從“碎片化”走向“整體化”
——單元整體視角下數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的實(shí)踐與思考

南京師范大學(xué)附屬小學(xué)（210018） 盛 葉

數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的作用不亞于新授課的作用，它能夠幫助學(xué)生查漏補(bǔ)缺、優(yōu)化知識(shí)結(jié)構(gòu)、發(fā)展數(shù)學(xué)思維并提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。特級(jí)教師林良富老師曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“如果將新授課比作教師帶領(lǐng)學(xué)生去掏河蚌中的珍珠，那么練習(xí)課就是擦亮珍珠的過(guò)程，復(fù)習(xí)課則是將珍珠串成項(xiàng)鏈的過(guò)程?！睆?fù)習(xí)課的重要性在于整理和鞏固學(xué)生所學(xué)的知識(shí)，完善知識(shí)結(jié)構(gòu)，并靈活運(yùn)用。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》指出，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)具有整體性、一致性和階段性。教師應(yīng)該整體把握教學(xué)內(nèi)容，通過(guò)合適的主題整合教學(xué)內(nèi)容，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)用整體、聯(lián)系和發(fā)展的眼光看待問(wèn)題，養(yǎng)成科學(xué)的思維習(xí)慣，發(fā)展核心素養(yǎng)。因此，教師要全面準(zhǔn)確地理解整體性思維的內(nèi)涵和邏輯關(guān)系，讓學(xué)生在復(fù)習(xí)課中感受到數(shù)學(xué)內(nèi)容本身的整體性，意識(shí)到數(shù)學(xué)是一個(gè)統(tǒng)一體，許多內(nèi)容之間存在著密切的關(guān)系。

一、小學(xué)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的現(xiàn)狀和誤區(qū)

在一線教學(xué)中，相對(duì)復(fù)習(xí)課，教師往往更關(guān)注新授課。有時(shí)候，教師可能覺(jué)得上好一節(jié)復(fù)習(xí)課很難，不知道如何設(shè)計(jì)教學(xué)思路，容易陷入誤區(qū)。

誤區(qū)一：多碎片化知識(shí)，缺乏整體架構(gòu)

復(fù)習(xí)課所涉及的知識(shí)量通常較大，而且很多知識(shí)點(diǎn)都是零散的，教師可能會(huì)感到無(wú)從下手。有些教師可能會(huì)選擇通過(guò)翻閱教材來(lái)回顧整個(gè)單元的知識(shí)點(diǎn)，而有些教師可能只會(huì)選擇重要的、有難度的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行講解。然而，這些方式使得學(xué)生獲取的知識(shí)仍然是零散和表面的，沒(méi)有形成整體的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。

誤區(qū)二：多單一性教學(xué)，缺乏融會(huì)貫通

在小學(xué)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中，很多知識(shí)點(diǎn)不僅僅是表面的知識(shí)。但是一些教師只教學(xué)單一的知識(shí)點(diǎn)，僅僅把題目講明白，沒(méi)有引導(dǎo)學(xué)生去研究隱藏的關(guān)鍵點(diǎn)和思考相似題目的共同點(diǎn)。這樣，學(xué)生就無(wú)法將知識(shí)融會(huì)貫通，也無(wú)法增強(qiáng)數(shù)學(xué)邏輯思維和應(yīng)用能力。

誤區(qū)三：多機(jī)械化練習(xí)，缺乏思維發(fā)展

在復(fù)習(xí)課的教學(xué)中，有些教師可能只是參考教材上的題目進(jìn)行講解，這種方式非常枯燥乏味，學(xué)生會(huì)在反復(fù)練習(xí)的過(guò)程中失去學(xué)習(xí)的樂(lè)趣。另外，盡管有些教師會(huì)篩選教材的題目，但仍然缺少具有拓展性的綜合練習(xí)，這導(dǎo)致學(xué)生的能力得不到提升，思維也無(wú)法得到發(fā)展。

