中國(guó)古代數(shù)學(xué)融入小學(xué)數(shù)學(xué)課堂的路徑初探
——以HPM視角下“圓的面積”的教學(xué)為例

山東青島西海岸新區(qū)星光島小學(xué)（266427） 孫 偉

小學(xué)數(shù)學(xué)教育應(yīng)當(dāng)充分發(fā)揮中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化在學(xué)科育人方面的作用。中國(guó)古代數(shù)學(xué)是中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的重要組成部分，如何將其融入數(shù)學(xué)課堂是一個(gè)值得探討的問(wèn)題。

一、中國(guó)古代數(shù)學(xué)融入小學(xué)數(shù)學(xué)課堂的路徑

數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育之間的關(guān)系研究，即“HPM”，是數(shù)學(xué)教育研究的一個(gè)領(lǐng)域，主要關(guān)注如何將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)中，以發(fā)揮數(shù)學(xué)史的教育作用，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教育的育人價(jià)值。這種理念與弘揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的要求是一致的。因此，從HPM 視角實(shí)施小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)能夠展現(xiàn)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的獨(dú)特教育價(jià)值。

HPM 的研究經(jīng)歷了從關(guān)注數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育的關(guān)系，到關(guān)注如何將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)課堂，再到關(guān)注如何培養(yǎng)學(xué)生的文化自信和民族自豪感的發(fā)展過(guò)程。在這個(gè)過(guò)程中，HPM 不斷拓展其研究領(lǐng)域，創(chuàng)新其研究方法，它可以為本次實(shí)踐探索提供思路和策略。本文以青島版教材六年級(jí)上冊(cè)“圓的面積”教學(xué)為例，從HPM 視角初步探索將中國(guó)古代數(shù)學(xué)融入數(shù)學(xué)課堂的路徑。

（一）整理史料

史料是研究的基礎(chǔ)，必須真實(shí)可靠。教師可以從可靠的文獻(xiàn)資料中整理史料，比如發(fā)表的論文和出版的書(shū)籍等。HPM 認(rèn)為個(gè)體知識(shí)的發(fā)生遵循人類(lèi)知識(shí)的發(fā)生規(guī)律，因此教師可以按照知識(shí)發(fā)生的順序整理史料。整理針對(duì)某一問(wèn)題的史料時(shí)，應(yīng)盡可能詳細(xì)，要找各地區(qū)的史料，要關(guān)注每個(gè)時(shí)期這一問(wèn)題的歷史背景和文化環(huán)境，還要關(guān)注每個(gè)時(shí)期這一問(wèn)題的研究方法，邊整理、邊對(duì)比、邊歸類(lèi)。以下是筆者按照知識(shí)發(fā)生的順序整理的“圓的面積”的史料。

1.無(wú)意識(shí)幾何階段

古代人類(lèi)對(duì)太陽(yáng)、月亮等的崇拜和好奇，促使他們抽象出日月的共同特點(diǎn)——圓。在夏朝，人們制造了帶有兩個(gè)圓形車(chē)輪的馬車(chē)，制作了圓口圓底的彩陶罐，這些實(shí)踐活動(dòng)和文化遺跡表明，在無(wú)意識(shí)幾何階段，人們對(duì)圓形的認(rèn)識(shí)是通過(guò)對(duì)自然界的觀察和實(shí)踐活動(dòng)的抽象得出的。

2.經(jīng)驗(yàn)幾何階段

《周髀算經(jīng)》中有“周三徑一”的說(shuō)法。這個(gè)結(jié)論可能是人類(lèi)經(jīng)過(guò)大量的實(shí)踐或者實(shí)驗(yàn)得出的近似結(jié)果。

古埃及的《萊因德紙草書(shū)》中也有鋪谷粒求圓面積的方法。

古印度人采用直觀的方式研究圓的面積，其中一種方法是將圓切成許多相等的小瓣，轉(zhuǎn)化為一個(gè)近似長(zhǎng)方形來(lái)求面積。

由此可見(jiàn)，在經(jīng)驗(yàn)幾何階段，人們開(kāi)始運(yùn)用觀察法、測(cè)量法和實(shí)驗(yàn)法來(lái)建立圓形和直線圖形之間的聯(lián)系。通過(guò)實(shí)際觀察和實(shí)驗(yàn)，他們不斷積累經(jīng)驗(yàn)，逐漸總結(jié)了圓的周長(zhǎng)和面積的計(jì)算方法，然而，這些方法的結(jié)果往往是近似的。

3.論證幾何階段

《九章算術(shù)》中提到的“半周半徑相乘，得積步”是一個(gè)精確的圓面積計(jì)算公式。在劉徽之前，人們?cè)谇笞C這個(gè)圓的面積公式時(shí)，通常使用圓內(nèi)接正十二邊形來(lái)代替圓，然而，劉徽認(rèn)為這種證明方法并不嚴(yán)謹(jǐn)，因?yàn)閮?nèi)接正多邊形和圓形之間還存在弓形部分。他認(rèn)為“割之彌細(xì)，所失彌少”。接著，他得出了“以一面乘半徑，觚而裁之，每輒自倍，故以半周乘半徑而為圓冪”的結(jié)論。

