美國初中數(shù)學(xué)教科書中的中國數(shù)學(xué)史

王 彬，李春蘭，張 濤

美國初中數(shù)學(xué)教科書中的中國數(shù)學(xué)史

王 彬1，2，李春蘭1，張 濤3

（1．內(nèi)蒙古師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010022；2．新惠中學(xué)，內(nèi)蒙古 赤峰 024399；3．內(nèi)蒙古師范大學(xué) 科學(xué)技術(shù)史研究院，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010022）

在研讀分析21世紀(jì)初美國11本初中數(shù)學(xué)教科書的基礎(chǔ)上，從欄目分布、內(nèi)容分布和運(yùn)用方式3個(gè)方面梳理了這些教科書中所融入的中國數(shù)學(xué)史內(nèi)容．發(fā)現(xiàn)美國多本初中數(shù)學(xué)教科書中用精美別致的版面引入了中國數(shù)學(xué)史內(nèi)容，如，勾股定理、負(fù)數(shù)、線性方程組、中國古代數(shù)學(xué)著作中的歷史名題以及七巧板等內(nèi)容．就美國初中數(shù)學(xué)教科書中融入中國數(shù)學(xué)史，得到5點(diǎn)啟示：堅(jiān)持立德樹人，堅(jiān)定對(duì)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的自信；追根溯源，求真求實(shí)；名題變式，以題說法；游戲數(shù)學(xué)，玩中傳知；圖文并茂，不乏趣味性和藝術(shù)性．

中國數(shù)學(xué)史；美國；初中數(shù)學(xué)教科書；歷史名題；七巧板；民族自豪感；文化自信

1 問題提出

英國數(shù)學(xué)家格萊舍（J. W. L. Glaisher，1848—1928）說過：“如果企圖將一門學(xué)科和它的歷史割裂開來的話，我們確信，沒有哪一種學(xué)科會(huì)比數(shù)學(xué)損失的更多．”[1]美國著名數(shù)學(xué)史家克萊因（M. Kline，1908—1992）主張：數(shù)學(xué)教材的編寫者應(yīng)該讀一讀歷史上大科學(xué)家的有關(guān)著作，將教材寫得更人性化一些[2]．老一輩數(shù)學(xué)家余介石強(qiáng)調(diào)：“教師對(duì)于學(xué)理，必須考其在歷史上發(fā)展之跡象，以覘人心認(rèn)知之程序與限度，庶可因時(shí)指宜，善為說理，既不至使初學(xué)難以猝通，亦不至養(yǎng)成其謬見或誤解．歷史之于教學(xué)，不僅在名師大家之遺言軼事，足生后學(xué)高山仰止之思，收聞風(fēng)興起之效．更可指示基本概念之有機(jī)發(fā)展情形，與夫心理及邏輯程序，如何得以融合調(diào)劑，不至相背，反可相成，誠為教師最宜留意體會(huì)之一事也．”[3]國內(nèi)外中小學(xué)數(shù)學(xué)教科書中融入數(shù)學(xué)史內(nèi)容亦由來已久．例如：在美國數(shù)學(xué)教育家、美國數(shù)學(xué)會(huì)和美國數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)的發(fā)起人史密斯（D. E. Smith，1860—1944）編寫的教科書（《解析幾何》，1922年）中介紹了解析幾何的歷史，數(shù)學(xué)家余介石編寫、南京正中書局出版的《建國教科書高級(jí)中學(xué)平面解析幾何學(xué)》（1936年）以該書為藍(lán)本，融入了一定數(shù)學(xué)史內(nèi)容；在段育華編寫、上海商務(wù)印書館出版的《新學(xué)制混合算學(xué)教科書初級(jí)中學(xué)用》第一至第六冊(cè)（1923—1926年）中，共插入數(shù)學(xué)家肖像30幅（其中28位西方數(shù)學(xué)家，2位中國數(shù)學(xué)家），并附載小傳；等等．

從19世紀(jì)末開始，美國數(shù)學(xué)史家和數(shù)學(xué)教育家們對(duì)數(shù)學(xué)歷史的教育功能有頗多的闡述，包括激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、改變學(xué)生的數(shù)學(xué)觀、使數(shù)學(xué)人性化、讓學(xué)生從原始文獻(xiàn)汲取數(shù)學(xué)家的原始思想和社會(huì)文化信息、幫助學(xué)生更好地理解和欣賞數(shù)學(xué)、增強(qiáng)學(xué)生的自信心、通過歷史可以了解學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的困難和認(rèn)知過程等[2]．《美國學(xué)校數(shù)學(xué)教育的原則和標(biāo)準(zhǔn)》中的課程原則強(qiáng)調(diào)，數(shù)學(xué)史知識(shí)可以作為“值得學(xué)生花時(shí)間和精力學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)內(nèi)容”，它有助于“加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)作為一門學(xué)科和作為人類創(chuàng)造活動(dòng)的理解”[4]．在美國學(xué)者如此重視數(shù)學(xué)史的呼聲下，美國初中數(shù)學(xué)教科書中融入了哪些中國數(shù)學(xué)史內(nèi)容？是如何融入的？中華文化源遠(yuǎn)流長，積淀著中華民族最深層的精神追求，代表著中華民族獨(dú)特的精神標(biāo)識(shí)．在整個(gè)數(shù)學(xué)史的海洋中，中國數(shù)學(xué)史占有舉足輕重的地位，中國古代數(shù)學(xué)體現(xiàn)算法化的優(yōu)秀數(shù)學(xué)思想，在如今的數(shù)學(xué)教科書中，中國數(shù)學(xué)史內(nèi)容必不可少．研究者選取2000年至2010年十年間美國初中數(shù)學(xué)教科書，不分版本，共查閱32本美國初中數(shù)學(xué)教科書，發(fā)現(xiàn)其中有11本（見圖1、表1）教科書編有中國數(shù)學(xué)史內(nèi)容．

