素養(yǎng)導(dǎo)向下數(shù)量關(guān)系主題教學(xué)的實踐探索
——以“常見的數(shù)量關(guān)系”為例

南京師范大學(xué)附屬小學(xué)（210018） 王 倩

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》（以下簡稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）指出，數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。數(shù)量關(guān)系是運用數(shù)與符號對現(xiàn)實問題中的數(shù)量之間的關(guān)系、性質(zhì)或規(guī)律的表達，是解決問題的核心。在素養(yǎng)導(dǎo)向的新課程改革背景下，數(shù)量關(guān)系的教學(xué)又承載著怎樣的育人價值？可以通過何種教學(xué)路徑達成學(xué)生素養(yǎng)的提升呢？

一、作為教學(xué)任務(wù)的數(shù)量關(guān)系

（一）數(shù)量關(guān)系主題的編排特點

《課程標(biāo)準(zhǔn)》以“結(jié)構(gòu)化整合”的方式，將“常見的數(shù)量關(guān)系”“式與方程”“正比例”“反比例”“探索規(guī)律”以及“運用四則運算解決問題”等內(nèi)容統(tǒng)整為“數(shù)量關(guān)系主題”。該主題的編排呈現(xiàn)如下兩個顯著特征。

第一，由零散到結(jié)構(gòu)。通過以數(shù)量關(guān)系為主線的結(jié)構(gòu)化重組，將原本零散的教學(xué)內(nèi)容進行整合，并根據(jù)學(xué)生的認知邏輯將其分為三個學(xué)習(xí)階段（如圖1）。第一學(xué)段注重對四則運算意義的學(xué)習(xí)，第二學(xué)段著重建立模型并提煉數(shù)量關(guān)系，第三學(xué)段則著眼于用字母表示關(guān)系或規(guī)律。其中，“建立模型”階段起著關(guān)鍵作用，這一階段既是對前一學(xué)段運算學(xué)習(xí)經(jīng)驗的總結(jié)和概括，也為進一步形成一般化表達和發(fā)展代數(shù)思維奠定了基礎(chǔ)。

圖1 數(shù)量關(guān)系的三個學(xué)習(xí)階段

第二，由內(nèi)隱到外顯。通過結(jié)構(gòu)化的學(xué)習(xí)內(nèi)容安排，原本以隱含形式存在的數(shù)量關(guān)系得以明確呈現(xiàn)，且學(xué)習(xí)過程更加完備。以數(shù)量關(guān)系作為教學(xué)任務(wù)，能更加突出數(shù)學(xué)模型在解決現(xiàn)實問題中的重要性，并與抽象和推理能力相關(guān)聯(lián)，促進學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的全面提升。

（二）常見的數(shù)量關(guān)系是該主題的關(guān)鍵內(nèi)容

如前所述，“常見的數(shù)量關(guān)系”學(xué)習(xí)是對一、二年級積累的運算學(xué)習(xí)經(jīng)驗進行總結(jié)和歸納，同時也是后續(xù)代數(shù)思維形成的基礎(chǔ)，因此在數(shù)量關(guān)系主題學(xué)習(xí)中扮演著承前啟后的關(guān)鍵角色?！墩n程標(biāo)準(zhǔn)》保留了2011 版已有的乘法模型“路程=速度×?xí)r間”“總價=單價×數(shù)量”，并增加了加法模型“總量=分量+分量”。這兩類模型可以通過變式形成減法和除法模型（見表1）。在小學(xué)數(shù)學(xué)中，大多數(shù)問題都可以運用上述三個數(shù)量關(guān)系及其變式或組合進行分析和解決。

