線黏彈性材料數(shù)字圖像相關(guān)實驗教學(xué)探索1)

蘇 昂 張大鵬 張文沁 關(guān)棒磊,2) 李 璋

*(國防科技大學(xué)空天科學(xué)學(xué)院，長沙 410073)

?(圖像測量與視覺導(dǎo)航湖南省重點實驗室，長沙 410073)

彈性固體和黏性流體是在連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中研究較多的兩類簡單物質(zhì)或材料，而有些材料在力學(xué)性能上表現(xiàn)為線彈性和理想黏性的組合，稱為線黏彈性體（linear viscoelasticity body），線黏彈性理論是固體力學(xué)原理[1]課程中的重要內(nèi)容。國防科技大學(xué)固體力學(xué)教學(xué)團隊長期針對固體火箭發(fā)動機結(jié)構(gòu)完整性評估需求開展固體推進劑力學(xué)性能研究[2-4]，因此在線黏彈性理論實驗教學(xué)環(huán)節(jié)一般以固體推進劑這種黏彈性材料為例，依據(jù)《GJB 770B—2005 火藥試驗方法》中規(guī)定的單向拉伸法，采用電子萬能試驗機對固體推進劑（通常使用仿真藥，不可燃、力學(xué)性能與真藥一致）進行單軸拉伸實驗，得到材料的應(yīng)力-應(yīng)變曲線。該實驗只能獲取拉伸方向的一維數(shù)據(jù)，無法實現(xiàn)二維全場測量，測量結(jié)果不便于可視化，因此實驗結(jié)果展示不夠直觀。

近年來，隨著現(xiàn)代光測實驗力學(xué)技術(shù)的發(fā)展，以數(shù)字圖像相關(guān)（digital image correlation，DIC）為代表的方法以其精度高、全場測量、成本低和使用方便等特點，在實驗力學(xué)領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用[5-6]。在材料力學(xué)課程的實驗教學(xué)中，也有部分高校開始了數(shù)字圖像相關(guān)方法的應(yīng)用和實踐，比如金屬頸縮實驗[7]、板狀試樣剪切應(yīng)變場測量實驗[8]、金屬材料單軸拉伸測量實驗[9]、純彎曲梁三維應(yīng)變場測量實驗[10]、鋁合金拉伸和梁模型三點彎的實時三維數(shù)字圖像相關(guān)實驗[11]、帶孔低碳鋼拉伸和高溫鎳基合金熱變形測量實驗[12]、基于拍照手機的數(shù)字圖像相關(guān)實驗[13]等。以上實驗設(shè)計通過在材料力學(xué)實驗教學(xué)環(huán)節(jié)引入數(shù)字圖像相關(guān)測量方法，為學(xué)生提供了豐富的可視化實驗結(jié)果，有效調(diào)動了學(xué)生的學(xué)習興趣和積極性。

針對固體力學(xué)原理中線黏彈性理論的實驗教學(xué)需求，本文以固體推進劑為例，探索和設(shè)計采用二維數(shù)字圖像相關(guān)的黏彈性材料單軸拉伸實驗教學(xué)方法，通過實驗使學(xué)生了解和掌握數(shù)字圖像相關(guān)方法的基本原理，增強學(xué)生動手實驗分析和解決問題的能力。數(shù)字圖像相關(guān)方法可以得到固體推進劑二維應(yīng)變場，能夠為學(xué)生提供更直觀的線黏彈性材料全場應(yīng)變可視化結(jié)果。此外實驗結(jié)果顯示，將數(shù)字圖像相關(guān)方法測量的應(yīng)變場與國標規(guī)定的固體推進劑單向拉伸法測量的應(yīng)變進行對比，可發(fā)現(xiàn)二者具有明顯差異。針對該問題引導(dǎo)學(xué)生展開研討和深入分析，有助于學(xué)生加深對線黏彈性理論的理解及創(chuàng)新性思維能力的提升。

1 線黏彈性理論

蠕變和松弛是黏彈性材料兩種基本的力學(xué)行為，它們分別反應(yīng)恒定應(yīng)力和恒定應(yīng)變兩種特殊情況下黏彈性材料的力學(xué)性能。蠕變是黏彈性材料在恒定應(yīng)力作用下，應(yīng)變隨時間逐漸增加的現(xiàn)象。黏彈性材料在突加階躍應(yīng)力作用下的蠕變曲線如圖1(a)所示，應(yīng)變隨時間而蠕變，曲線最終趨近于一條水平漸近線。蠕變曲線表征的函數(shù)稱為蠕變函數(shù)，蠕變?nèi)崃縅(t)即定義為單位階躍應(yīng)力的蠕變函數(shù)。在線性黏彈性的假設(shè)下，突加恒定應(yīng)力σ(t)=σ0H(t)作用下，其中H(t)表示階躍函數(shù)，應(yīng)變ε隨時間的變化表示為

