核心素養(yǎng)導(dǎo)向的問(wèn)題變式設(shè)計(jì)*
——以2023年高考新課標(biāo)Ⅰ卷第16題為例

廣東省東莞高級(jí)中學(xué) (523128) 劉心華

一、問(wèn)題提出

問(wèn)題是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的平臺(tái),看過(guò)問(wèn)題三百個(gè),不會(huì)解題也會(huì)問(wèn).《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年修訂版)》要求在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等學(xué)科核心素養(yǎng),教師應(yīng)結(jié)合教學(xué)任務(wù)及其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)創(chuàng)設(shè)合適的情境和問(wèn)題,引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)象、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題,使用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)語(yǔ)言描述問(wèn)題,用數(shù)學(xué)的思想、方法解決問(wèn)題.在問(wèn)題解決的過(guò)程中,理解數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì),促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展.

本文以2023年高考新課標(biāo)Ⅰ卷第16題為例,探求問(wèn)題解法并對(duì)問(wèn)題進(jìn)行變式設(shè)計(jì),讓學(xué)生掌握一類橢圓(雙曲線)焦點(diǎn)三角形問(wèn)題的解答、幾何性質(zhì)及一般解題方法,提升能力,感悟思想,積累經(jīng)驗(yàn),發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

二、試題解答

圖1

評(píng)注：解法1是從條件出發(fā),數(shù)形結(jié)合,把向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為幾何等式,考察焦點(diǎn)△AF1F2與Rt△ABF1的邊角聯(lián)系,借助三角形的正(余)弦定理找到基本量a,b,c的齊次式,從而求解問(wèn)題;解法2將問(wèn)題坐標(biāo)化,把向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)等式,借助雙曲線定義,通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算,找到基本量a,b,c的齊次關(guān)系求解問(wèn)題.

三、變式設(shè)計(jì)

(一)變中求真,把握本質(zhì)

變式1 (2019年全國(guó)Ⅰ卷理10)已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1(-1,0),F2(1,0),過(guò)F2的直線與C交于A,B兩點(diǎn).若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,則C的方程為( ).

圖2

(2)若直線MN在y軸上的截距為2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.

圖3

評(píng)注：以上變式問(wèn)題從雙曲線到橢圓,由向量關(guān)系到長(zhǎng)度關(guān)系,問(wèn)題情境類似,問(wèn)題解答都是從幾何(解三角形)或代數(shù)(坐標(biāo)運(yùn)算)的角度出發(fā),尋求基本量a,b,c的齊次關(guān)系或求解基本量a,b,c.

(二)變中求活,舉一反三

圖4

圖5

評(píng)注：變式3考察橢圓焦點(diǎn)三角形的中線問(wèn)題,變式4考察橢圓焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)問(wèn)題,解答時(shí)不變的是合理地設(shè)而不求、整體代換,變化的是靈活運(yùn)用正余弦定理、三角變換、面積公式、坐標(biāo)運(yùn)算等尋找變量間關(guān)系.

(三)變中求新,觸類旁通

圖6

圖7

(法二)由題意,設(shè)點(diǎn)P(x,y),則

評(píng)注：變式5求解離心率問(wèn)題,審題分析要明確過(guò)點(diǎn)F1的直線與圓相切時(shí),此切線與雙曲線左右兩只的交點(diǎn)情況,問(wèn)題解決需分類討論;變式6問(wèn)題求解要考察等邊△POF2與Rt△F1PF2之間的邊角關(guān)系,轉(zhuǎn)化化歸垂直關(guān)系求解問(wèn)題.

(四)變中求異,融會(huì)貫通

評(píng)注：在求異中突破,在超越中貫通.變式7和變式8雖然不是焦點(diǎn)三角形問(wèn)題,但問(wèn)題解決的方法與思路完全可以遷移應(yīng)用焦點(diǎn)三角形問(wèn)題;變式9焦點(diǎn)三角形角平分線的長(zhǎng)度問(wèn)題,統(tǒng)一整合轉(zhuǎn)化為角度問(wèn)題,借助三角變換求解.

核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的問(wèn)題變式設(shè)計(jì),需要教師深入理解數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng),把學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的養(yǎng)成滲透到日常教學(xué)中,遵循學(xué)生認(rèn)知規(guī)律,優(yōu)化設(shè)計(jì)出合適的問(wèn)題,展示數(shù)學(xué)概念、結(jié)論、應(yīng)用的形成發(fā)展過(guò)程.在教學(xué)實(shí)踐中,需要教師不斷探索和創(chuàng)新教學(xué)方式,不僅重視如何教,更要重視如何學(xué),引導(dǎo)學(xué)生會(huì)學(xué)數(shù)學(xué),積極探索開(kāi)發(fā)出符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律、有助于提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的優(yōu)秀案例.