圖1 美國11本初中數(shù)學(xué)教科書書影

表1 編有中國數(shù)學(xué)史內(nèi)容的11本美國初中數(shù)學(xué)教科書

研究者從欄目分布、內(nèi)容分布和運(yùn)用方式3個(gè)維度對(duì)這11本美國數(shù)學(xué)教科書中的中國數(shù)學(xué)史內(nèi)容進(jìn)行了梳理、比較和分析．研究如下問題：美國數(shù)學(xué)教科書中是如何呈現(xiàn)中國數(shù)學(xué)史內(nèi)容的？具體包含了哪些中國數(shù)學(xué)史內(nèi)容？又是如何運(yùn)用這些內(nèi)容的？對(duì)中國數(shù)學(xué)教科書編寫數(shù)學(xué)史內(nèi)容有何啟示與借鑒？

2 教科書中的中國數(shù)學(xué)史欄目分布

美國初中數(shù)學(xué)教科書的欄目設(shè)置一般有：章頭、引入、探究活動(dòng)、例題、習(xí)題、旁白、閱讀材料等．根據(jù)王建磐等人對(duì)教科書欄目的分類方法[5]，將上述11本教科書欄目分為：非正文、引入、例題、習(xí)題4類，并統(tǒng)計(jì)其中的中國數(shù)學(xué)史內(nèi)容，結(jié)果如表2所示．

表2 美國初中數(shù)學(xué)教科書中中國數(shù)學(xué)史欄目分布與數(shù)量

11本美國初中數(shù)學(xué)教科書中的中國數(shù)學(xué)史內(nèi)容共25處，主要位于非正文、引入及習(xí)題部分，例題部分未查詢到中國數(shù)學(xué)史內(nèi)容，習(xí)題部分的中國數(shù)學(xué)史內(nèi)容為9處，多為中國古代數(shù)學(xué)著作中的歷史名題．其中，19處中國數(shù)學(xué)史內(nèi)容以圖文并茂的方式呈現(xiàn)，6處以文字?jǐn)⑹龅姆绞匠尸F(xiàn)．

3 教科書中的中國數(shù)學(xué)史內(nèi)容分布

基于數(shù)學(xué)史概念，將美國初中數(shù)學(xué)教科書中的中國數(shù)學(xué)史內(nèi)容主要分為數(shù)學(xué)概念的起源與發(fā)展、歷史名題、數(shù)學(xué)游戲3類，具體信息見表3．

3.1 數(shù)學(xué)概念的起源與發(fā)展

教科書，在“勾股定理”一節(jié)中提到，畢達(dá)哥拉斯定理是以生活在公元前6世紀(jì)的希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯的名字命名的．然而，這種關(guān)系在更早的時(shí)候就為人所知了，比如古巴比倫人、古埃及人和中國人．教科書在“勾股定理”一節(jié)中也提到，早在1000年左右，勾股定理就被中國人和古巴比倫人發(fā)明和使用．此書復(fù)習(xí)題第3題[6]介紹了中國最古老的數(shù)學(xué)和天文學(xué)的來源之一——《周髀算經(jīng)》，并展示了著作中的趙爽弦圖，讓學(xué)生根據(jù)趙爽弦圖來了解探究中國人是如何使用和證明的勾股定理，如圖2．

表3 中國數(shù)學(xué)史內(nèi)容分布

圖2 利用趙爽弦圖探究勾股定理

教科書，在“11.4勾股定理”一節(jié)的旁白處設(shè)置了歷史鏈接[7]（History Connection）：“畢達(dá)哥拉斯定理最早的證明來自兩千五百多年前的中國．你可以利用中國證明的圖形來證明2+2=2嗎？”（如圖3）

圖3 歷史鏈接

教科書在“11.3勾股定理”一節(jié)的開頭[8]，介紹了中國古代數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》，并展示了與著作中類似的插圖，圖中包含4個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)正方形（如圖4）．書中設(shè)置了3個(gè)問題，通過重新排列圖形來比較非陰影區(qū)域的面積，以及探究非陰影區(qū)域與三角形邊長的關(guān)系，從而引入勾股定理．

圖4 介紹《周髀算經(jīng)》與勾股定理

勾股定理作為初等幾何中重要的定理之一，它從歷史背景到多種證法都蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)史料，美版教科書不僅用文字?jǐn)⑹隽斯垂啥ɡ碓谥袊陌l(fā)展，還巧妙地設(shè)置問題情境，將趙爽弦圖融入勾股定理的探究活動(dòng)與問題之中，使數(shù)學(xué)史料更貼近學(xué)生的學(xué)習(xí)，拓寬學(xué)生的視野，寓數(shù)學(xué)教育于多元文化之中．《周髀算經(jīng)》中趙爽弦圖體現(xiàn)了中國古代數(shù)學(xué)的特色——面積“出入相補(bǔ)”原理，這種證明方法直觀簡明，也體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法．

教科書在“5.4用矩陣求解方程組”練習(xí)題中的第15題提到：兩千多年前，中國人發(fā)展了列方程矩陣作為求解線性方程的一種方法[7]．對(duì)于線性方程組的研究，中國有著悠久的歷史，《九章算術(shù)》的“方程章”主要講述了一次方程組的解法．

