粒徑計(jì)算方法對(duì)細(xì)觀混凝土數(shù)值建模的影響

朱天宇， 陳忠輝， 張令非， 年庚乾

（中國礦業(yè)大學(xué)（北京） 力學(xué)與建筑工程學(xué)院，北京 100083）

骨料的大小和形狀等形態(tài)特征是影響混凝土強(qiáng)度和變形的重要參數(shù)［1?3］.室內(nèi)試驗(yàn)通常采用具有不同開孔大小的方孔篩測(cè)量骨料尺寸分布［4］，該篩分法測(cè)得的粒徑主要與骨料的中間尺寸軸有關(guān)，且受骨料形狀的影響［5］.

作為室內(nèi)試驗(yàn)的補(bǔ)充，細(xì)觀混凝土數(shù)值分析已成為研究混凝土中骨料力學(xué)特性的常用方法［3，6?7］.細(xì)觀混凝土數(shù)值建模需要確定骨料的粒徑和級(jí)配信息.當(dāng)生成的骨料在粒徑和級(jí)配上越接近真實(shí)混凝土中的骨料時(shí)，數(shù)值分析計(jì)算結(jié)果就越能反映混凝土的力學(xué)性能［8］.因此，有效表征骨料粒徑對(duì)于開展細(xì)觀混凝土數(shù)值研究至關(guān)重要.在三維混凝土數(shù)值建模時(shí)，等體積球（EVS）法常被用來計(jì)算骨料粒徑［9?11］，該方法是將骨料粒徑等效為與骨料具有相同體積的球的直徑［9］.對(duì)于類球狀骨料，這種簡(jiǎn)化計(jì)算方法是可行的；而對(duì)于形狀不規(guī)則的骨料，如扁平狀或細(xì)長狀骨料，若仍采用EVS法計(jì)算骨料粒徑，則可能帶來一定誤差，進(jìn)而影響細(xì)觀骨料的宏觀力學(xué)響應(yīng).為得到與混凝土中真實(shí)粒徑更為相近的骨料，有必要采取更加有效的粒徑計(jì)算方法.

事實(shí)上，實(shí)驗(yàn)室內(nèi)使用方孔篩確定骨料級(jí)配時(shí)，骨料粒徑一般是根據(jù)它剛好通過的篩孔尺寸確定的［12］.換言之，篩孔尺寸衡量的是骨料顆粒的中間軸尺寸，而非平均直徑.Cepuritis等［13］和Ueno等［14］指出，骨料顆粒的中間軸尺寸與標(biāo)準(zhǔn)篩分法估計(jì)的骨料粒徑最為匹配.在數(shù)值建模中，最小包圍盒（MBB）法常被用來確定骨料的三維尺寸［15?18］.最小包圍盒是一個(gè)可以包含被分析對(duì)象且具有“最小”體積的有界包圍盒［17］，其3個(gè)相互垂直的邊分別代表被測(cè)顆粒的三維尺寸.研究證明，最小邊界盒的三維尺寸可以最大程度地表征骨料的真實(shí)三維尺寸［16］.因此，細(xì)觀混凝土數(shù)值建模中，將骨料對(duì)應(yīng)的最小包圍盒的中間軸尺寸定義為骨料的等效直徑似乎是一種更為合理的選擇.與此同時(shí)，在進(jìn)行細(xì)觀混凝土數(shù)值建模時(shí)，大多數(shù)研究只關(guān)注給定級(jí)配段內(nèi)骨料的體積分?jǐn)?shù)是否達(dá)到理論值，而忽略了粒徑計(jì)算方法對(duì)骨料本身尺寸參數(shù)的影響，導(dǎo)致粒徑計(jì)算方法對(duì)細(xì)觀混凝土內(nèi)部結(jié)構(gòu)的影響也被忽視［3，6，19］.

