基于改進Crazy Climber算法的小波脊線提取

趙麗潔, 李雯雯, 劉 瑾, 晉東麗

(1. 天津農(nóng)學院 水利工程學院, 天津 300072; 2. 河北工程大學 土木工程學院, 河北 邯鄲 056038; 3. 天津大學 建筑工程學院, 天津300072)

近年來土木工程領(lǐng)域高速發(fā)展,工程結(jié)構(gòu)越來越復(fù)雜,為保證結(jié)構(gòu)安全性,進行結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測十分必要.在結(jié)構(gòu)健康領(lǐng)域,結(jié)構(gòu)參數(shù)是反應(yīng)結(jié)構(gòu)性能的重要表述,而模態(tài)參數(shù)是結(jié)構(gòu)參數(shù)中非常重要的參數(shù)之一,模態(tài)參數(shù)識別在土木工程領(lǐng)域一直是眾多學者的研究熱點.基于小波理論的參數(shù)識別應(yīng)用廣泛[1-5],其關(guān)鍵在于準確且快速的提取小波脊線.脊線提取方法分為單分量和多分量信號脊線提取兩大類.由于小波脊線上包含相位與模值信息,所以發(fā)展出模極大值提取方法、相位法以及將二者結(jié)合的方法等.對于多分量信號脊線提取方法,較為簡單的時頻脊提取算法是峰值檢測法[6].劉景良等[7]提出最大坡度法來實現(xiàn)瞬時頻率的跟蹤識別.王建華等[8]提出價值函數(shù)與動態(tài)規(guī)劃思想結(jié)合,提取脊線精度優(yōu)于模極大值法.張杰等[9]等基于加速度響應(yīng)信號進行數(shù)據(jù)分解,提出結(jié)合自適應(yīng)濾波提取同步壓縮時頻脊的方法來實現(xiàn)系統(tǒng)參數(shù)識別.此外,瘋爬算法(Crazy Climber)也是一種比較廣泛的小波脊線提取方法.Carmona等[10]首次提出Crazy Climber算法并用于多分量信號的脊線提取,較局部模極大值算法提取脊線精度更高.傳統(tǒng)Crazy Climber算法引入模擬退火的思想,系統(tǒng)設(shè)定初始溫度參數(shù),隨著溫度逐漸降低,設(shè)定的Climber運動趨勢越穩(wěn)定,最后移動的點逐漸穩(wěn)定聚集在脊線所在位置.溫度下降越快,系統(tǒng)收斂越快,迭代次數(shù)越少,并很快得到廣泛工程應(yīng)用[11-12].

隨著對Crazy Climber算法的深入研究,Xu等[13]發(fā)現(xiàn)采用退火冷卻的溫度函數(shù)容易導致算法無限增加迭代次數(shù),溫度下降速度過慢、運算時間過長,且受噪聲影響,提取出來的脊線不平滑,工程應(yīng)用受限.近幾年,國內(nèi)學者對Crazy Climber算法進行多方面的改進并實踐應(yīng)用.孫浩[14]限制提取到的脊線長度來剔除噪聲引起的短小的“假”脊線,通過多方面的改進使識別小波脊結(jié)果更加準確.林炎等[15]采用淬火冷卻替代退火冷卻提高運算速度,提出一種新的溫度函數(shù).除此之外,在熱處理工藝中,正火冷卻同樣可以快速降低系統(tǒng)溫度.正火冷卻算法以改變系統(tǒng)溫度降低方式,溫度可較快的降低到設(shè)定溫度,從而影響隨機點的迭代次數(shù),促使每一個隨機點高速聚集在脊線上,消減運算時間.正火冷卻算法設(shè)定系統(tǒng)溫度函數(shù)為T(t)=(T(0))/t,新的溫度函數(shù)在迭代的最開始階段保持著很高的復(fù)活概率,隨著時間的延長,系統(tǒng)溫度劇烈下降,很快收斂,節(jié)約運算時間.