教科書在“2.6分配律”一節(jié)的數(shù)學(xué)與歷史[9]（Math & History）模塊展現(xiàn)了從古至今負(fù)數(shù)的發(fā)展與應(yīng)用．首先介紹了負(fù)數(shù)的歷史：“7世紀(jì)的印度數(shù)學(xué)家婆羅摩笈多（Brahmagupta，598—665）解釋了負(fù)數(shù)的運(yùn)算．直到16世紀(jì)，許多數(shù)學(xué)家仍然認(rèn)為數(shù)值小于零的想法是荒謬的．早在公元前200年，中國就使用了負(fù)數(shù)．”接著提出問題：“從中國人提出負(fù)數(shù)概念到公元628年在印度被發(fā)現(xiàn)，大約相隔了多少年？”并用時(shí)間軸刻畫了負(fù)數(shù)的發(fā)展歷程，如圖5．還繪制出西漢時(shí)期（負(fù)數(shù)最早出現(xiàn)于中國西漢時(shí)期編成的一部數(shù)學(xué)巨著《九章算術(shù)》的“方程章”中）數(shù)學(xué)家與皇帝討論算籌的彩圖，并標(biāo)注：中國人用紅色的算籌表示正數(shù)，用黑色的算籌表示負(fù)數(shù)．美版教科書中精心設(shè)計(jì)的彩圖與文字相互映襯，使閱讀材料“有滋有味”，能夠吸引學(xué)生的閱讀興趣，拉近學(xué)生與數(shù)學(xué)史之間的距離．

圖5 數(shù)學(xué)與歷史模塊

教科書在“1.1尋找模式”[10]一節(jié)中介紹帕斯卡三角形時(shí)，首先在新知引入中介紹：“早在公元1100年，中國和伊斯蘭的數(shù)學(xué)家就開始研究三角形．1653年研究三角形的法國數(shù)學(xué)家布萊斯·帕斯卡（Blaise Pascal）稱其為算術(shù)三角形，為了紀(jì)念帕斯卡，將它稱為帕斯卡三角形．”并在旁白處展示了朱世杰《四元玉鑒》（《四元玉鑒》3卷，元朱世杰撰，成書于1303年，全書共24門，288問，是宋元時(shí)期最重要的數(shù)學(xué)著作之一，中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)水平最高的著作，也是中國數(shù)學(xué)史和世界數(shù)學(xué)史上最早系統(tǒng)論述多元高次方程組解法的寶貴文獻(xiàn)）卷首的第二幅圖：古法七乘方圓圖，配有文字介紹：帕斯卡三角形出現(xiàn)在中國數(shù)學(xué)家朱世杰于1303年寫的《四元玉鑒》中（如圖6）．教科書在拓展資料[7]“帕斯卡三角形”也設(shè)置了古法七乘方圓圖（如圖7），圖片下方介紹：“帕斯卡三角形其實(shí)是朱世杰于1303年在《四元玉鑒》上首次發(fā)表的．”圖7中的插圖來自《四元玉鑒》卷首的第二幅圖[11]：古法七乘方圓（如圖8）．但教科書在引入史料時(shí)，未核實(shí)史料的正確與否，誤用“首次”一詞，認(rèn)為帕斯卡三角形是由朱世杰首次提出的．其實(shí)，朱世杰在《四元玉鑒》中發(fā)表的“古法七乘方圓圖”是北宋賈憲“開方作法本源圖”（即賈憲三角，賈憲三角是開方作法本源圖的今稱，由中國北宋數(shù)學(xué)家賈憲所創(chuàng)．西方的帕斯卡三角形的提出，晚于賈憲三角600年．賈憲三角是一個(gè)指數(shù)為正整數(shù)的二項(xiàng)式定理系數(shù)表）的推廣，由七層推廣到九層（八次冪），又用線條將各個(gè)數(shù)字連結(jié)起來，進(jìn)一步展示出這些數(shù)字之間的規(guī)律：除三角形兩條斜邊都是由數(shù)字1所組成，其它的數(shù)字都等于它肩上的兩個(gè)數(shù)之和．此圖在楊輝《詳解九章算法》“少廣”章中有記載，指明此圖：“出釋鎖算書，賈憲用此術(shù)．”[12]可知賈憲才是這三角形的發(fā)明人．

圖6 介紹《四元玉鑒》

圖7 拓展資料中的古法七乘方圓圖

圖8 古法七乘方圓

美版教科書在講述帕斯卡三角形的時(shí)候，不忘追根溯源，引入數(shù)學(xué)家朱世杰的《四元玉鑒》，此書的數(shù)學(xué)成就已得到國際科技史界的矚目和公認(rèn)，美國科技史家薩頓稱《四元玉鑒》是“中國數(shù)學(xué)著作中最重要的一部，同時(shí)也是整個(gè)中世紀(jì)最杰出的數(shù)學(xué)著作之一”，并稱朱世杰“是他所生存時(shí)代的、同時(shí)也是貫穿古今的一位最杰出的數(shù)學(xué)家”[13]．

3.2 歷史名題

數(shù)學(xué)歷史名題體現(xiàn)和諧之美，是人類文化的瑰寶，中國古代數(shù)學(xué)著作中蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)名題，以實(shí)際應(yīng)用為目的，與生活緊密相連，頗有趣味．

