數(shù)學(xué)史浸潤(rùn)課堂：小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科育人的實(shí)施路徑

江蘇南京市江寧區(qū)秣陵中心小學(xué)（211100） 管婷婷

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門學(xué)科?？v觀數(shù)學(xué)史，數(shù)學(xué)知識(shí)都經(jīng)歷了推理、誕生以及繼承創(chuàng)新和互相包容的過(guò)程。將數(shù)學(xué)史引入小學(xué)數(shù)學(xué)課堂，可深化數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育的關(guān)系，對(duì)發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科的育人功能、落實(shí)立德樹(shù)人的根本任務(wù)具有重要意義。

一、數(shù)學(xué)史育人功能

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》（以下簡(jiǎn)稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）指出，教材編修要注重教材創(chuàng)新，展現(xiàn)數(shù)學(xué)發(fā)展史中偉大數(shù)學(xué)家，特別是中國(guó)古代與近現(xiàn)代著名數(shù)學(xué)家，以及他們的數(shù)學(xué)成果在人類文明發(fā)展中的作用，增強(qiáng)學(xué)生的愛(ài)國(guó)情懷和民族自豪感。

（一）增強(qiáng)學(xué)生的文化自信

立德樹(shù)人是當(dāng)代教師教育教學(xué)工作的根本任務(wù)。教師要圍繞學(xué)科育人的目標(biāo)進(jìn)行教學(xué)。數(shù)學(xué)史不僅包含重要的數(shù)學(xué)知識(shí)與結(jié)論，還有著豐富的數(shù)學(xué)文化韻味。另外，數(shù)學(xué)史中蘊(yùn)藏著“育人”的關(guān)鍵要素——學(xué)生能感受到前人在探索數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程中永不放棄、堅(jiān)持鉆研、合作探索的精神。在數(shù)學(xué)課堂中融入中國(guó)數(shù)學(xué)史，能讓課堂散發(fā)理性的光輝與人文氣息。經(jīng)過(guò)這樣的學(xué)習(xí)，學(xué)生會(huì)增強(qiáng)文化自信及民族自豪感。

（二）提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)

了解數(shù)學(xué)史有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)。了解相關(guān)概念、公式的發(fā)展歷程后，學(xué)生可以借鑒數(shù)學(xué)家們的研究方法對(duì)知識(shí)重難點(diǎn)進(jìn)行深入研究，從而加深認(rèn)識(shí)。學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中逐步打破原有的數(shù)學(xué)思維方式，將已有的結(jié)論放到新時(shí)代中去“完整”地學(xué)，在傳承中進(jìn)行突破、創(chuàng)新，不斷完善數(shù)學(xué)思維，發(fā)展核心素養(yǎng)。

（三）活化教師課堂教學(xué)

要想讓數(shù)學(xué)史更好地浸潤(rùn)數(shù)學(xué)課堂，教師不僅要把握好數(shù)學(xué)史的內(nèi)容選擇、呈現(xiàn)方式和呈現(xiàn)時(shí)機(jī)，還要不斷地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史，嘗試將知識(shí)的原始樣態(tài)與現(xiàn)今的發(fā)展成果進(jìn)行關(guān)聯(lián)，深入剖析知識(shí)發(fā)展的節(jié)點(diǎn)，解決學(xué)生學(xué)習(xí)的痛點(diǎn)。“以史為鑒”，若教師能從歷史經(jīng)驗(yàn)中汲取智慧，那教學(xué)時(shí)方向?qū)?huì)更加清晰，也能更好地處理學(xué)生在學(xué)習(xí)上遇到的困難。

二、數(shù)學(xué)史浸潤(rùn)課堂的現(xiàn)實(shí)困境

（一）部分教師對(duì)數(shù)學(xué)史的理解有偏差

部分教師將數(shù)學(xué)史當(dāng)作簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)閱讀材料，在課的開(kāi)始或結(jié)束如蜻蜓點(diǎn)水般一筆帶過(guò)，致使學(xué)生只是大致了解故事的梗概，沒(méi)有深入體會(huì)其內(nèi)涵。還有的教師將數(shù)學(xué)史視作課堂的備選知識(shí)，或者將其安排在可有可無(wú)的拓展環(huán)節(jié)，或者粗暴地堆砌數(shù)學(xué)史料，沒(méi)有挖掘數(shù)學(xué)史的育人價(jià)值。數(shù)學(xué)史的教學(xué)不應(yīng)是簡(jiǎn)單的知識(shí)科普，也不應(yīng)是說(shuō)故事般的教學(xué)，教師要深入學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史，不斷豐富自身的知識(shí)儲(chǔ)備，將數(shù)學(xué)史靈活運(yùn)用于教學(xué)中，讓其中的數(shù)學(xué)精神與文化內(nèi)涵潤(rùn)澤學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