綜上所述,本文從小波脊線相關(guān)理論以及連續(xù)小波變換定義入手,針對傳統(tǒng)Crazy Climber算法模擬退火算法計算時間過長的缺點,對Crazy Climber算法進行改進,提出采用模擬正火冷卻算法跟蹤提取時頻平面中的小波脊點.通過一個自由衰減信號數(shù)值算例和一個二自由度粘性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)模擬對本文中改進Crazy Climber算法進行驗證.通過框架模型試驗,驗證改進算法的正確性.

1 連續(xù)小波變換與小波脊線

(1)

時,稱ψ(t)為母小波.將ψ(t)進行頻率范圍的變換得到一個小波序列:

(2)

式中:a、b分別為尺度、平移參數(shù).

基于母小波ψ(t)的連續(xù)小波變換信號x(t)可定義為[16]

(3)

本文采用復(fù)Morlet小波作為母小波進行分析,其定義為

(4)

式中:fc為小波中心頻率.

通過理論分析可知,針對每一時刻b,都有使小波變換WTx(a,b)的模取得最大值的對應(yīng)尺度ar(b),即ar(b)是平移尺度b的函數(shù),(ar(b),b)即為小波脊點,這些尺度的曲線擬合{ar(b),b}即稱為小波脊線.而信號x(b)的瞬時頻率φ′x(b)可由下式得到:

(5)

式中:ω0為小波基的中心頻率.因此,瞬時頻率能否識別準確與小波脊線的提取精度有著密切的關(guān)系,對模態(tài)參數(shù)識別小波脊線的提取至關(guān)重要.

2 改進Crazy Climber算法脊線提取

Crazy Climber算法的基本思想類似于模擬退火算法,對振動信號作連續(xù)小波變換后得到時頻矩陣,在時頻平面上隨機地分布一些點(climber),令其在一定的規(guī)則下,以搜索極大值點為目標進行攀爬.設(shè)定一個初始溫度,溫度按規(guī)律逐漸降低,使各個脊點逐漸匯聚到一起,形成脊線.具體步驟如下:

將振動響應(yīng)信號經(jīng)過連續(xù)小波變換后的信號時頻矩陣作為提取脊線的原始矩陣C,其大小為A×B,將A設(shè)為水平方向,B設(shè)為垂直方向,記在(i,j)(i∈[1,2,…,A],j∈[1,2,…,B])位置處的值為C(i,j).其中,C(i,j)為小波變換系數(shù),i為表示時間離散點,j為小波頻率離散點.

2.1 初始化

初始化一個度量矩陣D,并將其設(shè)為零矩陣;設(shè)置系統(tǒng)初始溫度T(0),T(0)設(shè)為原始矩陣中最大值與最小值的差值.

在矩陣C={1,2,…,A}×{1,2,…,B}上存在N個爬升起始點,即為climber,climber的數(shù)量為N個,均勻分布在平面C上.

2.2 爬升規(guī)則

Climber在初始時刻時(t=0)的初始位置Xn(0)=(i,j),n∈[1,2,…,N].使climber按照以下規(guī)則進行爬升移動,從第t時刻的Xn(t)=(i,j)位置移動到第t+1時刻的Xn(t+1)=(i′,j′)位置.

1) 水平方向上.分為兩種情況,當climber不在邊界上時,即0

2) 垂直方向上.在時間軸移動完成之后再在頻率軸移動,該軸的移動規(guī)則分為是否移動兩種情況.第一種情況,climber移動,與水平方向相同,climber按1/2的概率向上或者向下移動一格,即P{j′=j+1}=P{j′=j-1}=0.5.第二種情況,climber可以按一定規(guī)律選擇移動或者不移動,其移動能力隨時間的推移逐漸減弱,溫度的降低使climber逐漸失去移動的活力.比較C(i′,j′)和C(i′,j)大小,決定是否移動.若C(i′,j′)>C(i′,j),climber垂直移動,即Xn(t+1)=(i′,j′);若C(i′,j′)≤C(i′,j),climber以概率Pt按照原計劃移動,以(1-Pt)的概率不進行垂直方向上的移動,同時對系統(tǒng)當前溫度T(t)進行更新.其中規(guī)定:

Pt=exp[C(i′,j′)-C(i′,j)]/[T(t)]

(6)

3) 重復(fù)1)、2)爬升過程,直到溫度達到預(yù)期完成系統(tǒng)迭代,所有點都聚集在脊線上.圖1為本文算法流程圖.