教科書在“2.6用乘法或除法解方程”一節(jié)的習(xí)題39[14]將《九章算術(shù)》中的一道問題進(jìn)行變式，題為：“一只羊、一匹馬和一頭牛誤入農(nóng)夫的麥田，吃了一些禾苗．馬吃的是羊的兩倍，牛吃的是馬的兩倍．農(nóng)夫要求牲畜的主人給他5斗小麥來代替它們吃的東西．羊的主人應(yīng)該給多少小麥？馬的主人呢？牛的主人呢？”緊接著題目下方給出點(diǎn)撥．

a. 設(shè)為羊的主人應(yīng)該給的小麥量（單位為斗）．怎樣用表示馬的主人應(yīng)給的數(shù)量？牛的主人呢？

b. 列一個(gè)方程并解出．到十分之一斗，每個(gè)牲畜的主人需要給多少小麥？

此題選自《九章算術(shù)》第三卷“衰分”，原題為[15]：今有牛、馬、羊食人苗．苗主責(zé)之粟五斗．羊主曰：“我羊食半馬．”馬主曰：“我馬食半牛．”今欲衰償之，問各出幾何？該題考查的是按比例分配，美版教科書巧設(shè)未知數(shù)，列方程來解答此題，但未交代該題出自中國的《九章算術(shù)》．

教科書在“第9章勾股定理”中的習(xí)題22[6]，引用了《九章算術(shù)》勾股章的習(xí)題．書中首先介紹了《九章算術(shù)》是中國古代數(shù)學(xué)教材，共有246道習(xí)題，許多題目使用了勾股定理，即畢達(dá)哥拉斯定理的中文名稱，指出勾股定理為：勾2+股2=弦2．接著敘述了此題：“一根繩子從一木柱的頂端垂下來，有三尺在地上．當(dāng)把繩子拉緊，使它的一端剛好接觸到地面時(shí)，它離木柱的底部有八尺遠(yuǎn)．繩子有多長？”題旁插入了繩子與木柱的圖片，形象地描繪了題目，將題意用圖畫（如圖9）的方式呈現(xiàn)出來，易于學(xué)生的理解．圖旁還使用中文標(biāo)注著《詳解九章算術(shù)》中的解法：木長如股索，余如股弦較；木長如股弦，索斜之如弦．原題為：“今有立木，系索其末，委地三尺．八尺而索盡．問：索長幾何？”美版教科書直接引用中國的歷史名題，插入帶有中國漢字的插圖，為學(xué)生提供了不同文化背景下的題目．

圖9 引用《九章算術(shù)》勾股章中的習(xí)題

《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中最重要的經(jīng)典著作，歷來被尊為算經(jīng)之首．它之于中國和東方數(shù)學(xué)，大體相當(dāng)于《幾何原本》之于希臘和歐洲數(shù)學(xué)．在世界古代數(shù)學(xué)史上，《九章算術(shù)》和《幾何原本》像兩顆璀璨的明珠，東西輝映[16]．《九章算術(shù)》集先秦到西漢的數(shù)學(xué)知識(shí)之大成，全書包含246個(gè)題目，題目由“問”“答”“術(shù)”3部分組成．它具有理論密切聯(lián)系實(shí)際的風(fēng)格，以計(jì)算為中心，奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架，不僅使數(shù)學(xué)成為中國古代最為發(fā)達(dá)的基礎(chǔ)科學(xué)學(xué)科之一，而且深刻影響了此后兩千余年間中國和東方的數(shù)學(xué)發(fā)展．《九章算術(shù)》具有如此重要的地位，這大概也是美國數(shù)學(xué)教科書融入其中名題的主要原因．

教科書在第2章“比例推理與變異”復(fù)習(xí)題的Improving your reasoning skills（提高你的推理能力）版塊中有一道題目[7]：“一位城市官員在監(jiān)測用水情況時(shí)，看到一位婦女在河里洗盤子．他問：‘這里為什么這么多盤子？’她回答道：‘這所房子里有一個(gè)晚宴．’他又問：‘有多少客人出席聚會(huì)？’女人不知道但回答道：‘每兩位客人共用一盤米飯，每3位客人吃一道菜肉湯，每四位客人用一個(gè)盤子吃肉，宴會(huì)上總共用了65個(gè)盤子．’有多少客人參加了晚會(huì)？”此題是著名的“河上蕩杯”問題（蕩杯，即洗碗），教科書中介紹此題來自于中國古代著作《九章算術(shù)》，這是錯(cuò)誤的，此題首先出自成書于公元400年前后的《孫子算經(jīng)》中的第17題，《張邱建算經(jīng)》和吳敬的《九章算法比類大全》中也存在這一題．而美國教科書誤認(rèn)為此題來自《九章算術(shù)》，可能是與《九章算法比類大全》混肴了．

原題是：今有婦人河上蕩桮（杯的繁體字）．津吏問：“桮何以多？”婦人曰：“家有客．”津吏曰：“客幾何？”婦人曰：“二人共飯，三人共羹，四人共肉，凡用桮六十五，不知客幾何？”此題故意將解法的思想過程隱藏起來，使讀者很難領(lǐng)會(huì)解決同類問題的一般原則，從而鍛煉學(xué)生的推理能力．題旁還展示了一幅來自17世紀(jì)中國的卷軸畫《四季風(fēng)景》（如圖10）．除了“河上蕩杯”問題，“雞兔同籠”“物不知數(shù)”等名題也都出自《孫子算經(jīng)》．