鑒于此，本文首先借助三維激光掃描獲得三維骨料的真實(shí)形態(tài)，基于球諧逆變換法生成大量不同形態(tài)的三維數(shù)字化骨料；其次，采用EVS法和MBB法分別計(jì)算4種形狀類型（球狀、片狀、盤狀和棒狀）骨料的粒徑，分析這2種計(jì)算方法得到的粒徑之間的差異性，建立了能夠預(yù)測(cè)骨料粒徑離散系數(shù)均值和離散度的模型；最后，研究了粒徑計(jì)算方法對(duì)細(xì)觀混凝土內(nèi)部結(jié)構(gòu)的影響.

1 材料與方法

1.1 骨料庫生成

圖1為三維骨料模型生成流程.隨機(jī)選取60塊大小不同、形態(tài)各異的碎石骨料，用水清洗表面后晾干；采用FreeScan UE11高精度三維激光掃描儀掃描上述顆粒，獲得三維骨料模型（圖1（a））.已有研究［20?21］表明，球諧函數(shù)可以構(gòu)建自然界中任意形態(tài)的顆粒，為建立骨料形態(tài)更加多樣化且數(shù)量龐大的骨料庫，本文基于上述三維激光掃描獲得的骨料模型，采用球諧逆變換法生成新的骨料模型［21］.該方法先對(duì)三維骨料的空間坐標(biāo)進(jìn)行球諧表達(dá)，得到骨料顆粒的球諧系數(shù)；再對(duì)骨料的球諧系數(shù)進(jìn)行變異化處理，從而達(dá)到改變骨料形態(tài)的目的.圖1（b）顯示，采用球諧逆變換法生成的新骨料形態(tài)與原骨料存在較大差異，保證了本研究骨料形態(tài)的隨機(jī)性和多樣性.

1.2 骨料粒徑測(cè)量

采用EVS法和MBB法計(jì)算骨料粒徑的示意圖見圖2.采用EVS法計(jì)算骨料粒徑時(shí)，將與骨料具有相同體積的球的直徑R確定為粒徑，記為DEVS.采用MBB法確定骨料粒徑時(shí)，先用Blott等［15］提出的算法求解骨料的最小包圍盒，該算法已在不同文獻(xiàn)中得到驗(yàn)證［16?18］；再確定骨料的最小邊界盒的三維尺寸（長軸尺寸L、中間軸尺寸I和短軸尺寸S，L＞I＞S）后，將最小包圍盒的中間軸尺寸I定義為骨料粒徑，記為DMBB.

圖2 采用EVS法和MBB法計(jì)算骨料粒徑的示意圖Fig.2 Schematic diagram of using EVS method and MBB method to calculate aggregate particle size

2 粒徑計(jì)算方法對(duì)骨料粒徑統(tǒng)計(jì)分析的影響

為研究采用EVS法和MBB法測(cè)量的骨料粒徑之間的相互關(guān)系，隨機(jī)生成10組骨料，每組5 000個(gè).由于骨料粒徑受其形狀類型的影響，因此在粒徑測(cè)量之前，需要對(duì)骨料進(jìn)行分類.根據(jù)表1中Zingg［22］提出的雙參量法，即伸長度（α=I/L）與扁平度（β=S/I），將骨料分為4種形狀類型，如圖3所示.需要說明的是，由于骨料是隨機(jī)生成的，同一組內(nèi)不同形態(tài)骨料的數(shù)量并非均等，本試驗(yàn)每種形態(tài)的骨料數(shù)均超過1 000個(gè)，保證了后續(xù)分析結(jié)果不失一般性.