圖1 流程圖

2.3 系統(tǒng)迭代結(jié)束條件

模擬退火冷卻思想的溫度變化設(shè)定為:T(t)=T(0)/log2t.在冷卻方法中,包括正火、退火以及淬火冷卻等,因冷卻規(guī)則不同以至于冷卻速率不同,退火冷卻為T(t)=T(0)/log2t,淬火冷卻為T(t)=T(0)/(1+σ)t,正火冷卻為T(t)=T(0)/t.式中:T(t)為當前系統(tǒng)溫度;T(0)為初始溫度.

圖2為三種冷卻方式溫度降低速率曲線,假定初始溫度T(0)設(shè)置為1 400,時間間隔為10 s.

圖2 三種冷卻方法速率比較Fig.2 Comparison of three cooling method rates

由圖2可知,使用正火冷卻方法的溫度降低速率明顯快于另外兩種冷卻方法,可以快速達到預(yù)想溫度減少系統(tǒng)迭代次數(shù)以完成脊線提取.雖然退火算法在前10 s溫度降低極快,但是到達一定溫度后,溫度變化十分緩慢,達到理想溫度耗時時間較長,不利于實際工程應(yīng)用.因此本文采用正火冷卻的思想代替退火冷卻思想對系統(tǒng)溫度進行降溫,基于正火冷卻思想的改進Crazy Climber算法來控制迭代次數(shù).

3 數(shù)值模擬

3.1 指數(shù)衰減信號

為驗證改進 Crazy Climber 算法對小波連續(xù)變換脊線提取的優(yōu)越性,構(gòu)造幅值為5,頻率為50 Hz,衰減系數(shù)為10的指數(shù)衰減正弦仿真信號:

s=e-10t·5sin(100πt)

(7)

采樣時間0≤t≤1 s,采樣頻率為1 024 Hz.選擇cmor4-4為母小波進行連續(xù)小波變換.圖3為指數(shù)衰減信號s(t)的時域波形與小波變換時頻圖,其中時頻圖反應(yīng)了小波變換系數(shù)能量的分布情況,亮度較高區(qū)域表示能量較高.圖4a為采用復(fù)Morlet小波與Crazy Climber算法所得脊點的連線,由圖4a、b可知,信號s(t)的頻率在50 Hz附近,與式(7)仿真信號中頻率分量50相對應(yīng),驗證了Crazy Climber算法的正確性.圖4b為淬火冷卻規(guī)則下所得脊點的連線,圖4c為采用改進Crazy Climber算法提取到的脊線,可以看出三種冷卻方法下的小波脊提取精度結(jié)果基本相同;再通過比較三者的迭代次數(shù)及運算時間來驗證改進Crazy Climber算法的有效性,表1為三種不同算法提取脊線運算次數(shù)及所需時間.

表1 各冷卻方法提取脊線運算次數(shù)及時間

圖3 衰減信號時域圖和時頻圖Fig.3 Attenuated signal time domain and frequency diagram

圖4 冷卻算法提取的脊線Fig.4 Ridge line extracted by annealing cooling algorithm

由圖4c和表1可知,通過模擬正火冷卻方式減少迭代次數(shù)、減少脊線提取所需時間,且沒有降低脊線提取的精度,說明本文方法運算速度明顯優(yōu)于基于退火冷卻思想的傳統(tǒng)Crazy Climber算法.

大多數(shù)振動信號受噪聲影響,為驗證改進算法在噪聲干擾情況下依然可以準確、快速地提取小波脊,本文在衰減信號s=e-10t·5sin(100πt)中加入SNR=6 dB的高斯白噪聲進行數(shù)值模擬,限于文章篇幅只討論該信噪比水平的影響.以復(fù)Morlet小波為母小波作連續(xù)小波變換所得的時頻矩陣,存在噪聲的時頻曲線的分布.圖5為傳統(tǒng)Crazy Climber算法、改進Crazy Climber算法、淬火冷卻下提取得到脊線結(jié)果,表2為三種算法運算次數(shù)和時間的比較.