圖10 “河上蕩杯”問題

教科書在“17.3用線性組合求解線性系統(tǒng)”一節(jié)的數(shù)學(xué)與歷史模塊[9]介紹了線性方程組的歷史（如圖11）．從古至今，首先介紹了第一個(gè)線性方程組來自中國1247年的《數(shù)書九章》（該書內(nèi)容異常豐富，計(jì)分大衍、天時(shí)、田域、測望、賦役、錢谷、營建、軍旅、市易等9大類），給出書影及書中第八章軍旅類中的“計(jì)造軍衣”習(xí)題，原題是：“問庫有布綿絮三色，計(jì)料欲制軍衣．其布，六人八匹，少一百六十匹，七人九匹，剩五百六十匹．其綿，八人一百五十兩，剩一萬六千五百兩，九人一百七十兩，剩一萬四千四百兩．其絮，四人一十三斤，少六千八百四斤，五人一十四斤，適足．欲知軍士及布綿絮各幾何？”[17]接著用精美的圖片和簡略的文字回顧了從公元前3000年的第一個(gè)算盤，發(fā)展到1879年的收銀機(jī)以及今天的帶有掃描儀的收銀機(jī)，展示了數(shù)學(xué)帶來的科技進(jìn)步．除這本教科書外，教科書，在“7.3用線性組合解線性系統(tǒng)”一節(jié)中也引入了此問題．

圖11 介紹線性方程組的歷史

圖12是教科書“第2章比例推理與變異”的一道復(fù)習(xí)題[7]，摘自《數(shù)書九章》第十二卷凡六問中“米谷粒分”問題，原文是：“問開倉受納，有甲戶米一千五百三十四石到廊，驗(yàn)得米內(nèi)夾谷．乃于樣內(nèi)取米一捻，數(shù)計(jì)二百五十四粒，內(nèi)有谷二十八顆．凡粒米率，每勺三百，今欲知米內(nèi)雜谷多少，以折米數(shù)科責(zé)及粒，各幾何？”[17]中國2015年湖北高考數(shù)學(xué)選擇題也出過此題：糧倉開倉收糧，有人送來米1?534石，驗(yàn)得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒，則這批米內(nèi)夾谷約為多少？

圖12 “米谷粒分”問題

《數(shù)書九章》由南宋數(shù)學(xué)家秦九韶1247年編著完成，此書綜合了前此的算學(xué)精華，并發(fā)揮了他的高度創(chuàng)造性，記載了秦氏的創(chuàng)造和發(fā)明，多譽(yù)之為算中寶典，是祖國至可寶貴的數(shù)學(xué)遺產(chǎn)．美國著名科學(xué)史家薩頓就曾指出：秦九韶是“他那個(gè)民族、他那個(gè)時(shí)代，并且確實(shí)也是所有時(shí)代偉大的數(shù)學(xué)家之一”[17]．

中國古代數(shù)學(xué)體現(xiàn)出算法化的優(yōu)秀數(shù)學(xué)思想，數(shù)學(xué)歷史名題是在數(shù)學(xué)的發(fā)展，生產(chǎn)生活中產(chǎn)生的，具有相應(yīng)的歷史事實(shí)背景，能夠體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法．教科書中融入歷史名題，能夠直接反映當(dāng)時(shí)的社會(huì)生活狀況，也能了解當(dāng)時(shí)人們的數(shù)學(xué)思維水平[18]．解答數(shù)學(xué)歷史名題，有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)文化，也能使枯燥乏味的習(xí)題教學(xué)變得豐富多彩，見識(shí)到不同國家不同民族的文化生活，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣．

3.3 數(shù)學(xué)游戲

七巧板是中國民間流傳的一種拼圖游戲，起源于宋代，后來傳到歐、美、日本等許多國家和地區(qū)，又叫做“七巧圖”“唐圖”“智慧板”“流行的中國拼板游戲”“中國解謎”“東方魔板”等[19]．搜集到的教科書中，有7本美國初中數(shù)學(xué)教科書涉及了中國七巧板的內(nèi)容，具體信息見表4．

表4 美國初中數(shù)學(xué)教科書中的七巧板具體內(nèi)容

由表4可知，中國七巧板多被應(yīng)用于美國初中數(shù)學(xué)教科書的平面幾何部分，如多邊形對(duì)角線數(shù)目的探究、梯形概念的學(xué)習(xí)、正方形面積的推導(dǎo)、勾股定理的探究以及七巧板習(xí)題的變式等．美版教科書給予學(xué)生充分發(fā)揮想象力和創(chuàng)造力的空間，巧妙地利用了七巧板的靈活性、隨意性和可操作性，學(xué)生直接利用七巧板或在紙上裁剪出各個(gè)板塊，親手制作七巧板，將其任意排列拼成不同形狀的圖形，在享受無窮樂趣的同時(shí)又經(jīng)歷新知識(shí)的探究過程，增長學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，提高幾何直觀能力．

研究七巧板的專家們一致認(rèn)為，七巧板源于中國古時(shí)的勾股法，1846年出版的《七巧圖集成》中有這樣的話：“以七尖方，運(yùn)勾股法，不覺三才萬象，悠然而畢會(huì)千心，燦然而具列千目，非天下之至巧，其孰能與千此．”稍后于1861年出版的《七巧八分圖》更直截了當(dāng)?shù)卣f：“七巧圖傳世久矣，源出勾股，意蘊(yùn)精深，端倪層出不窮．”[20]既然七巧板源于勾股，顯然勾股定理的探究中少不了七巧板，能讓學(xué)生在拼圖游戲中探究定理，何樂而不為？