表1 Zingg 雙變量法分類Table 1 Zingg’s bivariate classification

圖3 4種形狀類型骨料形態(tài)及其分布Fig.3 Morphology and distribution of four shape types of aggregates

2.1 不同形狀類型骨料的2種粒徑之間的關(guān)系

采用EVS法和MBB法分別測(cè)量10組不同形狀類型骨料的粒徑.選取其中1組骨料數(shù)據(jù)繪制粒徑散點(diǎn)圖，并通過線性擬合，初步建立2種粒徑之間的線性關(guān)系，如圖4所示.由圖4可見：對(duì)于球狀、片狀和盤狀骨料，數(shù)據(jù)點(diǎn)位于1∶1線下方的占比分別為65%、72%和98%；棒狀骨料中只有8%的數(shù)據(jù)位于1∶1線下方.這說明相比MBB法，EVS法低估了球狀、片狀和盤狀骨料的粒徑，且低估的骨料數(shù)占比依次增高；EVS法高估了棒狀骨料的粒徑.其他9組骨料也表現(xiàn)出類似趨勢(shì).

圖4 2種粒徑的散點(diǎn)圖Fig.4 Scatter plots of two kinds of particle sizes

為分析同一形狀類型骨料2種粒徑的數(shù)字特征，引入粒徑離散系數(shù)λ，其計(jì)算式為：

研究表明，碎石骨料的形態(tài)特征大多服從正態(tài)分布［23］.4種形狀類型骨料的λ的概率密度分布如圖5所示.通過非線性擬合發(fā)現(xiàn)4種形狀類型骨料的λ均服從正態(tài)分布.λ的概率密度f（λ）計(jì)算式為：

圖5 4種形狀類型骨料的λ的概率密度分布Fig.5 Probability density distribution of λ of four shape types of aggregates

式中：μ為數(shù)學(xué)期望；σ為標(biāo)準(zhǔn)差.

表2給出了10組骨料的λ的數(shù)學(xué)期望均值μˉ和標(biāo)準(zhǔn)差均值σˉ.由表2可見：盤狀、片狀和球狀骨料的μˉ分別為0.836、0.936和0.979，均小于1；棒狀骨料的μˉ為1.143，大于1.這表明EVS法低估了盤狀、片狀和球狀骨料的粒徑，高估了棒狀骨料的粒徑.通過比較EVS法和MBB法計(jì)算骨料粒徑的原理，可以解釋其種粒徑差異性來源——EVS法是基于與顆粒具有相同體積的球的直徑確定顆粒粒徑的，采用其測(cè)量顆粒粒徑時(shí)，只考慮了顆粒體積，而忽略了顆粒形態(tài)，特別是顆粒的三維尺寸；MBB法是通過求解能夠完全包圍顆粒且體積最小的包圍盒來測(cè)量顆粒三維尺寸，進(jìn)而確定其粒徑的，當(dāng)顆粒形態(tài)發(fā)生變化時(shí)，最小包圍盒的三維尺寸也會(huì)隨之變化，顯然更加符合實(shí)驗(yàn)室內(nèi)采用篩分法或游標(biāo)卡尺測(cè)量骨料尺寸的結(jié)果.

表2 λ的數(shù)學(xué)期望均值與標(biāo)準(zhǔn)差均值Table 2 Mean values of mathematical expectation and standard deviation of λ

2.2 等效粒徑關(guān)系預(yù)測(cè)

雖然圖4通過線性擬合初步建立了4種形狀類型骨料的2種粒徑之間的線性關(guān)系，但是并不能反映粒徑的分布情況.為此，本文結(jié)合“3σ”定律［24］，利用λ的數(shù)學(xué)期望μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ建立具有99.7%可靠度的預(yù)測(cè)模型，如式（3）所示.

式中：α為可靠度系數(shù)，取為3.

將表1中的μˉ和σˉ代入式（3）中，得到4種形狀類型骨料的2種粒徑之間的關(guān)系式，如式（4）～（7）所示.