表1 常見數(shù)量關(guān)系模型及其變式

加法數(shù)量關(guān)系具有統(tǒng)攝性。原先的“合并型”“移入型”“增加型”等加法模型，以及“剩余型”“比較型”“減少型”等減法模型都被“總量=分量+分量”所包含。此外，加法數(shù)量關(guān)系還具有豐富的內(nèi)涵，例如分量可以是多個，相同的量在不同的情境下可以是分量或總量等。除此之外，原有的乘法模型如“多個相同數(shù)的和”“面積計算”“倍數(shù)”“組合”等，以及除法模型如“平均分”“比率”等，都可以借助四則運算之間的關(guān)系構(gòu)建以加法為核心的整體內(nèi)容結(jié)構(gòu)。這不僅顯著減少了學(xué)生的記憶負擔(dān)，還培養(yǎng)了學(xué)生的結(jié)構(gòu)化數(shù)學(xué)思維，促進了學(xué)生對數(shù)學(xué)簡潔美的體悟。

乘法數(shù)量關(guān)系有兩種模型。這兩種模型的共同點在于等號左邊的變量與等號右邊的變量成比例關(guān)系，但其差異在于“總量=單價×數(shù)量”與物體的個數(shù)有關(guān)，可以看作是一種特殊的加法模型，物體的數(shù)量在本質(zhì)上是一個系數(shù)；而“路程=速度×?xí)r間”與物理量有關(guān)，描述的是三個或多個變量之間的比例關(guān)系。因此，教師在教學(xué)中需要引導(dǎo)學(xué)生體悟乘法模型中量綱的意義，促進學(xué)生對模型內(nèi)涵的理解。

二、數(shù)量關(guān)系的內(nèi)涵及育人價值

（一）數(shù)量關(guān)系的內(nèi)涵

根據(jù)文獻研究，數(shù)量在現(xiàn)實問題中是一種客觀存在，任何事物都具有數(shù)量屬性。這些數(shù)量屬性可以分為廣延量和強度量兩種類型。廣延量是可以直接度量的量，例如長度、高度等；強度量則是無法直接度量的量，如速度、溫度等。數(shù)則是通過度量產(chǎn)生的結(jié)果，是用來描述量的語言工具。數(shù)量之間存在著多種關(guān)系，包括大小關(guān)系、順序關(guān)系、相等關(guān)系、不等關(guān)系、包含關(guān)系等，其中相等關(guān)系和不等關(guān)系是數(shù)量關(guān)系的主要表現(xiàn)形式。小學(xué)階段主要探討相等關(guān)系。

因此，數(shù)量關(guān)系是學(xué)生在頭腦中構(gòu)建的關(guān)于量之間關(guān)系的結(jié)構(gòu)，通過定量運算的方式呈現(xiàn)。數(shù)的運算與數(shù)量關(guān)系密切相關(guān)。如圖2 所示，運算在現(xiàn)實問題中反映了數(shù)量關(guān)系，如加法表示兩個數(shù)量的合并，而運算的結(jié)果以定量的方式實現(xiàn)了問題的解決。在解決問題時，數(shù)量關(guān)系是核心，它是數(shù)學(xué)和現(xiàn)實世界之間的橋梁。

圖2 數(shù)的運算與數(shù)量等之間的關(guān)系

（二）數(shù)量關(guān)系的育人價值

數(shù)量關(guān)系的學(xué)習(xí)使學(xué)生能夠以定量的方式認識和理解世界。它不僅是解決問題的有效方法，更是理性思維的一種體現(xiàn)，有助于學(xué)生深刻認識問題本質(zhì)。

從兒童學(xué)習(xí)的過程來看，數(shù)量關(guān)系學(xué)習(xí)的核心是建構(gòu)模型。在學(xué)生首次建構(gòu)模型的階段，常見的數(shù)量關(guān)系學(xué)習(xí)起到了關(guān)鍵的作用。數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)不應(yīng)僅僅是一個以模型為目標(biāo)的剛性要求，而應(yīng)是一個靈活的過程，要從問題情境中提煉數(shù)學(xué)要素、確定關(guān)鍵元素、發(fā)現(xiàn)關(guān)鍵元素之間的關(guān)聯(lián)，并逐步做出數(shù)學(xué)表達。在這個過程中，數(shù)學(xué)語言是不可或缺的組成部分，而抽象和推理能力的支持也是不可或缺的（如圖3）。