4 教科書中運(yùn)用中國數(shù)學(xué)史的方式

依據(jù)數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)知識(shí)的關(guān)聯(lián)程度，華東師范大學(xué)汪曉勤教授將數(shù)學(xué)教科書運(yùn)用數(shù)學(xué)史的方式分為5種類型：點(diǎn)綴式、附加式、復(fù)制式、順應(yīng)式、重構(gòu)式，具體信息如表5所示[21]．

表5 數(shù)學(xué)教科書運(yùn)用數(shù)學(xué)史的5種方式

由表5及美版教科書中的中國數(shù)學(xué)史內(nèi)容分布的統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)美版教科書中的中國數(shù)學(xué)史運(yùn)用方式多為直接引入，運(yùn)用點(diǎn)綴式融入數(shù)學(xué)史料有2處，運(yùn)用附加式有10處，運(yùn)用復(fù)制式有4處，運(yùn)用順應(yīng)式有9處，如圖13．

圖13 美國初中數(shù)學(xué)教科書中的中國數(shù)學(xué)史的運(yùn)用方式

（1）點(diǎn)綴式．

點(diǎn)綴式運(yùn)用中國數(shù)學(xué)史料主要出現(xiàn)于正文中，為知識(shí)點(diǎn)、習(xí)題等補(bǔ)充背景圖片．如美版教科書中引入《數(shù)書九章》中的一道題目，在題旁插入了《數(shù)書九章》的書影以及古算盤的圖片．點(diǎn)綴式史料主要是反映相關(guān)主題的歷史圖片，起到裝飾的作用．

（2）附加式．

附加式運(yùn)用中國數(shù)學(xué)史料主要出現(xiàn)于引入、閱讀材料、正文敘述內(nèi)容中．如先介紹七巧板的歷史，起源于中國，由5個(gè)等腰直角三角形、一個(gè)正方形和一個(gè)平行四邊形組成，后設(shè)置以七巧板為背景素材的習(xí)題，或引出三角形和四邊形面積公式的推導(dǎo)等探究活動(dòng)．教科書在呈現(xiàn)帕斯卡三角形內(nèi)容介紹了朱世杰《四元玉鑒》中的古法七乘方圓圖．教科書“矩陣與行列式”一節(jié)的“Math: Who, Where, When”欄目中介紹了類似與行列式的分離系數(shù)方法可以追溯到12世紀(jì)的中國數(shù)學(xué)家，中國人研究解決方程組的模式時(shí)，發(fā)現(xiàn)了可以將數(shù)值系數(shù)排列成一個(gè)方陣，類似于計(jì)算器（算盤）上的方陣．教科書設(shè)置數(shù)學(xué)與歷史模塊，介紹了負(fù)數(shù)的發(fā)展歷史．附加式數(shù)學(xué)史料為教科書相關(guān)知識(shí)點(diǎn)介紹了歷史背景，補(bǔ)充了歷史知識(shí)，篇幅簡潔明了，個(gè)別教科書還設(shè)置了精美的插圖，形象生動(dòng)，將數(shù)學(xué)史料躍然紙上，讓學(xué)生身臨其境地經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念的發(fā)展過程．

（3）復(fù)制式．

復(fù)制式運(yùn)用中國數(shù)學(xué)史料主要出現(xiàn)于習(xí)題中，多為直接呈現(xiàn)中國數(shù)學(xué)歷史名題．如直接引入《九章算術(shù)》勾股章的繩子問題、“河上蕩杯”問題、《數(shù)書九章》中的“計(jì)造軍衣”與“米谷粒分”等問題．美版教科書展現(xiàn)了中國古代優(yōu)秀的數(shù)學(xué)文化和思想方法，豐富了歷史名題的現(xiàn)實(shí)意義，讓學(xué)生感受不同文化背景下的優(yōu)秀文化．

（4）順應(yīng)式．

順應(yīng)式運(yùn)用中國數(shù)學(xué)史料主要出現(xiàn)于引入、探究活動(dòng)、拓展題等部分．如教科書在“對(duì)角線和多邊形的角”一節(jié)中利用中國古代的七巧板，引導(dǎo)學(xué)生將任何數(shù)量的板塊排列組合成不同的圖形，進(jìn)而確定不同多邊形對(duì)角線的數(shù)目．教科書在“勾股定理”一節(jié)中引入了中國古代數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中的插圖，通過4個(gè)直角三角形和正方形的組合來探究勾股定理．教科書在“勾股定理”一節(jié)中利用七巧板探究勾股定理（如圖14）．首先，讓學(xué)生在坐標(biāo)紙上畫出七巧板的簡圖，并用給定的字母標(biāo)記每一塊，將這7塊剪下來；其次，在另一張紙上畫出七巧板中的一個(gè)大三角形，并用所有的七巧板在大三角形的直角邊處，以兩直角邊為邊長組成兩個(gè)正方形；最后，將所有的七巧板沿著大三角形的斜邊組成一個(gè)正方形．通過此過程引導(dǎo)學(xué)生觀察拼成的正方形和三角形，探求它們之間的邊長和面積關(guān)系，得到勾股定理．教科書，在“比例與測量系統(tǒng)”的章后拓展題中以七巧板為背景，設(shè)置了一道習(xí)題，求每個(gè)七巧板的面積與整個(gè)正方形的面積之比．順應(yīng)式運(yùn)用中國數(shù)學(xué)史料以中國數(shù)學(xué)歷史為背景，再現(xiàn)古人思想，設(shè)置題目與探究活動(dòng)，起到古為今用，推陳出新，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的作用．