復(fù)習(xí)課具有回顧與整理、溝通與生長(zhǎng)的獨(dú)特功能，它應(yīng)該包括知識(shí)的梳理建構(gòu)和練習(xí)這兩大基本模塊。這樣的復(fù)習(xí)課才能讓學(xué)生熟練掌握知識(shí)，整體建構(gòu)知識(shí)體系和數(shù)學(xué)模型，促進(jìn)思維和能力的發(fā)展。

二、小學(xué)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課整體化教學(xué)的具體實(shí)施路徑

（一）理：關(guān)注整體性，建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

知識(shí)的梳理建構(gòu)實(shí)質(zhì)上就是整理過(guò)程，就是要把“碎”的知識(shí)理成“整”的。這一過(guò)程在復(fù)習(xí)課中尤為重要。學(xué)生通常在日常課堂上跟隨教材逐步學(xué)習(xí)各個(gè)零散的知識(shí)點(diǎn)。然而，有時(shí)相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)并沒(méi)有被整合在一起，因此學(xué)生會(huì)覺(jué)得知識(shí)是雜亂的。這時(shí)候，教師應(yīng)積極引導(dǎo)學(xué)生將相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)整理在一起，以建立更為系統(tǒng)化和結(jié)構(gòu)化的知識(shí)體系。下面以蘇教版教材一年級(jí)下冊(cè)“100 以內(nèi)數(shù)的復(fù)習(xí)”為例，具體說(shuō)明如何在復(fù)習(xí)課中引導(dǎo)學(xué)生整理知識(shí)點(diǎn)。

1.有范圍地理：從無(wú)序到有序

課前，教師可以要求學(xué)生自行翻閱教材，回顧整個(gè)單元的知識(shí)點(diǎn)。學(xué)生可以用文字、圖表等方式將知識(shí)點(diǎn)逐一羅列出來(lái)，以確保對(duì)知識(shí)有所了解。

例如，在復(fù)習(xí)“100 以內(nèi)的數(shù)”時(shí)，考慮到一年級(jí)學(xué)生的年齡和思維特點(diǎn)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生在課前以喜歡的方式創(chuàng)造一朵關(guān)于32 的“數(shù)字花”（如圖1），利用這個(gè)數(shù)字花來(lái)串聯(lián)起整個(gè)單元的零散知識(shí)點(diǎn)，初步構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的輪廓。由于整節(jié)課都圍繞著學(xué)生自己創(chuàng)造的“數(shù)字花”展開(kāi)交流，能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和熱情，使知識(shí)的整理由無(wú)序向有序過(guò)渡。

圖1

2.有聯(lián)系地理：從零散到結(jié)構(gòu)化

在羅列出零散的知識(shí)點(diǎn)之后，教師還需要引導(dǎo)學(xué)生尋找知識(shí)之間的聯(lián)系?？梢杂^察整個(gè)單元中知識(shí)點(diǎn)排列的邏輯順序，思考其因果關(guān)系和合理性，并對(duì)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行分類整理和延伸。這樣可以使學(xué)生的知識(shí)獲取從數(shù)量上提升到質(zhì)量上。

例如，在結(jié)束數(shù)卡游戲之后，可以讓學(xué)生繼續(xù)使用數(shù)卡的反面創(chuàng)造一朵關(guān)于該數(shù)卡上的數(shù)的“數(shù)字花”。學(xué)生的創(chuàng)作相較于課前有了進(jìn)一步提升，畫出的“數(shù)字花”也更具有邏輯性和結(jié)構(gòu)性。通過(guò)整節(jié)課的回顧和復(fù)習(xí)，學(xué)生的理解變得更為全面，學(xué)生繪制的花瓣和延伸的葉子數(shù)量也更多。這也是對(duì)單元內(nèi)容的再次回顧，使整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程形成一個(gè)有效的閉環(huán)。學(xué)生通過(guò)思考知識(shí)之間的縱橫聯(lián)系，在腦海中將知識(shí)系統(tǒng)化，從而構(gòu)建更為完整的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。