圖3 數(shù)量關(guān)系學(xué)習(xí)過程

因此，常見的數(shù)量關(guān)系教學(xué)可以以一種完整的方式支持兒童數(shù)學(xué)素養(yǎng)的全面提升。在數(shù)量關(guān)系的教學(xué)中，應(yīng)該注重關(guān)系的發(fā)現(xiàn)，在對生活問題的逐層抽象中完成問題的數(shù)學(xué)化，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)眼光；注重的關(guān)系理解，以運算能力和推理意識為底色，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維；注重關(guān)系的應(yīng)用，以數(shù)學(xué)的方式認識和描述真實世界，深化學(xué)生的數(shù)學(xué)語言。

三、用數(shù)量關(guān)系涵養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的實踐路徑

（一）發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系：培養(yǎng)數(shù)學(xué)的眼光

在構(gòu)建加法和乘法的數(shù)量關(guān)系時，應(yīng)該以學(xué)生已有的利用四則運算解決問題的經(jīng)驗為基礎(chǔ)。因此，教學(xué)的第一步可以提供一組有關(guān)聯(lián)但形式不同的情境，以激活學(xué)生的經(jīng)驗。通過這個過程，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)紛繁復(fù)雜的世界中蘊含著內(nèi)在的規(guī)律，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)眼光。在接下來的明確關(guān)系階段，學(xué)生需要嘗試借助符號和圖示來自主表征，運用符號來表示數(shù)量、關(guān)系和一般規(guī)律，從而發(fā)展符號意識。此外，通過幾何直觀的方式來理解問題的本質(zhì)和明確思維路徑，也有助于學(xué)生發(fā)展幾何直觀能力。

1.廣素材供給，達成關(guān)系感知

以加法數(shù)量關(guān)系為例，在教學(xué)的初始階段，教師可以基于學(xué)生的生活現(xiàn)實，結(jié)合參觀天文臺的情境，選擇豐富的數(shù)學(xué)素材來支持教學(xué)（如圖4）。這些數(shù)學(xué)素材涵蓋了不同的加法類型，豐富了學(xué)生對加法數(shù)量關(guān)系的感知，為后續(xù)提取共性和建構(gòu)模型提供了豐富的資源。學(xué)生在自主解決這些問題的過程中，初步發(fā)現(xiàn)了其中的共性，提取了加法數(shù)量關(guān)系的邏輯雛形。這為后續(xù)學(xué)生逐步剝離具體情境，通過對比分析來接近數(shù)學(xué)本質(zhì)提供了經(jīng)驗支持。

圖4 教學(xué)素材

2.關(guān)鍵量突破，促進要素識別

對于乘法數(shù)量關(guān)系，要特別關(guān)注高度抽象的關(guān)鍵概念——速度。速度作為一個強度量，是人為創(chuàng)造的，表達的是路程與時間的比例關(guān)系。在情境中理解速度這一關(guān)鍵概念，有助于學(xué)生識別關(guān)系中的關(guān)鍵要素。

在教學(xué)中，可以以“推薦誰參加短跑比賽”為驅(qū)動性問題，引導(dǎo)學(xué)生通過討論明確“當(dāng)路程一定時，時間短的就是跑得快；當(dāng)時間一定時，路程長的就是跑得快”的結(jié)論，進一步引出速度的概念，讓學(xué)生意識到速度與路程和時間之間的關(guān)系。接著，在展示運動場景“第一位同學(xué)以恒定的速度跑完50 米，耗時10 秒；第二位同學(xué)跑步時開始速度較快，后來速度逐漸減慢，也是用10 秒跑完50 米”后，提出問題：“全程誰的速度快？”通過觀察運動過程，學(xué)生獲得了最直接的“速度感”，速度作為度量工具的價值變得明顯，速度與路程和時間的關(guān)系也更加清晰。

3.多層級抽象，明確關(guān)系內(nèi)核

縱觀發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系的過程，學(xué)生需要抓住共性，且經(jīng)歷三個層次的抽象過程（如圖5）。