圖14 七巧板

5 結(jié)論與啟示

5.1 結(jié)論

通過對(duì)11本美國初中數(shù)學(xué)教科書中的中國數(shù)學(xué)史內(nèi)容的設(shè)置分析，得出以下結(jié)論．

（1）美國初中數(shù)學(xué)教科書中的中國數(shù)學(xué)史主要設(shè)置于非正文、引入和習(xí)題部分，多以圖文并茂的形式呈現(xiàn)，不僅敘述了中國數(shù)學(xué)史料，而且設(shè)置了精美的插圖，將史料以圖畫的形式展示出來，形象生動(dòng)地與教科書所融合．

（2）美國初中數(shù)學(xué)教科書中的中國數(shù)學(xué)史內(nèi)容展示了中國優(yōu)秀的傳統(tǒng)文化．書中以多樣的形式呈現(xiàn)了勾股定理內(nèi)容涉及的中國數(shù)學(xué)史料，包括文字?jǐn)⑹龉垂啥ɡ碓谥袊臍v史、趙爽弦圖的變式應(yīng)用、《九章算術(shù)》中的歷史名題、《周髀算經(jīng)》中的證明方法等；精美的閱讀材料版塊，從古至今展示了負(fù)數(shù)以及線性方程組的歷史；古著作中的原圖跨越國界，呈現(xiàn)了朱世杰著作中的“帕斯卡三角形”．中國古代數(shù)學(xué)著作中的歷史名題被應(yīng)用到習(xí)題部分，展示了中國優(yōu)秀的古代數(shù)學(xué)思想，如面積“出入相補(bǔ)”原理，將中國古代數(shù)學(xué)代數(shù)化、算法化等與西方公理化相結(jié)合．中國發(fā)明的七巧板在美版教科書中的平面幾何部分靈活應(yīng)用，盡顯奧秘．遺憾的是，部分?jǐn)?shù)學(xué)史料的引入出現(xiàn)了錯(cuò)誤，如誤認(rèn)為“帕斯卡三角形”最早是由朱世杰發(fā)現(xiàn)的，河上蕩杯問題的出處出現(xiàn)了錯(cuò)誤．

（3）美國初中數(shù)學(xué)教科書以點(diǎn)綴式、附加式、復(fù)制式和順應(yīng)式為主，將中國歷史名題、七巧板、古著作等優(yōu)秀文化融入教科書中，為知識(shí)補(bǔ)充歷史材料，為題目增添歷史氣息，為活動(dòng)創(chuàng)設(shè)人文樂趣，重構(gòu)式間接引入數(shù)學(xué)史略顯不足．

5.2 啟示

美國初中數(shù)學(xué)教科書的中國數(shù)學(xué)史內(nèi)容的融入對(duì)中國數(shù)學(xué)教科書的編寫有如下啟示．

（1）堅(jiān)持“立德樹人”，堅(jiān)定對(duì)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的自信．美國教科書中展示了勾股定理、負(fù)數(shù)、線性方程組等內(nèi)容在中國的歷史淵源，融入中國古代數(shù)學(xué)著作中的歷史名題，以多種形式學(xué)習(xí)中國優(yōu)秀的傳統(tǒng)文化．文化是一個(gè)國家、一個(gè)民族的靈魂．中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化是中華民族的獨(dú)特標(biāo)識(shí)和突出優(yōu)勢，中國數(shù)學(xué)教科書中在融入外國數(shù)學(xué)史的同時(shí)，理應(yīng)大力弘揚(yáng)中國優(yōu)秀的數(shù)學(xué)史內(nèi)容，不忘初心，讓優(yōu)秀傳統(tǒng)文化進(jìn)課本、入課堂，在潛移默化中滲透數(shù)學(xué)文化，拓寬學(xué)生的視野，使中華文明得以傳承．

（2）數(shù)學(xué)教科書的編寫應(yīng)追根溯源，求真求實(shí)，注意數(shù)學(xué)史運(yùn)用的正確性．在呈現(xiàn)某一數(shù)學(xué)知識(shí)的歷史背景時(shí)，要尊重歷史，“刨根問底”，展現(xiàn)歷史的本來面目，將歷史背景了解得十分透徹全面，再融入教科書中，尤其對(duì)“首次”要核實(shí)清楚，以免發(fā)生錯(cuò)誤．中國北師大版七年級(jí)下冊(cè)“完全平方公式”一節(jié)的“讀一讀”中介紹了楊輝三角，并給出賈憲的“開方作法本源圖”以及歐洲的帕斯卡三角形；華師大版八年級(jí)上冊(cè)“乘法公式”一節(jié)最后的閱讀材料中介紹了賈憲三角；人教版八年級(jí)上冊(cè)“完全平方公式”一節(jié)的閱讀與思考中也介紹了楊輝三角，但文中僅提到賈憲也用過此方法，并沒有提到賈憲才是發(fā)明人，這一點(diǎn)可能會(huì)讓學(xué)生對(duì)此三角形的真正發(fā)明人產(chǎn)生誤解．

（3）數(shù)學(xué)教科書的編寫應(yīng)名題變式，以題說法．將古代經(jīng)典數(shù)學(xué)著作中的名題適當(dāng)融入中小學(xué)數(shù)學(xué)教科書中，將現(xiàn)代數(shù)學(xué)和古代經(jīng)典數(shù)學(xué)連接起來，有助于學(xué)生了解歷史文化、多元文化背景下進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，學(xué)習(xí)邏輯分析方法．中國北師大版八年級(jí)上冊(cè)將《孫子算經(jīng)》中的雞兔同籠問題單獨(dú)設(shè)一節(jié)，將古算題帶進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)生活．名題的引入也要注意方式，既可采取復(fù)制式直接引入，或者將其變式成符合當(dāng)今時(shí)代背景的習(xí)題，拉近學(xué)生與名題之間的距離，利用名題講解一些古代具有影響力的數(shù)學(xué)思想方法，開拓學(xué)生的視野．也可將數(shù)學(xué)史料以問題的形式融入教學(xué)過程中，寓史料于問題鏈中，潛移默化地向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)史．

