韋恩圖：助力學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)慢慢生長(zhǎng)

南京師范大學(xué)附屬小學(xué)（210018） 潘 越

韋恩圖是數(shù)學(xué)中一種重視邏輯性的圖示工具，對(duì)于整理數(shù)學(xué)概念體系和區(qū)分易混淆概念起著重要作用。教材引入了韋恩圖（如圖1）來呈現(xiàn)加法模型，學(xué)生能通過韋恩圖建立加法模型，并且能夠在不同情境中應(yīng)用該模型解決問題。那韋恩圖是否可以作為學(xué)生理解概念的有效工具，從而促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展？學(xué)生如何才能熟練運(yùn)用韋恩圖？筆者對(duì)此進(jìn)行了研究。

圖1

一、韋恩圖及其教學(xué)價(jià)值

（一）韋恩圖的定義

韋恩圖是一種通過封閉曲線直觀地表示集合及其關(guān)系的圖形。英國(guó)邏輯學(xué)家韋恩采用固定位置的交叉環(huán)形式及陰影來表示邏輯問題。在數(shù)學(xué)中，韋恩圖經(jīng)常被用來表示集合或集合間的關(guān)系。在小學(xué)數(shù)學(xué)中，常見的韋恩圖有以下幾種類型（如圖2）。

圖2

韋恩圖兼具抽象與形象的雙重性質(zhì)，能很好地體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想，它不是幾何學(xué)中的某一種圖形，而是一種把集合中的元素都包圍在圈內(nèi)的直觀表示。因此，韋恩圖與封閉曲線的形狀、大小均無(wú)關(guān)，但考慮到數(shù)學(xué)的美感，通常會(huì)畫成圓形或者橢圓形。

（二）韋恩圖的主要功能

韋恩圖強(qiáng)調(diào)邏輯性，能夠直觀地體現(xiàn)事物與事物之間的關(guān)系。它具備以下三個(gè)主要功能。

1.分類解析

作為數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)教材中的應(yīng)用，韋恩圖能幫助學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行直觀有效的分類，以及理解整體與部分、部分與部分之間的關(guān)系。

2.形象推理

數(shù)學(xué)是一門研究“關(guān)系”的學(xué)問，常常需要通過邏輯推理進(jìn)行抽象的思維活動(dòng)。韋恩圖可以將隱秘的邏輯關(guān)系直觀展現(xiàn)出來，幫助學(xué)生厘清線索，合理規(guī)劃推理的步驟。

3.語(yǔ)言轉(zhuǎn)譯

利用韋恩圖可以清晰地說明兩個(gè)事物之間的關(guān)系，同時(shí)可以將更多的概念整合在一起，降低了學(xué)生理解和表達(dá)的難度。

（三）韋恩圖助力學(xué)生開展數(shù)學(xué)認(rèn)知活動(dòng)

韋恩圖的三個(gè)功能夠助力學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知活動(dòng)的開展。韋恩圖可以直觀地呈現(xiàn)不同概念之間的關(guān)系，為發(fā)展學(xué)生的幾何直觀提供支持。在辨析韋恩圖的過程中，學(xué)生要通過分析和推理，從中抽象出研究對(duì)象的特性和共性，有助于發(fā)展推理意識(shí)。韋恩圖也可以建立不同的模型，為學(xué)生提供工具性的支持，使他們能夠個(gè)性化地表達(dá)自己的思想（如圖3）。

圖3

二、韋恩圖在教學(xué)中的實(shí)踐應(yīng)用

韋恩圖在概念的理解和表達(dá)中具有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)，它能夠形象直觀地表達(dá)易混淆概念之間的邏輯關(guān)系。然而，學(xué)生對(duì)韋恩圖的使用需要經(jīng)過一定的學(xué)習(xí)和實(shí)踐。在教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“識(shí)圖—用圖—構(gòu)圖”的過程，真正幫助他們學(xué)會(huì)使用韋恩圖。

（一）識(shí)圖：與韋恩圖相識(shí)

1.借助已有經(jīng)驗(yàn)認(rèn)識(shí)韋恩圖

教材沒有編排韋恩圖的內(nèi)容，但學(xué)生在低年級(jí)時(shí)就已經(jīng)積累了一些用圖示或文字表示關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)。學(xué)生遇到韋恩圖時(shí)，就會(huì)將他們已有的經(jīng)驗(yàn)與之對(duì)接。例如，在學(xué)習(xí)加法數(shù)量關(guān)系時(shí)，學(xué)生會(huì)嘗試使用圖示來表示加法模型（如圖4）。