3.有證據(jù)地理：從抽象到具體

在學(xué)生建立了單元整體知識(shí)框架之后，教師可以使用必要的圖像或舉例來(lái)輔助說(shuō)明知識(shí)點(diǎn)，以實(shí)現(xiàn)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的可視化，使知識(shí)的脈絡(luò)更加清晰、有理有據(jù)。

例如，在構(gòu)建關(guān)于“100 以內(nèi)的數(shù)”的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)時(shí)，考慮到一年級(jí)學(xué)生以具體形象思維為主，教師最初的板書（如圖2-1）雖然呈現(xiàn)了結(jié)構(gòu)化，但過(guò)于抽象，一年級(jí)學(xué)生比較難理解其中的含義。實(shí)際上，學(xué)生的作品中包含了具體的概念和例子，具有示范性。例如，數(shù)字32 由3 個(gè)十和2 個(gè)一組成，教師可以配合小棒圖或計(jì)數(shù)器圖（如圖2-2）進(jìn)行展示，這些都是數(shù)字構(gòu)成的體現(xiàn)。學(xué)生作品能夠更直接地喚起學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備，也更具可遷移性，使學(xué)生能夠感受到“任何數(shù)都可以用類似的‘?dāng)?shù)字花’來(lái)表示”。

圖2-1

（二）通：關(guān)注一致性，追求本質(zhì)關(guān)聯(lián)

通，即通透，就是透過(guò)知識(shí)表面，追求知識(shí)的本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的聯(lián)通、本質(zhì)的追溯、數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)。例如，在復(fù)習(xí)計(jì)算時(shí)，教師不能只強(qiáng)調(diào)記憶計(jì)算方法，還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)算理和本質(zhì)進(jìn)行研究。復(fù)習(xí)課的教學(xué)不應(yīng)是機(jī)械記憶，而是通過(guò)思考一個(gè)或幾個(gè)問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)一類問(wèn)題的數(shù)學(xué)建模。如計(jì)算教學(xué)應(yīng)注重?cái)?shù)與運(yùn)算的一致性，引導(dǎo)學(xué)生先掌握算法，然后理解算理，最終挖掘計(jì)算本質(zhì)，引領(lǐng)學(xué)生達(dá)到由會(huì)到明再到通的最高學(xué)習(xí)境界。

1.通“知”：打通知識(shí)之間的聯(lián)系

在復(fù)習(xí)計(jì)算或解決問(wèn)題的課程中，教師可以通過(guò)練習(xí)來(lái)推動(dòng)復(fù)習(xí)整理的過(guò)程。在“練習(xí)→整理”的過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比和發(fā)現(xiàn)知識(shí)之間的聯(lián)系，提高學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和應(yīng)用能力。

盡管小學(xué)階段的計(jì)算內(nèi)容很多，但在教學(xué)蘇教版教材六年級(jí)下冊(cè)“數(shù)的運(yùn)算（總復(fù)習(xí)）”時(shí)，教師可以通過(guò)一個(gè)研究單（如圖3-1）將“數(shù)的運(yùn)算”分為整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)三類，讓學(xué)生自主進(jìn)行研究；借助具體的算式，引導(dǎo)學(xué)生有針對(duì)性地進(jìn)行比較和關(guān)聯(lián)（如圖3-2），打通知識(shí)之間的壁壘，體會(huì)運(yùn)算一致性。最終，學(xué)生能夠在方法層面上實(shí)現(xiàn)靈活、熟練和正確計(jì)算的目標(biāo)。

圖3-1

2.通“本”：挖掘知識(shí)內(nèi)在的本質(zhì)

在學(xué)生意識(shí)到知識(shí)的聯(lián)系之后，教師可以引導(dǎo)他們探索知識(shí)的本質(zhì)，以掌握一系列知識(shí)中最核心的思想，實(shí)現(xiàn)對(duì)思想的深入理解。