（二）數(shù)學(xué)史融入課堂的形式單一

筆者深入課堂后發(fā)現(xiàn)，多數(shù)教師已有在課堂中融入數(shù)學(xué)史的意識(shí)，但將數(shù)學(xué)史融入教學(xué)的形式還是比較單一，令學(xué)生感覺(jué)枯燥乏味。數(shù)學(xué)教育家張奠宙指出，當(dāng)前的數(shù)學(xué)教學(xué)往往局限于概念、定理和思想等局部歷史的介紹，缺乏宏觀歷史進(jìn)程的綜合性描述，但后者才是揭示數(shù)學(xué)含義、加深數(shù)學(xué)知識(shí)文化理解的關(guān)鍵所在。那么，數(shù)學(xué)史在何時(shí)融入、怎么融入？這是值得廣大教師思考的問(wèn)題。

（三）數(shù)學(xué)史教學(xué)脫離育人意義

現(xiàn)階段數(shù)學(xué)史的教學(xué)局限于數(shù)學(xué)歷史文化的熏陶，這樣的數(shù)學(xué)史教學(xué)以欣賞為主，是浮于表面的。為了讓數(shù)學(xué)史的呈現(xiàn)不再是簡(jiǎn)短的口頭介紹或者看一段視頻，教師應(yīng)重視數(shù)學(xué)史中另一關(guān)鍵要素——經(jīng)驗(yàn)，以前人的經(jīng)驗(yàn)為知識(shí)發(fā)展的線索，并著眼于《課程標(biāo)準(zhǔn)》，基于教材且敢于跳脫出教材，真正為學(xué)生的發(fā)展而教。

三、數(shù)學(xué)史浸潤(rùn)課堂的實(shí)踐路徑

（一）“倒轉(zhuǎn)”歷史，體現(xiàn)知識(shí)之諧

北京師范大學(xué)教育學(xué)院郭華教授曾提出數(shù)學(xué)教學(xué)中的“兩次倒轉(zhuǎn)”機(jī)制。第一次“倒轉(zhuǎn)”，從內(nèi)容上看體現(xiàn)在“學(xué)生認(rèn)識(shí)的起點(diǎn)是前人認(rèn)識(shí)的終點(diǎn)”，即學(xué)生習(xí)得的經(jīng)驗(yàn)是傳承與延續(xù)先賢的智慧成果；第二次“倒轉(zhuǎn)”，從過(guò)程上看是學(xué)生在活動(dòng)中經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)展，即學(xué)生在教師的引導(dǎo)下“重走”歷史，這是一個(gè)將濃縮的知識(shí)重新引入課堂的過(guò)程，重在讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的形成過(guò)程，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的建構(gòu)。

1.圓，一中同長(zhǎng)也

在歷史上的很長(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi)，人們都困惑于圓周長(zhǎng)與直徑的比值究竟是多少。中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中有“周三徑一”的說(shuō)法；劉徽用“割圓術(shù)”求得圓周率為3.1416；祖沖之求出圓周率的近似值在3.1415926 和3.1415927 之間；1706 年，數(shù)學(xué)家威廉·瓊斯最先使用希臘字母“π”來(lái)表示圓周長(zhǎng)與直徑的比值，即圓周率。教師將這些數(shù)學(xué)史融入課堂，讓學(xué)生知道圓周長(zhǎng)公式的推導(dǎo)經(jīng)歷了從有限分割到無(wú)限分割，從而深刻體會(huì)“無(wú)限分割、化曲為直”的思想方法。

2.數(shù)，起源于數(shù)

在學(xué)生初識(shí)分?jǐn)?shù)時(shí)，教師要回望分?jǐn)?shù)的歷史起源，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注分?jǐn)?shù)“部分與整體”的意義。以“認(rèn)識(shí)幾分之一”為例，古人在分物品時(shí)，除了平均分給2 個(gè)人，還會(huì)分給3 個(gè)人、4 個(gè)人……因此，“幾分之一”的教學(xué)除了從二分之一引入，還可以從四分之一入手，使教學(xué)內(nèi)容更加貼合多樣的生活實(shí)際。

3.直，叁（三點(diǎn)）也

古人發(fā)現(xiàn)“鳥(niǎo)”的飛行可以超脫于其所在的平面，且鳥(niǎo)在一定高度上可以沿直線飛行，根據(jù)這一現(xiàn)象，為了強(qiáng)調(diào)直線的距離很長(zhǎng)，人們便用“鳥(niǎo)道”來(lái)描述直線距離，意在突出“長(zhǎng)”。后來(lái)，各派學(xué)者們又運(yùn)用了“鳥(niǎo)飛準(zhǔn)繩”的概念，強(qiáng)調(diào)“直”的重要性。再后來(lái)，《墨子》一書中這樣描述：“三點(diǎn)共線即為直線?！?/p>