圖6為4種形狀類型骨料的2種粒徑預(yù)測(cè)曲線與實(shí)測(cè)值對(duì)比.由圖6可見，線性擬合確定的λ與正態(tài)分布確定的λ十分接近，兩者相對(duì)誤差在5%以內(nèi).式（4）～（7）建立的預(yù)測(cè)曲線不僅預(yù)測(cè)了不同形狀類型骨料的2種粒徑之比的均值，而且將粒徑散點(diǎn)圖中99%以內(nèi)的數(shù)據(jù)點(diǎn)全部包含在由式（4）～（7）預(yù)測(cè)的上下界線范圍內(nèi)，這是線性擬合所不能及的.因此，式（4）～（7）的預(yù)測(cè)結(jié)果要遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于線性擬合結(jié)果.上述分析充分驗(yàn)證了本文提出的骨料粒徑預(yù)測(cè)模型的合理性和適用性.

圖6 4種形狀類型骨料的2種粒徑預(yù)測(cè)曲線與實(shí)測(cè)值對(duì)比Fig.6 Comparison between predicted curve results and measured values of four shape types of aggregates

2.3 粒徑計(jì)算方法對(duì)骨料粒徑累計(jì)分布的影響

圖7為4種形狀類型骨料的2種粒徑累計(jì)分布曲線.由圖7可見：（1）對(duì)于盤狀和片狀骨料，基于MBB法統(tǒng)計(jì)的骨料粒徑累計(jì)分布曲線整體上低于EVS法統(tǒng)計(jì)的骨料粒徑累計(jì)分布曲線且分布范圍更大.這表明，與MBB法相比，采用EVS法測(cè)量盤狀和片狀骨料粒徑時(shí)，其值會(huì)偏小且粒徑分布范圍更窄；球狀骨料的累計(jì)分布曲線幾乎不受粒徑計(jì)算方法的影響.（2）盤狀、片狀和球狀骨料的2種粒徑累計(jì)分布曲線之間的偏差隨著粒徑的增大而減小，表明采用EVS法測(cè)量上述3種形狀類型骨料時(shí)，粒徑被低估的占比依次減小.（3）對(duì)于棒狀骨料，采用EVS法測(cè)量的骨料粒徑累計(jì)分布曲線整體位于MBB法測(cè)量的骨料粒徑累計(jì)分布曲線下方.這表明，與MBB法相比，采用EVS法得到的棒狀骨料粒徑更大且粒徑分布范圍更寬.這再次驗(yàn)證了2.1的分析結(jié)果，同時(shí)也表明骨料粒徑表現(xiàn)出測(cè)量技術(shù)所定義的特性，當(dāng)粒徑測(cè)量方法不同時(shí)，得到的骨料粒徑累計(jì)分布可能存在一定差異性.

圖7 4種形狀類型骨料的2種粒徑累積分布曲線對(duì)比Fig.7 Comparison of cumulative distribution curves of two particle sizes of four shape types of aggregates

3 粒徑計(jì)算方法對(duì)混凝土細(xì)觀結(jié)構(gòu)的影響

圖8為4種形狀類型單位骨料的體積和表面積.由圖8可見：對(duì)于盤狀、片狀和球狀骨料，按DEVS縮放后得到的骨料體積VEVS和表面積SEVS明顯大于按DMBB縮放后得到的骨料體積VMBB和表面積SMBB；棒狀骨料則表現(xiàn)出相反結(jié)果.在細(xì)觀混凝土數(shù)值建模時(shí)，對(duì)于同一個(gè)骨料，采用2種粒徑計(jì)算方法得到的粒徑有所差異，勢(shì)必影響細(xì)觀混凝土的內(nèi)部結(jié)構(gòu).

