4+2 自由度葉片拋磨專用機(jī)器人軌跡規(guī)劃方法研究*

任利娟 陳 恪 閆偉健 李 堃 楊志堅 張廣鵬

（①西安理工大學(xué)機(jī)械與精密儀器工程學(xué)院，陜西 西安 710048；②秦川機(jī)床工具集團(tuán)有限公司，陜西 寶雞 721000）

葉片作為透平機(jī)、航空發(fā)動機(jī)等動力設(shè)備的核心零件[1]，其加工質(zhì)量直接影響其服役性能和壽命。拋磨作為葉片尺寸加工的最后一道工序，對其最終的形狀精度有重要的影響。目前，葉片自動化拋磨主要有機(jī)器人拋磨[2-3]和機(jī)床拋磨[4]兩大類。機(jī)床拋磨葉片具有加工精度高、產(chǎn)品質(zhì)量穩(wěn)定、技術(shù)較成熟等優(yōu)點(diǎn)，但其柔性和可擴(kuò)展性一般；機(jī)器人拋磨葉片具有工作空間大、運(yùn)動靈活、可拓展性強(qiáng)、性價比高等優(yōu)勢，在葉片拋磨加工中得到越來越多的關(guān)注和應(yīng)用。

機(jī)器人砂帶拋磨時，需要規(guī)劃好機(jī)器人末端運(yùn)動軌跡，軌跡規(guī)劃的精度直接影響到了拋磨產(chǎn)品的質(zhì)量。目前，葉片拋磨機(jī)器人軌跡規(guī)劃方法是通過離線編程方法設(shè)計機(jī)器人在空間的運(yùn)動軌跡。離線軌跡生成的基本步驟是[5-8]：首先基于三維掃描數(shù)據(jù)通過逆向工程建立葉片的三維模型；然后將三維模型導(dǎo)入專業(yè)的CAM 軟件，通過編寫一定的算法，結(jié)合加工工藝參數(shù)要求和葉片特征信息，生成葉片加工軌跡信息；最后通過葉片軌跡信息指導(dǎo)加工裝備拋磨葉片，在拋磨期間再輔以力-位控制，對葉片軌跡信息進(jìn)行修正，最終完成葉片拋磨作業(yè)。屈展等[9]在傳統(tǒng)的逆向工程的基礎(chǔ)上添加了交點(diǎn)追蹤優(yōu)化算法，提高了葉片建模的完整度和軌跡規(guī)劃精度；Liang X F 等[10]利用點(diǎn)云切片算法和交集法創(chuàng)建初步接觸點(diǎn)集，使得生成的軌跡能更好地順應(yīng)葉片型面的曲率變化，保證加工過程中線速度的穩(wěn)定。

目前機(jī)器人拋磨葉片多采用串聯(lián)式6 自由度機(jī)器人[11-12]，其多關(guān)節(jié)串聯(lián)導(dǎo)致的弱剛性問題直接影響了大型葉片拋磨精度和效率。本文自主設(shè)計研發(fā)的4+2 自由度葉片拋磨的專用機(jī)器人[13]，通過將2個自由度分配到拋磨工具端，縮短了串聯(lián)傳動鏈，提高機(jī)器人夾持葉片的抗變形能力，本文主要開展適用于該機(jī)器人的葉片高精度拋磨軌跡規(guī)劃方法研究，為該機(jī)器人系統(tǒng)用于葉片高精度拋磨提供理論和技術(shù)支持。

1 4+2 自由度機(jī)器人結(jié)構(gòu)及運(yùn)動原理

葉片作為典型復(fù)雜曲面零件，機(jī)器自動化磨削需要至少6 個運(yùn)動自由度，基于模塊化設(shè)計的思想，本文自主研發(fā)設(shè)計的葉片拋磨專用機(jī)器人將傳統(tǒng)的6 自由度串聯(lián)結(jié)構(gòu)拆分成四自由度葉片運(yùn)動單元和2 自由度葉片拋磨單元。運(yùn)動單元負(fù)責(zé)葉片的裝夾和進(jìn)給動作，拋磨單元負(fù)責(zé)調(diào)整拋磨工具的姿態(tài)以適應(yīng)葉片曲率的變化，兩個單元協(xié)同工作，共同完成葉片表面的拋磨作業(yè)[13]。

葉片拋磨專用機(jī)器人系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1 所示，4自由度葉片運(yùn)動單元包括一個由絲杠導(dǎo)軌副組成的沿Z軸的直線移動自由度和3 個繞其平行軸的回轉(zhuǎn)運(yùn)動自由度；葉片拋磨單元則包括繞X軸和繞Y軸的回轉(zhuǎn)運(yùn)動，同時氣缸可提供沿Y軸的法向力控制。