以復(fù)習(xí)“乘法運(yùn)算律”為例，教師可以先讓學(xué)生在課前制作三種運(yùn)算律的名片，包括字母表達(dá)式、圖形模型和例子說(shuō)明；然后在課堂上要求學(xué)生進(jìn)行小組討論，并匯報(bào)他們制作的三種運(yùn)算律；最后，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)對(duì)比討論得出結(jié)論：無(wú)論是乘法交換律、乘法結(jié)合律，還是乘法分配律，它們的核心思想都是幾個(gè)幾相加，指向乘法的本質(zhì)意義（如圖4）。

圖4

3.通“理”：建構(gòu)知識(shí)共通的模型

在學(xué)生明確知識(shí)的本質(zhì)后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生將這些知識(shí)進(jìn)行遷移類推，通過(guò)不斷提問(wèn)和啟發(fā)，實(shí)現(xiàn)模型的建構(gòu)，幫助學(xué)生從整體上把握知識(shí)的內(nèi)涵，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

以蘇教版教材二年級(jí)下冊(cè)“兩、三位數(shù)的加法和減法復(fù)習(xí)”的教學(xué)為例，教師可設(shè)計(jì)兩道加法題和兩道減法題作為課前小研究（如圖5），其涵蓋了加減法中的經(jīng)典題型，并加入了“我的發(fā)現(xiàn)”的探究部分。首先，學(xué)生在交流中能夠?qū)λ惴ㄟM(jìn)行歸納總結(jié)，并發(fā)現(xiàn)計(jì)算中的規(guī)律；然后，教師提出問(wèn)題“雖然整節(jié)課只學(xué)了三位數(shù)的加法和減法，但為什么小學(xué)階段只學(xué)到這里就足夠了？”學(xué)生能夠回答：“因?yàn)樗憷硎且粯拥模际窍嗤瑪?shù)位對(duì)齊，加法中滿十進(jìn)一，減法中退一作十?！贝藭r(shí)，教師還可以進(jìn)一步延伸：“實(shí)際上，不僅是整數(shù)，當(dāng)我們學(xué)習(xí)了小數(shù)和分?jǐn)?shù)后，也可以運(yùn)用相同的算理。因?yàn)榧訙p法計(jì)算的本質(zhì)是相同的，即使用相同的計(jì)數(shù)單位進(jìn)行累積或遞減，建立起加減法模型?！?/p>

圖5

總的來(lái)說(shuō)，基于整體的計(jì)算復(fù)習(xí)課，應(yīng)該由點(diǎn)到面、由面到體，強(qiáng)化不同計(jì)算類型的知識(shí)屬性及關(guān)聯(lián)，建構(gòu)計(jì)算的一般數(shù)學(xué)模型。

（三）練：關(guān)注生長(zhǎng)性，促進(jìn)素養(yǎng)提升

高效的練習(xí)是鞏固和內(nèi)化知識(shí)的重要途徑，也是復(fù)習(xí)課教學(xué)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。在復(fù)習(xí)課中，練習(xí)要具備生長(zhǎng)力的特點(diǎn)，教師應(yīng)設(shè)計(jì)具有開(kāi)放性、層次性和有效性的練習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步完善知識(shí)體系，培養(yǎng)他們用數(shù)學(xué)思維解決問(wèn)題的能力，以提升他們的應(yīng)用意識(shí)和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。下面以蘇教版教材四年級(jí)下冊(cè)“乘法運(yùn)算律復(fù)習(xí)”一課為例，具體說(shuō)明如何設(shè)計(jì)具有生長(zhǎng)力的練習(xí)。

1.開(kāi)放地練：從固定到多樣

開(kāi)放性練習(xí)沒(méi)有固定答案，學(xué)生可以發(fā)散數(shù)學(xué)思維，綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題。開(kāi)放性練習(xí)能夠改變學(xué)生依賴模仿和記憶的學(xué)習(xí)方式，更具挑戰(zhàn)性，使學(xué)生的思維更加開(kāi)闊，使課堂教學(xué)更加靈動(dòng)。