圖4

師：能說說哪個(gè)圖形是表示總量或分量的嗎？

生1：①號(hào)作品里的是大圓，②號(hào)作品里的是括線內(nèi)的。

生2：兩個(gè)分量就是每個(gè)作品中較小的圖形。

師：對(duì)?、厶?hào)作品很接近韋恩圖的表征形式。什么形狀的圖形都可以，只是數(shù)學(xué)中更習(xí)慣用圓形或橢圓形來構(gòu)建韋恩圖。

一些學(xué)生在用韋恩圖表示加法模型時(shí)可能會(huì)受到具體問題情境中數(shù)據(jù)大小的影響，認(rèn)為兩個(gè)分量不應(yīng)該平均分配。對(duì)此，教師要引導(dǎo)學(xué)生理解集合圈中圖形面積的大小和子集數(shù)量的多少并沒有直接的對(duì)應(yīng)關(guān)系。同時(shí)，也要幫助學(xué)生理解“盡管圖示中只畫出了兩個(gè)分量，但韋恩圖同樣可以表示多個(gè)分量”的情況。這樣可以進(jìn)一步讓學(xué)生感受到韋恩圖的抽象性和概括性。

2.利用韋恩圖呈現(xiàn)從屬關(guān)系

當(dāng)下小學(xué)教材中包含了許多涉及從屬關(guān)系的概念，這也是學(xué)生在學(xué)習(xí)概念時(shí)最容易混淆的。例如，當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)“長(zhǎng)方形和正方形”時(shí)，他們可能會(huì)注意到這兩者之間的緊密聯(lián)系，但往往忽略它們之間的區(qū)別。在教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考如何用韋恩圖表示長(zhǎng)方形和正方形之間的關(guān)系。

師：正方形和長(zhǎng)方形誰(shuí)更特殊？

生1：正方形更特殊，因?yàn)樗乃臈l邊都相等，這與長(zhǎng)方形不同。

生2：正方形有一些特征類似于長(zhǎng)方形，但也有區(qū)別，兩個(gè)集合圈有交叉。

生3：那交叉的部分表示什么？

師：是否存在一個(gè)既是長(zhǎng)方形又是正方形的圖形？

生4：不可能，因?yàn)檎叫我呀?jīng)包含了長(zhǎng)方形的所有特征，所以正方形也是長(zhǎng)方形。

生5：也就是說，正方形應(yīng)該被看作是一個(gè)小集合圈，被長(zhǎng)方形的大集合圈所包含（出示圖5）。

圖5

小學(xué)數(shù)學(xué)中還有一些類似于“等邊三角形是特殊的等腰三角形”“整除是除盡的一種特例”等概念，使用韋恩圖（如圖6-1、圖6-2）也可以直觀地表示這些概念之間的關(guān)系。環(huán)狀韋恩圖有助于學(xué)生直觀地理解“從屬”關(guān)系，即大概念反映的是共性，小概念反映的是個(gè)性。這樣的理解可以幫助學(xué)生在未來學(xué)習(xí)新的概念時(shí)進(jìn)行遷移。

圖6-1

3.使用韋恩圖進(jìn)行分類梳理

在小學(xué)數(shù)學(xué)中常常借助分類來豐富一個(gè)概念的外延和內(nèi)涵，分類解析是韋恩圖的一個(gè)重要功能，它能直觀有效地體現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的分類。例如，學(xué)生在學(xué)習(xí)三角形的過程中，將三角形分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形后，并使用韋恩圖（如圖7）來表示。這樣的圖示既能清晰地展示分類的結(jié)果，又能幫助學(xué)生理解分類思想，即按照一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)對(duì)一類事物進(jìn)行分類時(shí)，所分出的不同部分之間互不交叉，并且合在一起應(yīng)等于原來的集合。

圖7

（二）用圖：與韋恩圖相知

1.在比較中進(jìn)行辨析

在學(xué)生理解韋恩圖中表示兩個(gè)集合包含關(guān)系或交叉關(guān)系的含義后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生想象韋恩圖并進(jìn)行辨析。在比較、舉例論證之后，學(xué)生能夠建立符合邏輯的韋恩圖，并能夠解釋圖中不同區(qū)域表示的含義，進(jìn)而思考現(xiàn)實(shí)世界的問題。