圖8 4種形狀類型單位骨料的體積和表面積Fig.8 Volume and surface area of four shape types of unit aggregate

為研究不同粒徑計(jì)算方法對(duì)細(xì)觀混凝土內(nèi)部結(jié)構(gòu)的影響，基于1.1中的方法，生成4種形狀類型的骨料庫，每種形狀類型骨料個(gè)數(shù)為3 000個(gè).對(duì)同一形狀類型的骨料，分別采用MBB法和EVS法計(jì)算其粒徑，并按粒徑對(duì)其進(jìn)行縮放，得到粒徑為1的單位骨料，并存入骨料庫備用.“點(diǎn)陣法”骨料投放算法被用于生成混凝土細(xì)觀結(jié)構(gòu)，該方法將待投放域離散化為空間中有序排列的點(diǎn)陣，將三維空間中骨料間復(fù)雜的侵入判斷問題轉(zhuǎn)化為對(duì)待投骨料中點(diǎn)狀態(tài)的判斷，顯著提高了骨料投放效率［19］.級(jí)配曲線采用富勒級(jí)配曲線，骨料級(jí)配為4.75、9.5、16、19 mm，模型尺寸為100 mm×100 mm×100 mm.為保證統(tǒng)計(jì)結(jié)果的可靠性，每組設(shè)置10個(gè)平行樣本.通過比較基于同一類型不同類別骨料庫生成的混凝土模型中骨料的體積及骨料數(shù)的差異性，間接分析不同粒徑計(jì)算方法對(duì)細(xì)觀混凝土內(nèi)部結(jié)構(gòu)的影響.

3.1 粒徑計(jì)算方法對(duì)骨料數(shù)量的影響

圖9為基于2種粒徑計(jì)算方法生成的細(xì)觀混凝土模型中的骨料數(shù)量.由圖9可見：隨著骨料體積分?jǐn)?shù)的增大，4種混凝土模型中骨料數(shù)均呈線性增加趨勢(shì).其中球狀骨料混凝土模型中骨料數(shù)量幾乎不受粒徑計(jì)算方法的影響；片狀骨料混凝土模型中，基于MBB法生成的骨料數(shù)量略微大于基于EVS法生成的骨料數(shù)；盤狀和棒狀骨料混凝土模型中，粒徑計(jì)算方法對(duì)細(xì)觀混凝土模型中骨料數(shù)量有顯著影響——對(duì)于盤狀骨料混凝土模型，基于MBB法生成的骨料數(shù)量約為基于EVS法的1.85倍；對(duì)于棒狀骨料混凝土模型，基于MBB法生成的骨料數(shù)量約為基于EVS法的0.62.上述結(jié)果表明，粒徑計(jì)算方法顯著影響細(xì)觀混凝土中的骨料數(shù)量，且該影響因骨料形狀類型而呈現(xiàn)顯著的差異性.

圖9 基于2種粒徑計(jì)算方法生成的細(xì)觀混凝土模型中的骨料數(shù)量Fig.9 Aggregate number in meso?concrete model generated based on two particle size calculation methods

3.2 粒徑計(jì)算方法對(duì)骨料體積的影響

圖10為骨料體積分?jǐn)?shù)為40%的細(xì)觀混凝土模型中骨料體積累計(jì)分布.由圖10可見：（1）4種細(xì)觀混凝土模型中骨料體積累計(jì)分布曲線均呈現(xiàn)先快速增加后緩慢上升的變化趨勢(shì)，累計(jì)分布曲線在累計(jì)分布為0.82處出現(xiàn)拐點(diǎn).（2）片狀和球狀骨料的體積累計(jì)分布曲線幾乎不受粒徑計(jì)算方法的影響；盤狀骨料的累計(jì)分布曲線拐點(diǎn)對(duì)應(yīng)的骨料體積分別為486、292 mm3，前者約為后者的1.66倍，表明在盤狀骨料混凝土模型中，基于MBB法生成的單個(gè)骨料的體積明顯大于基于EVS法生成的單個(gè)骨料的體積；棒狀骨料的累計(jì)分布曲線拐點(diǎn)對(duì)應(yīng)的骨料體積分別為465、872 mm3，后者約為前者的1.87倍，表明在棒狀骨料混凝土模型中，基于MBB法生成的單個(gè)骨料的體積明顯小于基于EVS法生成的單個(gè)骨料的體積.