圖1 黏彈性材料的蠕變和松弛曲線

松弛是在應(yīng)變不變時黏彈性材料的應(yīng)力隨時間逐漸減小的一種現(xiàn)象。黏彈性材料在突加階躍應(yīng)變作用下的松弛曲線如圖1(b)所示，應(yīng)力隨時間而松弛，曲線最終趨近于某一水平漸近線。松弛曲線表征的函數(shù)稱為松弛函數(shù)，松弛模量Y(t)即定義為單位階躍應(yīng)變的松弛函數(shù)。在線性黏彈性的假設(shè)下，突加恒定應(yīng)變ε(t)=ε0H(t)作用下，應(yīng)力σ隨時間的變化表示為

線黏彈性材料的性質(zhì)介于線彈性性質(zhì)與力學(xué)黏性性質(zhì)之間，因此可以用有限個表征線彈性的線性彈簧和有限個表征線黏性的線性黏壺的組合模型來表示。將一個彈簧和一個黏壺串聯(lián)構(gòu)成Maxwell 模型，將一個彈簧和一個黏壺并聯(lián)構(gòu)成Kelvin 模型，通常為了描述比較復(fù)雜的材料性質(zhì)，將多個Maxwell 單元并聯(lián)或多個Kelvin 單元串聯(lián)組成廣義Maxwell 模型和廣義Kelvin 模型，如圖2 所示，其中Ei和ηi分別表示模型中彈簧的彈性模量和黏壺的黏性系數(shù)。

圖2 常用的線黏彈性模型

對于固體推進劑通常選用一個N階的廣義Maxwell 模型來描述其黏彈性力學(xué)行為，設(shè)τi=ηi/Ei，可以得到其松弛模量

設(shè)推進劑受外部作用為隨時間變化的應(yīng)變ε(t)（對應(yīng)試驗機的單軸拉伸加載過程），根據(jù)疊加原理可以得到材料的黏彈性松弛型本構(gòu)方程

根據(jù)該本構(gòu)方程，當已知黏彈性材料的應(yīng)變加載過程和材料松弛模量各階參數(shù)時，可以通過積分計算得到每個時刻對應(yīng)的應(yīng)力。

2 實驗教學(xué)設(shè)計

2.1 實驗設(shè)備

實驗設(shè)備主要包括電子萬能試驗機和二維DIC 測量系統(tǒng)。實驗采用WDW-10 型電子萬能試驗機，通過下部橫梁豎直方向的移動來實現(xiàn)試驗件的單軸拉壓加載。二維DIC 測量系統(tǒng)由測量相機、照明光源和圖像采集計算機組成，如圖3所示。測量相機分辨率為2448 × 2048，每秒成像10 幀，使用普通定焦鏡頭，焦距35 mm。將測量相機放置于試件正前方垂直成像，保證攝像機視場在拉伸過程中剛好覆蓋推進劑試件，此時攝像機分辨能力約為0.081 7 mm/pixel（毫米/像素）。

圖3 二維DIC 測量系統(tǒng)

實驗用固體推進劑試樣為《GJB 770B—2005 火藥試驗方法》413.1 中規(guī)定的啞鈴形B 型，尺寸如圖4(a)所示，試樣厚度為10 mm，工程標距為70 mm，總長度為120 mm。試樣采用啞鈴形便于設(shè)計夾具加持，有助于保證斷裂發(fā)生在試驗直線段內(nèi)，避免試樣在夾持端部位置斷裂。根據(jù)圣維南原理，作用在物體局部上的自平衡力系所引起的應(yīng)力和應(yīng)變在遠處可以忽略不計，因此試樣采用啞鈴形還可以保證試驗直線段內(nèi)應(yīng)力均勻分布。啞鈴形推進劑試樣實物照片見圖4(b)，推進劑表面本身具有顆粒狀的紋理，因此實驗過程中在推進劑表面無需粘貼人工散斑，使用測量相機直接對推進劑拍攝即可。

圖4 固體推進劑啞鈴形標準試樣

2.2 實驗內(nèi)容

首先架設(shè)二維DIC 測量系統(tǒng)對安裝在試驗機夾具上的固體推進劑試樣拍攝，然后控制試驗機分別進行如圖5 所示的定速拉伸和階梯拉伸，記錄試驗機位移和拉力以及相機圖像數(shù)據(jù)。拉伸實驗開始前，控制試驗機施加10 N 預(yù)緊力以消除夾具與推進劑試樣之間的間隙。