例如，在復(fù)習(xí)“乘法運(yùn)算律”的練習(xí)中，教師可以使用典型的數(shù)25來(lái)引導(dǎo)學(xué)生自主創(chuàng)編與25相關(guān)的簡(jiǎn)便計(jì)算題（如圖6）。這樣的練習(xí)具有很強(qiáng)的開(kāi)放性，更多的主動(dòng)權(quán)掌握在學(xué)生手中，學(xué)生就可以根據(jù)數(shù)的特點(diǎn)思考乘法運(yùn)算律的結(jié)構(gòu)，創(chuàng)編出不同類型的簡(jiǎn)便計(jì)算題。通過(guò)這個(gè)過(guò)程，學(xué)生能夠熟練運(yùn)用運(yùn)算律，加深對(duì)運(yùn)算律本質(zhì)的理解，并體會(huì)到運(yùn)算律的應(yīng)用價(jià)值。這樣的練習(xí)能促使學(xué)生以個(gè)性化的方式學(xué)習(xí)，激發(fā)他們的積極性和主動(dòng)性。

圖6

2.分層地練：從基礎(chǔ)到進(jìn)階

設(shè)計(jì)練習(xí)需要遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，從淺入深、由易到難、循序漸進(jìn)。讓學(xué)生自主編題既可以滿足不同思維層次學(xué)生的發(fā)展需要，又能在同一練習(xí)中呈現(xiàn)不同層次的要求。

例如，用25 編寫簡(jiǎn)便計(jì)算題就有三個(gè)層次的要求：第一層次是學(xué)生能夠根據(jù)不同數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，靈活選擇不同的運(yùn)算律進(jìn)行計(jì)算；第二層次是學(xué)生能夠意識(shí)到同一道題目經(jīng)過(guò)不同的拆分可能可以使用不同的計(jì)算策略，比如25×44 可以拆成25×4×11，也可以拆成25×（40+4）；第三層次是教師引入反例“25×（96+4），其中涉及25 和4，為什么不能利用乘法分配律？”，通過(guò)對(duì)比和對(duì)反例的討論，學(xué)生能更全面地理解乘法運(yùn)算律的適用條件，思考更加深入。

3.有效地練：從了解到掌握

學(xué)生通過(guò)有效的練習(xí)可以快速且深刻地鞏固知識(shí)，靈活運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題，提升應(yīng)用意識(shí)和綜合能力，實(shí)現(xiàn)思維和方法的進(jìn)階，這也是練習(xí)的關(guān)鍵目的。

例如，在使用運(yùn)算律解題方面，學(xué)生常常陷入一種誤區(qū)，即只在題目要求簡(jiǎn)便計(jì)算時(shí)才會(huì)考慮使用運(yùn)算律，而在沒(méi)有明確要求的解決問(wèn)題情境中往往不會(huì)主動(dòng)用運(yùn)算律來(lái)解決問(wèn)題。為了改善這個(gè)情況，教師可以設(shè)計(jì)題目：計(jì)算給定的不規(guī)則圖形（如圖7-1）的面積。當(dāng)學(xué)生看到圖中有2 個(gè)25 時(shí)，他們就會(huì)有意識(shí)地將它們拼接在一起，得到一個(gè)長(zhǎng)方形（如圖7-2）。這是對(duì)乘法分配律的有效應(yīng)用。

圖7-1

分散化的教學(xué)模式可能對(duì)學(xué)生的綜合能力提升有不利影響，而整體性的小學(xué)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)有助于學(xué)生思維的發(fā)展。教師需要從整體的角度思考復(fù)習(xí)課的教學(xué)理念和設(shè)計(jì)，并關(guān)注知識(shí)的整體性、運(yùn)算的一致性及練習(xí)的層次性，以幫助學(xué)生加強(qiáng)對(duì)知識(shí)的系統(tǒng)理解，從而實(shí)現(xiàn)學(xué)生思維和素養(yǎng)的整體提升。