圖1 4+2 自由度專用葉片拋磨機(jī)器人系統(tǒng)

1.1 4 自由度葉片夾持單元

4 自由度葉片運(yùn)動單元主要部件如圖2 所示，在結(jié)構(gòu)上4 自由度葉片運(yùn)動單元包含一個直線運(yùn)動關(guān)節(jié)和3 個旋轉(zhuǎn)運(yùn)動關(guān)節(jié)?？紤]到末端存在較大負(fù)載，將第一個關(guān)節(jié)設(shè)計為滾珠絲桿直線運(yùn)動關(guān)節(jié)，葉片置于關(guān)節(jié)四的工作臺上，通過工作臺上的銷軸完成定位；關(guān)節(jié)二和三組合運(yùn)動，使葉片可以在X Y平面內(nèi)運(yùn)動；關(guān)節(jié)四帶動葉片沿著C軸旋轉(zhuǎn)。

圖2 4 自由度葉片夾持單元

1.2 2 自由度砂帶拋磨單元

2 自由度葉片拋磨單元主要部件如圖3 所示，該單元由2 個旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)組成，分別控制拋磨砂帶機(jī)的俯仰與翻滾姿態(tài)。第六個關(guān)節(jié)安裝在氣缸驅(qū)動的滑塊上，可以實現(xiàn)法向磨削力的在線調(diào)整，與運(yùn)動軌跡協(xié)同實現(xiàn)葉片的自適應(yīng)拋磨加工。砂帶磨削機(jī)構(gòu)由三向異步電機(jī)驅(qū)動驅(qū)動輪，帶動砂帶進(jìn)行高速運(yùn)動，張緊輪為砂帶提供張緊力，接觸輪為柔性橡膠材料。

圖3 2 自由度砂帶拋磨單元

2 機(jī)器人運(yùn)動學(xué)模型

本文設(shè)計的葉片拋磨專用機(jī)器人由2 個單元組成，基準(zhǔn)坐標(biāo)系定義在機(jī)器人運(yùn)動單元絲杠軸線與底面相交處記為Σ0，拋磨單元的基坐標(biāo)系定義在基座上，坐標(biāo)系原點(diǎn)在五六關(guān)節(jié)軸線公垂線與底面相交點(diǎn)處，記為ΣA，定義在機(jī)器人關(guān)節(jié)i上的坐標(biāo)系稱為坐標(biāo)系Σi，如圖4 所示。

2.1 運(yùn)動學(xué)正解

本文基于D-H 法建立的機(jī)器人運(yùn)動學(xué)模型，機(jī)器人的任意兩相鄰連桿的位姿關(guān)系都可以由4 個參數(shù)ai-1、αi-1、di、θi來表示。其中ai-1表示從zi-1到zi沿xi-1偏移的距離；di表示從xi-1到xi沿zi偏移的距離；αi-1表示從zi-1到zi以xi-1為軸旋轉(zhuǎn)的角度；θi表示從xi-1到xi以zi為軸旋轉(zhuǎn)的角度，αi-1和 θi數(shù)值通過右手規(guī)則確定。機(jī)器人相鄰關(guān)節(jié)坐標(biāo)系的齊次變換矩陣可由D-H 法得出：

根據(jù)式（1），順序連乘對各個變換矩陣可以求得第四關(guān)節(jié)末端中心相對于運(yùn)動單元基坐標(biāo)系Σ0 的變換矩陣：

式中：符號具體表達(dá)式見表1，其中c 為cos，s 為sin，1、2、3、4 為第一到第四關(guān)節(jié)的坐標(biāo)系沿z軸的轉(zhuǎn)角，c1,2,3和cθ1,2,3是cos(θ1+θ2+θ3)的縮寫，其他類似。ψp和θp為第五和第六關(guān)節(jié)分別沿X軸和Y軸的轉(zhuǎn)角，p表示沿下標(biāo)軸方向的位移。

表1 式（2）中各符號表達(dá)式

同理可求得葉片拋磨單元接觸輪中心相對于基坐標(biāo)系ΣA的變換矩陣：

2.2 機(jī)器人運(yùn)動學(xué)逆解

本文采用解析法進(jìn)行機(jī)器人運(yùn)動學(xué)逆解的求解，通過建立本文特定結(jié)構(gòu)機(jī)器人的數(shù)學(xué)模型，獲得機(jī)器人末端位姿與關(guān)節(jié)變量之間的關(guān)系。首先對于運(yùn)動單元部分求逆解，假設(shè)末端工作平臺圓心此時坐標(biāo)為(x4,y4,z4)，工作平臺此時想要抵達(dá)的位姿角為θ，如圖5 所示。