圖5

以乘法數(shù)量關(guān)系為例。首先，基于具體情境和乘法學(xué)習(xí)的已有經(jīng)驗，學(xué)生在自主分析和解決問題的過程中形成了對模型的兒童化表征（如圖6-1、6-2）。

圖6-1

其次，基于對數(shù)量關(guān)系式的觀察，學(xué)生在解決問題的過程中提取出多個數(shù)量關(guān)系式（如圖7），并在觀察、交流中分析這類問題的共同之處，獲得“速度”“時間”“路程”及這三個量之間的關(guān)系。

圖7

最后，繪制線段圖（如圖8），利用幾何直觀促進學(xué)生深化理解，明確乘法數(shù)量關(guān)系的內(nèi)核。

圖8

（二）理解數(shù)量關(guān)系：發(fā)展數(shù)學(xué)的思維

學(xué)生是否能夠理解數(shù)量關(guān)系，取決于他們是否能夠在頭腦中通過識別關(guān)聯(lián)量的概念來建立關(guān)系網(wǎng)絡(luò)。教師應(yīng)該鼓勵學(xué)生學(xué)會講道理，進行有條理的思考和表達，這些都是推理意識發(fā)展的重要方面。此外，在將數(shù)量關(guān)系推廣到變式形式和從加法模型推演到其他模型的過程中，要抓住四則運算之間的聯(lián)系，使學(xué)生能夠更好地理解數(shù)量關(guān)系的普遍性，發(fā)展他們的數(shù)學(xué)思維。

1.向內(nèi)求索，打通模型內(nèi)在聯(lián)系

通過向內(nèi)求索，可以深化對數(shù)量關(guān)系各部分之間的理解。例如，對于乘法數(shù)量關(guān)系，可以設(shè)置一個“火車提速”的情境（如圖9）。在這個情境中，學(xué)生能夠感受到隨著時代的變遷，返鄉(xiāng)所需時間縮短，火車速度提升，從而體驗乘法數(shù)量關(guān)系中蘊含的函數(shù)關(guān)系。此外，在真實的場景中，學(xué)生能夠主動運用乘法數(shù)量關(guān)系來分別求解時間和速度，并完成了由“路程=速度×?xí)r間”到“速度=路程÷時間”“時間=路程÷速度”的過程。這進一步打通了模型中各部分之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)。

圖9 “火車提速”的情境

2.逆向推理，溝通模型外部關(guān)聯(lián)

在數(shù)量關(guān)系中，加法是四則運算的基礎(chǔ)，也是構(gòu)建數(shù)學(xué)知識的基石。以加法數(shù)量關(guān)系為根基，可以通過“逆推”的思想進一步延展出減法；抓住乘法數(shù)量關(guān)系，也可以推理出除法。以加法數(shù)量關(guān)系的學(xué)習(xí)為例，學(xué)生通過自主表征逐步理解了加法數(shù)量關(guān)系的內(nèi)涵之后，就可以借助模型直接推導(dǎo)分量和總量之間的關(guān)系。教師可以先通過問題“求總量我們可以用加法，那如果求分量，該怎么辦呢？”引導(dǎo)學(xué)生推理出“分量=總量－分量”；再引導(dǎo)學(xué)生回歸現(xiàn)實素材，將加法問題改編為求分量的兩類減法問題（如圖10-1）；最后，讓學(xué)生嘗試自主舉例（如圖10-2），通過逆向推理進一步拓展模型之外的關(guān)聯(lián)。

圖10-1 教學(xué)素材

（三）應(yīng)用數(shù)量關(guān)系：深化數(shù)學(xué)的語言

在應(yīng)用環(huán)節(jié)中，可以采用多樣的形式來促進學(xué)生對數(shù)量關(guān)系的深入理解。這樣可以讓他們感受到數(shù)量關(guān)系的統(tǒng)攝價值和普適價值，體會數(shù)學(xué)表達的高度凝練和千變?nèi)f化，培養(yǎng)他們主動運用數(shù)量關(guān)系解決問題的意識，進一步提升他們的模型意識和應(yīng)用意識。此外，利用數(shù)量關(guān)系來發(fā)現(xiàn)問題、制訂決策方案、尋求合理的問題解決策略等，也是學(xué)生發(fā)展應(yīng)用意識的關(guān)鍵；通過探索自然現(xiàn)象或現(xiàn)實情境中所蘊含的規(guī)律，完整地經(jīng)歷數(shù)學(xué)的“再發(fā)現(xiàn)”過程，也有助于學(xué)生提高創(chuàng)新意識。