（4）數(shù)學(xué)教科書的編寫可以適當(dāng)游戲數(shù)學(xué)，玩中傳知．美版教科書多次應(yīng)用中國古代玩具七巧板，僅憑7個(gè)規(guī)則的板塊，就給游戲者以充分發(fā)揮想象力和創(chuàng)造力的空間，在組合板塊的同時(shí)，鍛煉學(xué)生的空間想象能力和邏輯思維能力，在享受無窮樂趣的同時(shí)鍛煉了智力．中國古典智力游戲3絕：七巧板、九連環(huán)和華容道．它們的背后有著許多有趣的數(shù)學(xué)問題，不管是在教科書的編寫還是教學(xué)過程中，可以適當(dāng)融入數(shù)學(xué)游戲，玩中學(xué)，做中學(xué)，體驗(yàn)過程，獲取新知．

（5）數(shù)學(xué)教科書的編寫應(yīng)圖文并茂，設(shè)計(jì)精美．中國數(shù)學(xué)教科書中一般設(shè)置單獨(dú)的版塊引入數(shù)學(xué)史料．例如：人教版“有理數(shù)的加減法”一節(jié)中設(shè)置“閱讀與思考”，介紹了中國人最先使用負(fù)數(shù)，還插入古代紅色與黑色的算籌表示數(shù)的圖片；北師大版“有理數(shù)”一節(jié)的讀一讀設(shè)置了“負(fù)數(shù)小史”，以文字形式敘述了負(fù)數(shù)的歷史；華師大版“有理數(shù)的加減混合運(yùn)算”一節(jié)中的閱讀材料介紹了中國人最早使用負(fù)數(shù)以及《九章算術(shù)》的歷史和中國古代的“正負(fù)術(shù)”，也是以文字形式進(jìn)行敘述的．中國數(shù)學(xué)教科書以文字形式對(duì)史料進(jìn)行介紹，與美版教科書利用圖文并茂的形式相比少了點(diǎn)趣味和吸引力，缺乏藝術(shù)性與美感．為增強(qiáng)學(xué)生的閱讀興趣，將拓展史料與正文相區(qū)別，應(yīng)適當(dāng)在版面設(shè)計(jì)時(shí)加以修飾，將某一知識(shí)點(diǎn)背后的數(shù)學(xué)史設(shè)計(jì)成精美圖片或卡通圖等樣式，盡量減少純文字的羅列，將數(shù)學(xué)史融入教學(xué)情境或教科書情境中．

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History of Chinese Mathematics in American Middle School Mathematics Textbook

WANG Bin1, 2, LI Chun-lan1, ZHANG Tao3

(1. School of Mathematical Science, Inner Mongolia Normal University, Inner Mongolia Hohhot 010022, China;2. Xinhui Middle School, Inner Mongolia Chifeng 024399, China;3. Institute of History of Science and Technology, Inner Mongolia Normal University, Inner Mongolia Hohhot 010022, China)

On the basis of studying and analyzing 11 American junior middle school mathematics textbooks in the early 21st century, this paper sorts out the contents of Chinese mathematics history integrated into these textbooks from three aspects: column distribution, content distribution and application mode. It is found that many American junior middle schools’ math textbooks introduce Chinese math history content in exquisite and unique layouts, such as the Pythagorean theorem, negative numbers, linear equations, famous questions in ancient Chinese math works and tangram and so on. Regarding the integration of Chinese mathematics history into American junior middle school mathematics textbooks, we get five enlightenments: strengthen confidence in the excellent traditional Chinese culture; trace back to the source and seek truth and reality; change of title and use questions to teach the method; learn math in games; illustrated and beautifully designed, and, it’s fun and artistic.

history of Chinese mathematics; America; middle school mathematics textbook; famous question of mathematics history; tangram; a sense of national pride; cultural self-confidence

G423.3

A

1004–9894（2024）01–0077–08

王彬，李春蘭，張濤．美國初中數(shù)學(xué)教科書中的中國數(shù)學(xué)史[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2024，33（1）：77-84．

2023–09–12

內(nèi)蒙古自治區(qū)哲學(xué)社會(huì)科學(xué)規(guī)劃項(xiàng)目——落實(shí)中小學(xué)數(shù)學(xué)教科書立德樹人任務(wù)研究（2021NDB197）；內(nèi)蒙古自治區(qū)高等學(xué)?？茖W(xué)研究項(xiàng)目（教育廳人文社科重點(diǎn)項(xiàng)目）——中國數(shù)學(xué)科普讀物整理與研究（1912—1952 年）（NJSZ21004）；內(nèi)蒙古自治區(qū)研究生教育創(chuàng)新計(jì)劃資助項(xiàng)目，內(nèi)蒙古師范大學(xué)研究生科研創(chuàng)新基金資助項(xiàng)目——國外數(shù)學(xué)教科書中的中國數(shù)學(xué)史設(shè)置之研究——以美國初中數(shù)學(xué)教科書為例（CXJJS20087）

王彬（1997—），女，內(nèi)蒙古赤峰人，碩士生，主要從事數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育研究．李春蘭為本文通訊作者．

[責(zé)任編校：陳漢君、陳雋]