在軸向能量的任意調(diào)控,且能量調(diào)控參數(shù)v每改變單位數(shù),能量的移動(dòng)比約為25 %。但因?yàn)榱⒎较辔徊皇菍?duì)稱的,所以艾里光束的兩旁瓣是非正交的,在傳播過程中不能完全保持它們的形狀,但主瓣的強(qiáng)度仍然很強(qiáng)。調(diào)制后的艾里光束仍然具有無衍射的能力,只是這種能力與普通艾里光束相比相對(duì)較弱。