1.感知模型普適性，回望生活場域

在數(shù)量關(guān)系模型初步建立之后，可以通過問題“能舉出一兩個例子來說明今天學(xué)習(xí)的數(shù)量關(guān)系在生活中的應(yīng)用嗎？”引導(dǎo)學(xué)生重新觀察生活，這樣可以激發(fā)學(xué)生重新審視生活中的素材。例如，學(xué)生學(xué)習(xí)了“路程=速度×?xí)r間”之后，可能會想到“在體育比賽中常常會用到路程、速度和時間的概念”或者“跑步應(yīng)用程序中會顯示路程、速度和時間?？梢愿鶕?jù)其中的任意兩個信息求出第三個信息”。通過這樣的思考，學(xué)生可意識到現(xiàn)實生活中有許多問題都與數(shù)學(xué)有關(guān)，可以用數(shù)學(xué)的概念和方法來解釋生活世界。

2.體會應(yīng)用靈活性，再探真實世界

數(shù)量關(guān)系源于現(xiàn)實生活，是對現(xiàn)實生活中存在規(guī)律的高度概括。以乘法數(shù)量關(guān)系的學(xué)習(xí)為例，學(xué)生可以在真實的生活場景中進行“出行規(guī)劃”（如圖11 所示）。學(xué)生可以利用乘法數(shù)量關(guān)系計算出理論上的出發(fā)時間，同時在討論中明確“實際情況中往往需要提前出行，以留出足夠的時間”。通過這樣的探索，學(xué)生能夠清楚地認識到數(shù)學(xué)可以解決生活中的問題，但也需要結(jié)合實際情況做出決策。這樣的教學(xué)可以幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，并培養(yǎng)學(xué)生將數(shù)學(xué)概念應(yīng)用到實際問題解決中的能力。

圖11 學(xué)生的“出行規(guī)劃”

3.激發(fā)思維創(chuàng)造性，解決跨域問題

數(shù)量關(guān)系的學(xué)習(xí)應(yīng)該幫助學(xué)生感受數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間的關(guān)系，通過跨學(xué)科的應(yīng)用激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新能力，培養(yǎng)學(xué)生的理性思維。以乘法數(shù)量關(guān)系為例，“數(shù)讀古詩”（如圖12）可以引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)量關(guān)系的視角去品讀古詩《早發(fā)白帝城》，發(fā)現(xiàn)其中蘊含的數(shù)量關(guān)系，并嘗試提出和解決問題。學(xué)生發(fā)現(xiàn)古詩中的一句“千里江陵一日還”涉及速度、時間和路程的關(guān)系，提出“李白去千里之外的江陵，坐船一天就能到達嗎？”的問題。通過計算，學(xué)生可以求出當(dāng)時的船速，并且提出現(xiàn)代中國漁船的航行速度也只有大約20 千米/小時，所以古代的船速是不可能這么快的。至此，學(xué)生體會到這首古詩中李白運用了夸張的修辭手法，以表達歸心似箭的心情。

圖12 “數(shù)讀古詩”素材

《課程標(biāo)準(zhǔn)》頒布時間不長，如何進一步明確數(shù)量關(guān)系教學(xué)所蘊含的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，如何進一步在核心素養(yǎng)導(dǎo)向下優(yōu)化數(shù)量關(guān)系教學(xué)的路徑，如何進一步在數(shù)量關(guān)系這一與現(xiàn)實生活關(guān)系密切的學(xué)習(xí)內(nèi)容中探索綜合化、跨域性的學(xué)習(xí)方式，都值得探索！