圖10 細(xì)觀混凝土模型中骨料體積累計(jì)分布（骨料體積分?jǐn)?shù)為40%）Fig.10 Cumulative distribution of aggregate volume in meso?concrete model（aggregate volume fraction is 40%）

結(jié)合圖9、10可以發(fā)現(xiàn)，粒徑計(jì)算方法顯著影響細(xì)觀混凝土的內(nèi)部結(jié)構(gòu).對(duì)于片狀和球狀骨料，粒徑計(jì)算方法對(duì)混凝土內(nèi)部結(jié)構(gòu)的影響幾乎可以忽略不計(jì).對(duì)于盤狀和棒狀骨料，粒徑計(jì)算方法對(duì)混凝土內(nèi)部結(jié)構(gòu)的影響較為顯著，并且相比MBB法，采用EVS法生成的盤狀骨料數(shù)量更少、體積更大；棒狀骨料則與之相反.事實(shí)上，由于采用MBB法計(jì)算骨料粒徑時(shí)可以更好地模擬室內(nèi)試驗(yàn)采用篩分法確定的骨料粒徑，因此，基于MBB法生成的混凝土模型可以更為真實(shí)地反映混凝土的細(xì)觀結(jié)構(gòu).

上述研究表明，粒徑計(jì)算方法對(duì)細(xì)觀混凝土中骨料的數(shù)量和體積均有顯著影響.細(xì)觀混凝土內(nèi)部結(jié)構(gòu)的差異性勢(shì)必進(jìn)一步影響混凝土的宏觀力學(xué)性能.一方面，當(dāng)骨料體積分?jǐn)?shù)一定時(shí)，骨料數(shù)量越多意味著模型中存在更高體積分?jǐn)?shù)的界面過渡區(qū)，界面過渡區(qū)是混凝土中的弱相，體積分?jǐn)?shù)越大，對(duì)混凝土力學(xué)性能的降低效應(yīng)越明顯［2］；另一方面，當(dāng)混凝土發(fā)生破壞時(shí)，骨料數(shù)量多會(huì)導(dǎo)致斷裂路徑更加曲折［25］.因此在進(jìn)行細(xì)觀混凝土數(shù)值建模時(shí)，必須要充分考慮骨料粒徑計(jì)算方法對(duì)其內(nèi)部結(jié)構(gòu)的影響.

4 結(jié)論

（1）因骨料粒徑計(jì)算方法不同，不同形狀類型骨料的2種粒徑表現(xiàn)出明顯的差異性.相比最小包圍盒（MBB）法，采用等體積球（EVS）法低估了球狀、片狀和盤狀骨料的粒徑，粒徑被低估的占比分別為65%、72%和98%；采用EVS法高估了棒狀骨料的粒徑，粒徑被高估的占比為92%.

（2）4種形狀類型骨料的2種粒徑的粒徑離散系數(shù)（λ）均服從正態(tài)分布.相比傳統(tǒng)的線性擬合法，本文預(yù)測(cè)模型可以更好地預(yù)測(cè)不同形狀類型骨料的2種粒徑的λ的均值及離散度.

（3）與MBB法相比，采用EVS法測(cè)量球狀、片狀和盤狀骨料時(shí)，通常得到的粒徑更小且分布更窄；對(duì)于棒狀骨料，采用EVS法得到的粒徑更大且分布更寬.

（4）粒徑計(jì)算方法對(duì)細(xì)觀混凝土內(nèi)部結(jié)構(gòu)的影響因骨料形狀不同表現(xiàn)出一定差異性.對(duì)于球狀和片狀骨料，粒徑計(jì)算方法對(duì)混凝土內(nèi)部結(jié)構(gòu)的影響幾乎可以忽略不計(jì).對(duì)于盤狀骨料，相比MBB法，采用EVS法生成的骨料數(shù)量更多、體積更??；棒狀骨料則表現(xiàn)出相反趨勢(shì).