劉徽的貢獻(xiàn)在于首次引入了極限和無(wú)窮小的概念，將其運(yùn)用于數(shù)學(xué)證明中。這是思維方式的一次重大突破，代表了數(shù)學(xué)思維的質(zhì)的飛躍。

阿基米德提出并證明了“圓的面積等于一條直角邊為圓半徑、另一條直角邊為圓周長(zhǎng)的直角三角形的面積”。開(kāi)普勒提出分割法。

由此可見(jiàn)，在論證幾何階段，人類(lèi)逐漸認(rèn)識(shí)到，依靠經(jīng)驗(yàn)得出的結(jié)論有時(shí)是正確的，有時(shí)是錯(cuò)誤的。為了尋求更準(zhǔn)確的計(jì)算方法，人們開(kāi)始嘗試提出公式并證明。論證過(guò)程中的共同點(diǎn)是構(gòu)建一個(gè)與圓面積相等的直線圖形。

通過(guò)整理史料，筆者發(fā)現(xiàn)圓的面積的探究過(guò)程是一個(gè)從實(shí)驗(yàn)研究到演繹推理研究的過(guò)程，是一個(gè)從近似計(jì)算到精確計(jì)算的過(guò)程，是一個(gè)從“以直代曲”到“無(wú)限逼近”的過(guò)程。其中的重要節(jié)點(diǎn)有：得不到準(zhǔn)確面積時(shí)，就“以直代曲”求近似面積；改進(jìn)直線圖形，使其“逼近”圓形，推出圓的面積公式；用極限思維和無(wú)窮切割法證明公式。

綜上所述，按知識(shí)發(fā)生的順序整理史料，有助于教師整體把握知識(shí)的發(fā)展進(jìn)程，找到知識(shí)發(fā)生的重要節(jié)點(diǎn)；邊整理、邊對(duì)比、邊歸類(lèi)，有助于教師發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律和特點(diǎn)，從而更好地理解其數(shù)學(xué)本質(zhì)；盡可能詳細(xì)地整理史料，能為小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)提供更多生動(dòng)有趣的素材和資源，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

（二）篩選史料

汪曉勤教授認(rèn)為，選擇史料時(shí)，需要根據(jù)教學(xué)目標(biāo)和學(xué)生實(shí)際情況進(jìn)行篩選，以確保史料能夠輔助教學(xué)，提升教學(xué)效果。因此，教師可以考慮將“割圓術(shù)”融入數(shù)學(xué)課堂。

首先，從教學(xué)目標(biāo)來(lái)看，“割圓術(shù)”這一段史料蘊(yùn)含了“以直代曲”和“無(wú)限逼近”的思想方法，這兩種思想方法在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和現(xiàn)實(shí)生活中都有著廣泛的應(yīng)用。通過(guò)學(xué)習(xí)“割圓術(shù)”，學(xué)生可以了解到如何用簡(jiǎn)單的直線圖形來(lái)逼近曲線圖形，這種思想方法的掌握對(duì)于學(xué)生未來(lái)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和實(shí)際應(yīng)用都有很大的幫助。同時(shí)，“割圓術(shù)”也體現(xiàn)了中華民族的優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，將其融入數(shù)學(xué)課堂可以增強(qiáng)學(xué)生的文化自信和民族自豪感。

其次，從學(xué)生實(shí)際情況來(lái)看，“割圓術(shù)”這一段史料符合學(xué)生的實(shí)際情況和學(xué)習(xí)需要。學(xué)生在之前的學(xué)習(xí)中已經(jīng)積累了“出入相補(bǔ)”的知識(shí)，理解了“等積變形”的數(shù)學(xué)思想，這些知識(shí)點(diǎn)與“割圓術(shù)”所蘊(yùn)含的思想方法密切相關(guān)。同時(shí)，學(xué)生在學(xué)習(xí)“圓的周長(zhǎng)”這一課時(shí)中，也已經(jīng)初步體會(huì)了“以直代曲”的思想方法，這也為進(jìn)一步學(xué)習(xí)“割圓術(shù)”打下了基礎(chǔ)。因此，將“割圓術(shù)”融入課堂教學(xué)可以幫助學(xué)生將之前所學(xué)的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行聯(lián)系和深化，解決學(xué)生在學(xué)習(xí)“圓的面積”時(shí)遇到的困難和問(wèn)題。

總之，合理選擇史料并將其融入數(shù)學(xué)課堂是提高教學(xué)質(zhì)量和促進(jìn)學(xué)生發(fā)展的關(guān)鍵要素，值得教師不斷探索和實(shí)踐。

（三）應(yīng)用史料

現(xiàn)代學(xué)生與古代數(shù)學(xué)家在知識(shí)經(jīng)驗(yàn)、思維方式及學(xué)習(xí)方法等方面存在差異。對(duì)此，教師將史料融入數(shù)學(xué)課堂時(shí)需要結(jié)合教材和當(dāng)前學(xué)情。以下是具體融入過(guò)程。