圖5 關(guān)節(jié)角度變換

根據(jù)余弦定理可得：

當(dāng) s3>0，運(yùn)動單元處于右手系；當(dāng) s3<0，運(yùn)動單元處于左手系；當(dāng) s3=0，運(yùn)動單元處于奇異解位置，則θ3為

θ2可被表示為

式中：

θ4可被表示為

本文設(shè)計的機(jī)器人運(yùn)動單元第一個關(guān)節(jié)使用滾珠絲杠傳動，因此關(guān)節(jié)一的關(guān)節(jié)變量可用θ1表示：

式中：Ph為滾珠絲杠導(dǎo)程，本文取10 mm。

然后對拋磨單元進(jìn)行運(yùn)動學(xué)逆解。拋磨單元的主要功能是調(diào)節(jié)砂帶機(jī)相對于葉片的俯仰角和翻滾角，若要求砂帶機(jī)的姿態(tài)為(ψb,φb)，則θ5和θ6可被表示為

機(jī)器人的運(yùn)動學(xué)逆解即式（5）～式（9），機(jī)器人在實際工作中，各個關(guān)節(jié)都受結(jié)構(gòu)限制，因此解的個數(shù)是有限制的，本文在選擇運(yùn)動學(xué)逆解時，按照關(guān)節(jié)歐式距離最小原則，使機(jī)器人末端執(zhí)行器按照最短路徑運(yùn)動。

式中：θi為當(dāng)前位姿對應(yīng)的關(guān)節(jié)參數(shù)，（°）；θni為目標(biāo)位姿對應(yīng)的關(guān)節(jié)參數(shù)，（°）。

3 葉片拋磨軌跡規(guī)劃

圖6 所示為本文的葉片三維模型，為了防止接觸輪與葉片曲率干涉，本文選用水平加工方式生成葉片拋磨軌跡，通過控制刀軌的殘留高度誤差，獲得葉片表面的一系列刀軌。本文通過截面法獲得基礎(chǔ)的刀路、通過參數(shù)線法根據(jù)加工余量偏移生成完整的葉片拋磨加工的刀位文件。假設(shè)砂帶機(jī)接觸輪上的砂帶寬度為b，刀路軌跡行距按照2/3～3/4 倍的砂帶寬度以保證刀路重疊，降低殘留高度。

圖6 截面法

機(jī)器人依靠末端刀具將圓弧細(xì)分為直線逼近運(yùn)動來完成曲線加工，對拋磨加工而言，首先把待拋磨軌跡曲線離散為一組位置與時間對應(yīng)的插補(bǔ)點(diǎn)，然后用一組線段依次連接插補(bǔ)點(diǎn)來擬合曲線形狀，如圖7 所示。直線段與理想曲線之間的誤差稱為逼近誤差，誤差一般與插補(bǔ)步長負(fù)相關(guān)。若步長過小，插補(bǔ)點(diǎn)的數(shù)量過密，會嚴(yán)重拖累程序處理效率。較大的步長雖然使拋磨效率提高，不能保證加工精度要求。因此加工步長的選擇應(yīng)當(dāng)綜合考慮曲面的誤差要求和加工效率。

本文設(shè)計的機(jī)器人使用數(shù)控加工中常使用的NC 數(shù)控語言做控制指令，因此，需要將CLSF 文件轉(zhuǎn)換為常見的G 代碼格式。刀位文件定義的刀軸矢量示意如圖8 所示。

在本文的數(shù)控系統(tǒng)中，i、j、k與機(jī)器人的位姿角存在以下關(guān)系：

x、y、z是葉片坐標(biāo)系下的刀位文件坐標(biāo)數(shù)值，與NC 代碼中x、y、z的轉(zhuǎn)換關(guān)系由數(shù)控系統(tǒng)的設(shè)計確定，為方便計算，令(x,y,-z)=(X,Y,Z)。

通過上述關(guān)系，可以將刀位文件中的(x,y,z,i,j,k)轉(zhuǎn)換為NC 代碼，供機(jī)器人控制系統(tǒng)使用。

4 運(yùn)動單元和拋磨單元協(xié)同運(yùn)動模型

基于上文獲取的葉片型面曲線，本節(jié)將建立運(yùn)動單元和拋磨單元協(xié)同運(yùn)動模型，使兩個單元協(xié)同運(yùn)動共同完成葉片的拋磨任務(wù)。