例如，在學(xué)生學(xué)習(xí)三角形按角的分類后，筆者利用問題“把所有三角形看作一個(gè)整體，銳角、直角和鈍角三角形都是這個(gè)整體的一部分，它們之間的關(guān)系可以怎樣表示呢？”引導(dǎo)學(xué)生用文字或者圖示來展示自己的想法。學(xué)生作品如圖8所示。

圖8

師：請(qǐng)說說你對(duì)這些作品的看法。

生1：這些作品都能體現(xiàn)三角形按角分有三類。

生2：②號(hào)作品中，三個(gè)圓環(huán)相交的部分代表什么？一個(gè)三角形可以既是銳角三角形又是直角三角形，還是鈍角三角形嗎？

生3：三種三角形之間不應(yīng)該有交叉，就像③號(hào)作品一樣。

生4：從③號(hào)作品的大集合圈中去除三個(gè)小圓環(huán)后，剩下的圖形表示什么？

生5：三種類型已經(jīng)涵蓋了所有的三角形，所以應(yīng)該填滿大集合圈（出示圖9）。

圖9

生6：④號(hào)作品實(shí)際上就是一幅韋恩圖，只是用大三角形來表示集合圈。

2.在追問中合理推理

在學(xué)習(xí)三角形的分類時(shí)，除了按角分類，學(xué)生還學(xué)習(xí)了按邊分類。對(duì)于等腰三角形和等邊三角形，教師可以引導(dǎo)學(xué)生借助韋恩圖來明確它們之間的關(guān)系。

師：三角形按邊分是不是就像按角分一樣，將三角形的大集合一分為二？

生1：不是，這兩類三角形沒有覆蓋所有的三角形，只是比較特殊的情況。

生2：而且它們不是并列關(guān)系，而是從屬關(guān)系。

生3：三角形按邊分應(yīng)該有兩類，一類是一般三角形，一類是等腰三角形，而等腰三角形中又包含了特殊的等邊三角形。（出示圖10）

圖10

借助韋恩圖可以推理得到這兩種三角形屬于從屬概念。通過教師的不斷追問，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，按邊分除這兩類外還有一般三角形，這樣才能覆蓋三角形集合。經(jīng)過這樣的辨析過程，學(xué)生可以進(jìn)一步感悟到韋恩圖是具有強(qiáng)邏輯性的一種圖示，并在辨析中逐步積累自主構(gòu)建韋恩圖的經(jīng)驗(yàn)與方法。

3.在連續(xù)思考中豐富內(nèi)涵

既然按角和邊都可以對(duì)三角形進(jìn)行分類，教師還可以順勢(shì)引導(dǎo)學(xué)生思考兩種分類方法之間有什么樣的聯(lián)系，是否可以將這兩幅韋恩圖疊在一起，疊在一起后是否就是對(duì)類別數(shù)量的簡(jiǎn)單累加？

師：按角分可以分成三類，按邊分可以分成兩類，合并的話是不是就是分成五類？

生1：兩種分類方法的標(biāo)準(zhǔn)不同，不能只簡(jiǎn)單累計(jì)。

生2：這兩種分法是有共性的，都對(duì)三角形完整的集合進(jìn)行了分類，可以進(jìn)行疊加。

師：從哪個(gè)角度先建立聯(lián)系呢？

生3：我們可以先按角分類，構(gòu)建出完整的三角形集合，然后將等腰和等邊三角形添加進(jìn)去。

生4：等邊三角形肯定在銳角三角形的區(qū)域。

生5：等腰三角形有可能出現(xiàn)在多個(gè)區(qū)域，它是大環(huán)中的一個(gè)小環(huán)，而等邊三角形則是這個(gè)小環(huán)中更小的環(huán)，且只能落在銳角三角形區(qū)域中。（出示圖11）

圖11

師：非常好的觀點(diǎn)！這個(gè)問題引發(fā)了我們對(duì)分類方法的思考和辨析。按角和按邊分類方法雖然都可以合理區(qū)分三角形，但在重疊和類別數(shù)量方面，它們并不是簡(jiǎn)單的累加關(guān)系。

再如學(xué)生學(xué)習(xí)了“因數(shù)和倍數(shù)”的單元后，知道非0自然數(shù)按照是否為2的倍數(shù)可以分為奇數(shù)和偶數(shù)，用韋恩圖表示如圖12-1 所示；按照因數(shù)的個(gè)數(shù)也可以分為質(zhì)數(shù)、合數(shù)和1，也可以用圖12-2表示。兩個(gè)韋恩圖合并后還可以產(chǎn)生新的圖示（如圖12-3），從中不難看出質(zhì)數(shù)有可能是奇數(shù)，也有可能是偶數(shù)，從而豐富了學(xué)生對(duì)數(shù)的理解。