（二）具身經(jīng)驗(yàn)喚醒知識(shí)之源

為了讓學(xué)生從數(shù)學(xué)史中深刻感受古人認(rèn)識(shí)“線”的歷程，筆者嘗試以具身經(jīng)驗(yàn)“倒轉(zhuǎn)”至知識(shí)的起源，讓學(xué)生在操作中獲得具身認(rèn)知。

數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)源于人們的生產(chǎn)生活，如中華傳統(tǒng)文化的“六藝”——射、御、禮、樂(lè)、書、數(shù)，其中的“數(shù)”就是指數(shù)學(xué)知識(shí)。因此，當(dāng)學(xué)生在探索數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程中出現(xiàn)“詞不達(dá)意”的情況時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生用比畫、畫圖等方式來(lái)表示。

具身認(rèn)知可以讓學(xué)生重走古人在勞動(dòng)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)知識(shí)的過(guò)程，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)與生活經(jīng)驗(yàn)的互融共生。如《孔子家語(yǔ)》有云：“夫布指知寸，布手知尺，舒肘知尋，斯不遠(yuǎn)之則也?！贝纭⒊?、尋這樣的長(zhǎng)度單位是通過(guò)具身操作建立的，這便是身體尺。教師在教學(xué)時(shí)融入這段史料，能讓學(xué)生對(duì)身體尺的認(rèn)識(shí)更深刻。

以“直線、射線和角”一課為例，筆者試著“不走尋常路”，用身體操作代替以往教學(xué)中的畫線段以及線段兩次延長(zhǎng)的過(guò)程。依據(jù)具身認(rèn)知的理念，筆者先通過(guò)情境喚醒學(xué)生對(duì)線段的認(rèn)知，再基于學(xué)生已有的“比大小”“比多少”“比長(zhǎng)短”的經(jīng)驗(yàn)，以學(xué)生想著再“長(zhǎng)一些”的認(rèn)知需求為契機(jī)，正向引導(dǎo)，喚醒學(xué)生的身體“細(xì)胞”。對(duì)于生活中很難體會(huì)到的“無(wú)限長(zhǎng)”，則讓學(xué)生不斷地向身體兩側(cè)移動(dòng)拳頭，感受這樣比畫出來(lái)的長(zhǎng)度有限。通過(guò)幾個(gè)人手牽手，學(xué)生發(fā)現(xiàn)能找到更長(zhǎng)的長(zhǎng)度，而隨著人數(shù)增多，學(xué)生便會(huì)脫口而出“無(wú)限長(zhǎng)”。“直線、射線和角”一課完整的具身體驗(yàn)教學(xué)活動(dòng)流程如圖1所示。

圖1

（三）高階任務(wù)重現(xiàn)經(jīng)典時(shí)刻

以史為鑒，方能確保知識(shí)的學(xué)習(xí)水到渠成。在教學(xué)“第二次倒轉(zhuǎn)”前，教師要精心篩選史料。

以“圓的周長(zhǎng)”為例，筆者的教學(xué)過(guò)程如下。

師：這里有2個(gè)圓，哪個(gè)圓的周長(zhǎng)大？再觀察2個(gè)圓的直徑，哪個(gè)圓的直徑大？對(duì)比圓的直徑和周長(zhǎng)，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生1：直徑越大，周長(zhǎng)越大。

師：怎么量出圓的周長(zhǎng)呢？

生2：可以先用一條線沿著圓的邊線圍一圈，再量出所用的線的長(zhǎng)度。

生3：在圓上做標(biāo)記，以直尺的0刻度線為起點(diǎn)將圓沿直線滾動(dòng)一圈，滾動(dòng)的距離即為圓的周長(zhǎng)。

師：你們說(shuō)的這兩種方法都是將圍成圓的曲線化為直線，這種轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)上稱之為“化曲為直”。我們知道正方形的周長(zhǎng)是邊長(zhǎng)的4 倍。圓的周長(zhǎng)與直徑是否存在倍數(shù)關(guān)系呢？先做一做（如圖2），再說(shuō)一說(shuō)。

圖2

生4：3 個(gè)圓的周長(zhǎng)除以直徑的商都是3 倍多一些。

師：數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，所有圓的周長(zhǎng)都比直徑的3倍大一些嗎？