運(yùn)動單元和拋磨單元要想實現(xiàn)協(xié)同拋磨作業(yè)需要滿足3 個條件：

（1）假設(shè)在基坐標(biāo)系下緊貼在張緊輪的砂帶外表面有一點(diǎn)(Bx,By,Bz)，這一點(diǎn)位于砂帶機(jī)端部位置。在第四關(guān)節(jié)的初始坐標(biāo)系下，葉片表面待拋磨點(diǎn)為(Px,Py,Pz)。在拋磨過程中點(diǎn)B和點(diǎn)P應(yīng)當(dāng)保持接觸狀態(tài)，即(Bx,By,Bz)=(Px,Py,Pz)。

（2）接觸輪中心軸線與待拋磨點(diǎn)法矢量正交，由于實際操作中，接觸輪中心軸線表達(dá)比較困難，可以使用始終垂直于接觸輪中心軸線的第六關(guān)節(jié)軸線代替，只要保證第六關(guān)節(jié)軸線與待拋磨點(diǎn)法矢量平行即可。

（3）由于本文采用葉片橫截面型線作為加工的引導(dǎo)線，因此在拋磨過程中需要使接觸輪切線方向始終與加工軌跡相切。

其中條件（1）控制了運(yùn)動單元與拋磨單元的相對位置，條件（2）和條件（3）決定了葉片和加工工具之間的姿態(tài)關(guān)系。

運(yùn)動單元關(guān)節(jié)變量最終影響關(guān)節(jié)四工作臺面圓心在基座標(biāo)系下的位姿，如圖9 所示，要想滿足條件（1）和條件（2），基坐標(biāo)系下關(guān)節(jié)四臺面圓心(O4x,O4y)與(Bx,By)、(Px,Py)滿足式（12）和式（13）的關(guān)系，其中X、Y是待拋磨點(diǎn)在葉片坐標(biāo)系下的坐標(biāo)。

圖9 協(xié)同運(yùn)動局部俯視圖

對于葉片型線法矢量在豎直方向的俯仰變換，如圖10 所示，要想滿足條件（1）和條件（2）可以得到以下關(guān)系：

圖10 協(xié)同運(yùn)動局部側(cè)視圖

結(jié)合第三章運(yùn)動學(xué)逆解結(jié)論，對于給定的葉片截面型線，當(dāng)已知由刀位文件轉(zhuǎn)換的NC 代碼為（X,Y,Z,φA,ψB,θC）時，機(jī)器人各個關(guān)節(jié)運(yùn)動的關(guān)節(jié)變量為

式（15）的解即為葉片拋磨機(jī)器人協(xié)同運(yùn)動所必需的運(yùn)動學(xué)逆解。

為了驗證本章所求的機(jī)器人協(xié)同運(yùn)動條件是否正確、關(guān)節(jié)運(yùn)動過程是否存在干涉、離線編程軟件算法是否準(zhǔn)確、接觸輪沿葉片截面型線運(yùn)動過程中關(guān)節(jié)動力學(xué)情況，本文采用Adams 運(yùn)動仿真軟件模擬拋磨加工過程，采集關(guān)節(jié)運(yùn)動數(shù)據(jù)并分析驗證，驗證流程如圖11 所示。

圖11 動力學(xué)仿真流程

仿真獲得的機(jī)器人運(yùn)動過程如圖12 所示，觀察仿真過程，兩個單元運(yùn)動協(xié)調(diào)，各關(guān)節(jié)在設(shè)計行程內(nèi)運(yùn)動，各關(guān)節(jié)連桿運(yùn)動不干涉，砂帶機(jī)接觸輪最遠(yuǎn)端點(diǎn)緊貼葉片表面規(guī)劃軌跡，驗證了上文協(xié)同運(yùn)動算法和離線編程軟件的正確性。

圖12 機(jī)器人運(yùn)動過程

5 結(jié)語

本文基于自主設(shè)計研發(fā)的4+2 自由度葉片拋磨專用機(jī)器人系統(tǒng)，開展其拋磨軌跡規(guī)劃方法研究。論文的主要研究結(jié)論如下：

（1）采用D-H 法分別建立機(jī)器人運(yùn)動單元和葉片拋磨單元的運(yùn)動學(xué)模型，推導(dǎo)2 個單元的運(yùn)動學(xué)正逆解，再通過建立2 個單元協(xié)同運(yùn)動模型實現(xiàn)葉片拋磨軌跡的執(zhí)行，并通過運(yùn)動仿真驗證了該方法的可行性。

（2）在拋磨軌跡規(guī)劃中，刀路軌跡的行距、刀路軌跡點(diǎn)的密度對拋磨誤差有直接影響；復(fù)雜曲面柔性軌跡規(guī)劃時，要考慮刀具和工件曲率半徑干涉問題。