首先，梳理知識(shí)發(fā)展的重要節(jié)點(diǎn)及其對(duì)應(yīng)的史料、教材和學(xué)情（見(jiàn)表1）。

表1 知識(shí)梳理

然后，將史料與教材進(jìn)行有效整合，并據(jù)此設(shè)計(jì)教學(xué)。通過(guò)上述梳理，發(fā)現(xiàn)史料和教材都突出了知識(shí)發(fā)展過(guò)程中的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)。根據(jù)學(xué)生的實(shí)際狀況，筆者認(rèn)為教材中的數(shù)學(xué)知識(shí)排列并未完全符合學(xué)生的心理認(rèn)知順序，這使得分割圓的必要性難以自然展現(xiàn)。引入“割圓術(shù)”卻能夠解決這一難題，可以采用“重構(gòu)式”的方法將這一史料有機(jī)地融入數(shù)學(xué)課堂。圖1 是“圓的面積”這一課時(shí)的教學(xué)設(shè)計(jì)思路。

圖1 “圓的面積”教學(xué)設(shè)計(jì)思路

二、評(píng)估路徑的可行性和有效性

筆者利用課堂實(shí)踐的評(píng)估結(jié)果檢驗(yàn)這一路徑的可行性和有效性。汪曉勤教授提出的數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的六個(gè)價(jià)值理論為評(píng)估提供了理論框架。

（一）呈現(xiàn)知識(shí)之諧，展示方法之妙

將“圓出于方”的史料以順應(yīng)式的方式融入教學(xué)中，通過(guò)提出“你能設(shè)法求出圓的準(zhǔn)確面積或近似面積嗎？”這一問(wèn)題，將“近似面積”這一概念引入課堂。這一表達(dá)方式符合學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)，能夠有效地促使學(xué)生自主萌發(fā)將圓轉(zhuǎn)化成直線圖形的想法。

進(jìn)一步以重構(gòu)式的方式將“割圓術(shù)”這一史料融入教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生不斷改進(jìn)直線圖形，使其逐漸接近圓。在思考和探索的過(guò)程中，學(xué)生感受到“割圓”這一思想和方法的奇妙與智慧。

讓學(xué)生求圓內(nèi)接正十二邊形的面積，引導(dǎo)學(xué)生自然而然地像切西瓜一樣將圓形進(jìn)行分割，使用三角形面積或者長(zhǎng)方形面積來(lái)代替圓的面積，并對(duì)圓的面積公式提出猜想。

數(shù)學(xué)史的融入，讓學(xué)生更好地理解圓的面積計(jì)算的發(fā)展歷程和內(nèi)在邏輯，提高他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，同時(shí)解決了圓的面積公式的推導(dǎo)這一學(xué)習(xí)難點(diǎn)，學(xué)生能夠體會(huì)到“以直代曲”“無(wú)窮小分割”等方法的美妙之處。

（二）營(yíng)造探究之樂(lè)，提供能力之柱

筆者將《九章算術(shù)》中記載的計(jì)算方法“半周半徑相乘，得積步”融入教學(xué)，并提出問(wèn)題“是近似公式還是精確公式？”，促使學(xué)生開(kāi)展了激烈的討論。學(xué)生意識(shí)到，正多邊形的邊數(shù)越多，分割拼成的平行四邊形的底越“直”，長(zhǎng)度越接近半周長(zhǎng)，拼成的平行四邊形的高越接近半徑。學(xué)生感受到了“把圓轉(zhuǎn)化為其他圖形”的奇妙之處。學(xué)生打破了原有思維的局限，接觸了極限思維，成功突破了難點(diǎn)，驗(yàn)證了圓的面積公式。數(shù)學(xué)史的融入培養(yǎng)了學(xué)生的批判精神和創(chuàng)新精神。

（三）揭示文化之魅，彰顯德育之效

在作業(yè)環(huán)節(jié)中，筆者將“割圓術(shù)”的史料改編為一個(gè)富有啟發(fā)性的故事。通過(guò)閱讀和思考這個(gè)故事，學(xué)生感受到數(shù)學(xué)家的質(zhì)疑精神、探索精神和創(chuàng)新精神，感受到數(shù)學(xué)家具有耐心細(xì)致、勇于面對(duì)困難的優(yōu)秀品質(zhì)，感受到中國(guó)古代數(shù)學(xué)的魅力。這無(wú)形之中激發(fā)了學(xué)生的民族自豪感和文化自信。

綜上所述，通過(guò)整理史料、篩選史料、應(yīng)用史料的路徑，可以把中國(guó)古代數(shù)學(xué)較好地融入課堂教學(xué)中。筆者期待未來(lái)能夠進(jìn)一步深入研究，為教育事業(yè)提供更多的啟示和幫助，為教育領(lǐng)域帶來(lái)更多的進(jìn)步和突破。