筆者通過(guò)兩個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)將濃縮的圓周率的數(shù)學(xué)史在一節(jié)課中慢慢“泡”開(kāi)，讓學(xué)生得以“細(xì)品”與“回味”。另外，在帶領(lǐng)學(xué)生探索圓的直徑與周長(zhǎng)的關(guān)系時(shí)，筆者將教材的例題呈現(xiàn)順序進(jìn)行了兩處改編。

第一處改編是將教材中例4 的情境改為直接呈現(xiàn)2 個(gè)大小不同的圓，以簡(jiǎn)潔清晰的環(huán)節(jié)介紹圓的周長(zhǎng)的含義，指出圓的周長(zhǎng)與直徑的關(guān)系。這一改編避免了教學(xué)中可能出現(xiàn)的無(wú)關(guān)信息的干擾——英寸和厘米的轉(zhuǎn)換問(wèn)題，以及將輪胎滾動(dòng)一周的長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化為周長(zhǎng)（空間想象）的問(wèn)題。直接出示2 個(gè)大小不同的圓，學(xué)生就能很明顯看出大圓的周長(zhǎng)大。學(xué)生通過(guò)對(duì)比2 個(gè)圓的直徑的大小很容易得出：圓的直徑越大，周長(zhǎng)越大。將“輪胎滾動(dòng)一周的長(zhǎng)度就是圓的周長(zhǎng)”這一知識(shí)點(diǎn)調(diào)整為“繞圓法”“滾圓法”后，也與“圓”的數(shù)學(xué)史發(fā)展進(jìn)程一致。

第二處改編是實(shí)驗(yàn)探究圓的周長(zhǎng)除以直徑的商的規(guī)律，再通過(guò)對(duì)比，學(xué)生一致得出：圓的周長(zhǎng)總是比直徑的3倍大一些。

從歸納推理到演繹推理，由“易”到“難”，這更符合學(xué)生的學(xué)習(xí)規(guī)律，也更貼合數(shù)學(xué)史上古人發(fā)現(xiàn)圓的周長(zhǎng)與直徑之間的倍數(shù)關(guān)系的過(guò)程。

又如，在“認(rèn)識(shí)幾分之一”一課中，筆者帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷分?jǐn)?shù)的“第二次倒轉(zhuǎn)”，在引入分?jǐn)?shù)時(shí)重現(xiàn)分?jǐn)?shù)起源的關(guān)鍵步驟。如在“吃餅”的教學(xué)情境中，從“吃2 個(gè)餅沒(méi)飽”到“再吃1 個(gè)餅，吃不完一整個(gè)，但是還想再吃一小塊”，引導(dǎo)學(xué)生用一句話或一個(gè)數(shù)來(lái)表示，讓別人一聽(tīng)就知道這一小塊餅是多大。學(xué)生的思維是發(fā)散的，每個(gè)人對(duì)“一小塊”的理解不一樣。有人說(shuō)：“一小塊比較小，可以看作是一個(gè)餅的四分之一?！惫P者及時(shí)捕捉學(xué)生交流中出現(xiàn)的“四分之一”，緊扣四分之一中“四”與“一”的含義，引導(dǎo)學(xué)生理解部分與整體的關(guān)系，從而構(gòu)建分?jǐn)?shù)的意義。

在形成概念的過(guò)程中，教師要緊扣“以史為鑒”，同時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生將數(shù)學(xué)史進(jìn)行“再創(chuàng)造”，經(jīng)歷知識(shí)內(nèi)化過(guò)程中的“重演”“評(píng)判”“選擇”（如圖3），讓學(xué)生真正收獲知識(shí)。

圖3

在“圓的周長(zhǎng)”一課即將結(jié)束前，筆者沒(méi)有立即進(jìn)行習(xí)題檢測(cè)，而是讓學(xué)生欣賞“圓周率鋼琴曲”。在美妙的音樂(lè)中，人類探索圓周率的一幕幕如電影般浮現(xiàn)在學(xué)生眼前。學(xué)生沉浸其中，不斷地回味這節(jié)課的學(xué)習(xí)過(guò)程。

數(shù)學(xué)史中有精彩的故事，也有具體的人——杰出的數(shù)學(xué)家，以及數(shù)學(xué)家的探究精神。將數(shù)學(xué)史浸潤(rùn)課堂，不僅能讓學(xué)生得到數(shù)學(xué)文化的熏陶，增強(qiáng)文化自信和民族自豪感，還能讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)家的人格魅力，樹(shù)立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，樹(shù)立為數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展做貢獻(xiàn)的遠(yuǎn)大志向。如此，數(shù)學(xué)的“學(xué)科育人”才是真正落到實(shí)處。