圖12-1

連續(xù)思考可以幫助學(xué)生將各知識(shí)點(diǎn)聯(lián)系起來，為學(xué)生更加清晰地進(jìn)行推理提供工具性的支持，培養(yǎng)學(xué)生的推理意識(shí)，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)。

（三）構(gòu)圖：與韋恩圖相惜

1.鼓勵(lì)學(xué)生自主繪圖

在學(xué)生學(xué)習(xí)和理解韋恩圖后，教師可以鼓勵(lì)他們繪制韋恩圖，并將其應(yīng)用到不同的學(xué)習(xí)領(lǐng)域中。這樣可以培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，并使學(xué)生在創(chuàng)作中發(fā)揮創(chuàng)造性，靈活地表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界。

在學(xué)生學(xué)習(xí)了加法模型后，筆者開展了“乘法數(shù)量關(guān)系”的教學(xué)：從具體的情境出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生在解決真實(shí)問題的過程中歸納出“總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量”“路程=速度×?xí)r間”等乘法數(shù)量關(guān)系。隨后，筆者引導(dǎo)學(xué)生思考如何用圖示來表示這些乘法數(shù)量關(guān)系。圖13 展示了一個(gè)學(xué)生個(gè)性化地構(gòu)建乘法數(shù)量關(guān)系圖示的過程。

圖13

通過圖示的驅(qū)動(dòng)，學(xué)生對(duì)從份數(shù)有限到份數(shù)無(wú)限、從每份量不同到每份量相同，再到長(zhǎng)方形面積的計(jì)算的乘法數(shù)量關(guān)系有了深刻的理解。

2.按序畫圖形成結(jié)構(gòu)

韋恩圖的特點(diǎn)是各部分之間沒有嚴(yán)格的界限，它更強(qiáng)調(diào)集合中一類事物的增長(zhǎng)和漸變，各部分互相重疊、互相包容。韋恩圖可以呈現(xiàn)知識(shí)層次，幫助學(xué)生梳理單元甚至小學(xué)階段的知識(shí)體系，促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展。

比如，在六年級(jí)對(duì)“數(shù)”的板塊進(jìn)行整體復(fù)習(xí)時(shí)，教師可以將數(shù)的相關(guān)概念建立起聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)模型。

師：我們?cè)谛W(xué)階段學(xué)習(xí)了哪些數(shù)呢？

生1：整數(shù)、負(fù)數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)，還有百分?jǐn)?shù)。

師：如何按照數(shù)的含義對(duì)數(shù)進(jìn)行分類？

生2：可以先用韋恩圖將分?jǐn)?shù)和小數(shù)表示出來，然后將它們放到“數(shù)”的集合中。

生3：另外，分?jǐn)?shù)也分正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)，我們所研究的真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)都屬于正分?jǐn)?shù)。

生4：還有整數(shù)和0，需要分開。

生5：整數(shù)與分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)、小數(shù)之間雖然能相互轉(zhuǎn)換，但在含義上它們之間并沒有交集。

生6：按照數(shù)的含義來分類，可以先分別繪制整數(shù)及分?jǐn)?shù)的韋恩圖，再將其放至數(shù)的集合圈中（如圖14），從而建立起數(shù)的模型。

圖14

……

3.組合使用個(gè)性表達(dá)

比如，在復(fù)習(xí)“圖形與幾何”板塊時(shí)，可以將平面圖形和立體圖形放在圖形的集合全圈中（如圖15），從而建立起圖形的模型。

圖15

韋恩圖可以幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)的系統(tǒng)性。根據(jù)不同的分類方式，韋恩圖的呈現(xiàn)形式也會(huì)相應(yīng)改變。在建立板塊之間的聯(lián)系時(shí)，教師要鼓勵(lì)學(xué)生將韋恩圖與列表、樹狀圖、金字塔圖等圖示工具結(jié)合使用，以發(fā)展學(xué)生的模型思維。

韋恩圖強(qiáng)調(diào)邏輯性，同時(shí)能夠直觀地展示概念之間的關(guān)系，因此被引入小學(xué)教材中。然而，并不是所有的關(guān)系都適合使用韋恩圖表示。面對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)體系，教師要在構(gòu)圖之前明確構(gòu)圖的目的，通過不斷辨析加強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，真正推動(dòng)他們核心素養(yǎng)發(fā)展。