直和的證明方法及拓展

◇寶雞文理學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 段景瑤 高 茜

直和是兩個子空間的一種特殊關(guān)系。直和與線性空間中的諸多概念都有緊密聯(lián)系。本文以北京大學(xué)研究生入學(xué)考試中的一道高等代數(shù)問題入手，給出了維數(shù)法，同構(gòu)法，和元素分解法，并對不同解法和教學(xué)方法進(jìn)行了分析和拓展。

高等代數(shù)是數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生考研的必考科目。有關(guān)線性空間的證明是高等代數(shù)中的一個重點，也是難點，還是研究生入學(xué)考試中的常考題目。本文以北京大學(xué)研究生入學(xué)考試，高等代數(shù)科目中的一道證明題為例，給出直和的多種不同的解法。這些解法反映出直和與線性空間中同構(gòu)等抽象概念的關(guān)聯(lián)，能幫助讀者更為深刻地理解直和的概念。

1 基礎(chǔ)知識

2 直和證明的三種不同方法

例1是文獻(xiàn)4中，1999年北京大學(xué)研究生入學(xué)考試中，高等代數(shù)科目的一道證明題。原題有3問，本文列出了前兩問，并針對第（2）問直和的問題給出了三種不同解法。

3 分析與拓展

直和與很多概念都有聯(lián)系，例如在證明線性變換的核與值域的直和等式時，可以將維數(shù)法簡化。

線性空間的直和分解是線性空間理論的重要一環(huán)。線性子空間的直和是和空間的一種特例，要求和空間中的元素在子空間中的分解式是惟一的。在教學(xué)中要注意以下幾點。首先，直和的概念比較抽象，利用幾何空間的不同分解式，借助數(shù)形結(jié)合的教學(xué)方法比較直觀地引出直和的定義，有利于學(xué)生對基本概念的理解和掌握。其次，線性空間的直和分解蘊(yùn)涵了高等代數(shù)中化整為零的思想。如果一個線性空間可以分解為兩個子空間的直和，這兩個子空間的和空間即為整個全空間，并且交為零子空間，即除零元外，沒有重復(fù)的元素。兩個子空間的性質(zhì)可以反應(yīng)出全空間的性質(zhì)，例如，則的基與的基可以拼出全空間的基等等。再次，要注意兩個子空間的直和與多個子空間直和的等價判定條件的區(qū)別。兩個子空間的和是直和當(dāng)且僅當(dāng)兩個子空間的交是零子空間，但是三個及以上子空間的直和卻不能以此為等價判定。最后，直和分解的課程思政教學(xué)。全空間可以類比為我們的國家和集體，全空間分解為若干個子空間的直和，我們每個人類比為子空間。每個人在社會中都有自己的角色和使命，互不相同，不可替代。國家為我們每個人做著各項保障，反過來，每一個人的努力才可以推動整個國家和社會的進(jìn)步。

4 結(jié)論

直和是高等代數(shù)教學(xué)中的難點，本文首先給出了一道考研題的三種不同的解法，這三種方法各有利弊。例1中，方法一采用了湊基的方法確定維數(shù)，湊基的方法很直接，然而湊基時要先確定維數(shù)，并掌握相關(guān)技巧；方法二采用同構(gòu)的方法確定維數(shù)。高等代數(shù)中很多題目都可以用同構(gòu)思想解決[5-6]。同構(gòu)映射通常考慮用把元素映成坐標(biāo)的映射，適用于有關(guān)坐標(biāo)的題目，如例1的方法二和例3，例4。方法三采用的是相互包含證明相等，主要用到待定系數(shù)法分解元素，見例1的方法三和例2，可根據(jù)題目提供的條件選取合適的方法證明。