圖5 固體推進劑單軸拉伸加載路徑

定速拉伸實驗的應(yīng)變加載過程可分為兩個階段，如式(5)所示，根據(jù)固體力學(xué)原理課程中的線黏彈性理論，將式(5)代入式(4)并分段求積分可得t時刻的應(yīng)力響應(yīng)如式(6)所示

式中，k為應(yīng)變加載曲線的斜率，表示應(yīng)變加載速率，也叫應(yīng)變率，τi=ηi/Ei，其中Ei和ηi分別為線黏彈性模型中彈簧的彈性模量和黏壺的黏性系數(shù)。

階梯拉伸實驗的應(yīng)變加載過程可分為4 個階段，如式(7)所示，同理分段求積分可得t時刻的應(yīng)力響應(yīng)如式(8)所示

定速拉伸和階梯拉伸實驗均采用位移控制模式，位移加載速率為v，設(shè)推進劑試樣試驗段標距為L，t時刻試驗段伸長量為vt，此時試驗段應(yīng)變ε=vt/L，應(yīng)變加載曲線的斜率k=v/L。記推進劑試樣試驗段寬為b，厚為w，則試驗段橫截面積為A=bw。設(shè)試驗機測量的拉力為F，則該時刻推進劑試驗段的應(yīng)力為σ=F/A。

試驗時，提供事先標定好的固體推進劑松弛模量各階參數(shù)，見表1。利用式(6)和式(8)計算某時刻推進劑試樣試驗段的理論應(yīng)力值，將理論值與試驗機測量的實際應(yīng)力值對比，驗證理論應(yīng)力計算的正確性。

表1 固體推進劑松弛模量各階參數(shù)

定速拉伸和階梯拉伸實驗過程約30 s，每個實驗中相機將分別拍攝得到約320 幀序列圖像數(shù)據(jù)。二維DIC 圖像數(shù)據(jù)處理使用Ncorr 開源軟件[14]，經(jīng)過設(shè)置參考圖像、讀入實驗序列圖像、設(shè)置測量區(qū)域、設(shè)置DIC 參數(shù)、選取種子點、DIC 匹配處理、位移場標定和應(yīng)變場計算等步驟，得到推進劑試樣表面的二維位移場和應(yīng)變場。將二維DIC 測量系統(tǒng)得到二維位移場和應(yīng)變場進行可視化顯示，然后將DIC 測量的推進劑試驗段應(yīng)變數(shù)值與試驗機測量的應(yīng)變對比并分析二者之間產(chǎn)生差異的原因。

3 實驗結(jié)果與分析

3.1 推進劑應(yīng)力對比實驗

如圖4 所示，實驗使用的B 型啞鈴形固體推進劑標準試樣標距L為70 mm，試驗段橫截面積A為100 mm2。如圖5 所示，定速拉伸和階梯拉伸實驗中，根據(jù)設(shè)計的推進劑拉伸加載路徑，設(shè)置試驗機位移加載速率v為20 mm/min，即為1/3 mm/s，則應(yīng)變加載速率k為1/210 s-1。定速拉伸和階梯拉伸實驗中，試驗機測量的推進劑試樣試驗段拉伸位移-應(yīng)力曲線如圖6 所示。

圖6 試驗機測量的拉伸實驗數(shù)據(jù)曲線

選取拉伸位移5 mm 時刻，將相關(guān)參數(shù)代入線黏彈性理論公式(6)和式(8)，分別計算定速拉伸和階梯拉伸實驗該時刻推進劑試驗段理論應(yīng)力，并將其與試驗機測量實際應(yīng)力進行對比，結(jié)果見表2。實驗結(jié)果表明，理論計算的推進劑試驗段應(yīng)力值與試驗機實測結(jié)果吻合較好，達到了線黏彈性理論的實驗教學(xué)目的。

表2 拉伸5 mm 時試樣試驗段應(yīng)力對比

3.2 推進劑二維DIC 實驗

以定速拉伸實驗為例，試驗機夾具軸向（縱向）拉伸位移5 mm 時，二維DIC 測量得到的推進劑試樣全場變形如圖7 所示，包括二維位移場和二維應(yīng)變場，其中位移場展示了橫向和縱向位移，應(yīng)變場展示了切應(yīng)變和縱向應(yīng)變。

圖7 二維DIC 測量的位移場和應(yīng)變場

此時，試驗機測量的推進劑試樣拉伸位移量為5 mm，推進劑標準試樣標距L為70 mm，計算推進劑試驗段應(yīng)變?yōu)?/70，約為0.071 4。而觀察圖7(b)同時查閱計算數(shù)據(jù)可知，二維DIC 測量得到推進劑試驗段縱向（軸向拉伸方向）應(yīng)變約為0.057 到0.06 之間，二者具有較大差異。

首先分析這兩種應(yīng)變的計算方法不同，查閱Ncorr 軟件參考文獻[14]可知，該軟件的二維應(yīng)變場采用格林-拉格朗日（Green-Lagrangian）方法計算。設(shè)試驗機軸向拉伸方向為y方向，與之垂直的橫向為x方向，記推進劑試樣表面x方向的位移為u，應(yīng)變?yōu)镋xx，y方向的位移為v，應(yīng)變?yōu)镋yy，切應(yīng)變記為Exy，采用格林-拉格朗日方法計算的二維應(yīng)變場為

由式（11）可知，Ncorr 軟件得到的二維應(yīng)變場中y方向應(yīng)變Eyy由該方向位移導(dǎo)數(shù)的一次項和二次項以及正交方向位移導(dǎo)數(shù)的二次項等3部分組成。而由試驗機單向拉伸位移量除以推進劑試樣試驗段標距計算應(yīng)變的方法只考慮了拉伸方向（y方向）的一維應(yīng)變，也就是拉伸方向位移導(dǎo)數(shù)的一次項，那么理論上來說該應(yīng)變數(shù)值應(yīng)該比DIC 得到的結(jié)果小。然而實驗觀察到的結(jié)果卻恰恰相反，DIC 二維應(yīng)變場中拉伸方向的應(yīng)變數(shù)值反而更小。

接下來觀察實驗拉伸過程，如圖8 所示，定速拉伸實驗開始前在推進劑表面用兩條黑線標記出該啞鈴形試樣試驗段，黑線的起止點分別是啞鈴形試樣圓弧段終點位置（參考圖4(a)），黑線之間的距離為試驗段標距70 mm。隨著定速拉伸實驗的進行，推進劑逐漸拉長，此時可以發(fā)現(xiàn)事先標記的黑線由直線逐漸變化為曲線。因此也就意味著，推進劑試樣試驗段存在向中間收縮的趨勢，采用試驗機拉伸位移量除以試驗段標距計算的單向拉伸應(yīng)變數(shù)值將不再準確，該應(yīng)變數(shù)值會比實際應(yīng)變值偏大。以上實驗分析與實驗結(jié)果吻合，也就解釋了二維DIC 測量的拉伸方向應(yīng)變比采用試驗機拉伸位移量計算的應(yīng)變小的原因。

圖8 推進劑試樣拉伸過程

但是在3.1 節(jié)，根據(jù)試驗機拉伸位移量計算應(yīng)變并進而計算推進劑試驗段內(nèi)部應(yīng)力時，應(yīng)力計算值與實際測量值卻是完全一致的。原因在于用于計算理論應(yīng)力的固體推進劑松弛模量各階參數(shù)（見表1）標定過程中，同樣是采用了試驗機拉伸位移量除以推進劑試驗段標距作為應(yīng)變數(shù)值。因此，在推進劑試驗段應(yīng)力對比實驗中根據(jù)拉伸位移量計算的理論應(yīng)力值與實際測量的應(yīng)力值是吻合的。如果在固體推進劑力學(xué)性能參數(shù)測量過程中，推進劑材料參數(shù)分別使用DIC 方法和試驗機拉伸位移方法測量得到，由于兩種方法中應(yīng)變測量的差異，將導(dǎo)致測量的推進劑材料參數(shù)不兼容而出現(xiàn)計算錯誤，這一點需要引起學(xué)生的注意和思考。

4 結(jié)論

針對固體力學(xué)原理課程線黏彈性理論的教學(xué)需求，結(jié)合課題組長期以來承擔的科研任務(wù)，以固體推進劑材料為例，探索設(shè)計了基于數(shù)字圖像相關(guān)方法的實驗教學(xué)內(nèi)容。首先，根據(jù)材料的黏彈性松弛型本構(gòu)方程計算推進劑試驗段應(yīng)力值并與試驗機直接測量得到的應(yīng)力值對比，以加深學(xué)生對線黏彈性理論的理解；然后，采用二維DIC測量系統(tǒng)測量推進劑試驗段完整的二維位移場和應(yīng)變場，通過測量結(jié)果的可視化以更加直觀地觀察黏彈性材料單向拉伸時的變形情況。在此基礎(chǔ)上，對比分析試驗機直接測量的應(yīng)變與二維DIC測量的應(yīng)變之間的差異，分析推進劑試驗段拉伸過程中存在向中間收縮現(xiàn)象是導(dǎo)致試驗機直接測量的應(yīng)變比二維DIC 測量的應(yīng)變大的原因，實驗分析和研討過程有助于加深學(xué)生對黏彈性材料特性的理解。