表2 加噪后各冷卻方法提取脊線運算次數(shù)及時間

圖5 加噪后冷卻算法提取的脊線Fig.5 Ridge line extracted by cooling algorithm after add noise

基于正火冷卻的改進Crazy Climber算法提取的脊線結(jié)果以及系統(tǒng)運算次數(shù)、運算時間比較,可以看出與基于退火冷卻的傳統(tǒng)Crazy Climber算法相差不大的情況下,正火冷卻的改進Crazy Climber算法所消耗時間相比于傳統(tǒng)算法明顯的縮減了上千倍甚至上萬倍,驗證了改進算法在加噪聲后在提取脊線效率仍然存在很大優(yōu)勢.

3.2 兩自由度系統(tǒng)仿真

為驗證本文采用的脊線提取算法運算速度,將兩自由度粘性系統(tǒng)進行仿真驗證.圖6為兩自由度系統(tǒng),m1=1 kg,m2=2 kg,k1=k3=2 256 N/m,k2=2 000 N/m,c1=c3=1 N·s/m,c2=0.11 N·s/m,施加一脈沖激勵作為輸入,fs=100 Hz,采樣時間t=20 s,系統(tǒng)前兩階頻率分別為3.5、11.3 Hz.

圖6 二自由度振動系統(tǒng)

以質(zhì)量塊m1為研究對象,圖7為復(fù)Morlet小波變換時間頻率圖,圖8為該結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的加速度振動響應(yīng)信號,圖9分別為傳統(tǒng)Crazy Climber算法、淬火冷卻及改進Crazy Climber算法提取的小波脊線,比較本文算法與原始算法運算所需時間,驗證改進算法的有效性.表3為在三種不同冷卻規(guī)則下提取脊線所需迭代次數(shù).

表3 兩自由度系統(tǒng)各冷卻方法提取脊線運算次數(shù)及時間

圖7 含噪聲時頻圖

圖8 系統(tǒng)加速度振動響應(yīng)

圖9 退火冷卻算法提取的脊線Fig.9 Ridge line extracted by annealing cooling algorithm

由表3可知,對于多自由度體系振動響應(yīng)的脊線識別,在含有噪聲時,基本不改變脊線精度的前提下,正火冷卻算法效率所需時間明顯優(yōu)于淬火冷卻和退火冷卻,驗證了本文算法較傳統(tǒng)CrazyClimber算法效率提高.運用在實際工程中會需要更長時間,改進算法與原始算法精度上相差細微,效率卻提高很大一步,更具實用價值.

4 試驗驗證

為驗證改進CrazyClimber算法的有效性和準確性,設(shè)計3層剪切框架模型振動臺驗證性試驗.在模型框架每層布置加速度傳感器,通過振動臺施加白噪聲激勵,采樣頻率設(shè)為512Hz,完整的試驗裝置圖如圖10所示.在振動過程中,通過在某一時刻割斷框架附加柱來模擬框架模型的損傷破壞.

圖10 框架模型試驗裝置

試驗考慮振動過程中割斷第二層附加鋼柱的工況進行驗證.圖11為采集的頂層原始加速度數(shù)據(jù)以及頻譜圖.以復(fù)Morlet小波變換為母函數(shù),對采集頂層的加速度數(shù)據(jù)進行連續(xù)小波變換,圖12為未去噪的小波時頻圖.由頻譜圖和小波時頻圖可知,在附加柱割斷前的前兩階頻率分別為2.03、4.98Hz,在100s左右突然割斷二層附加鋼柱,頻率變化為1.98、4.7Hz,并且框架模型剛度變小之后的第三階頻率6.98Hz也被激出.根據(jù)改進CrazyClimber算法提取小波瞬時頻率脊線,如圖13所示.表明改進CrazyClimber算法提取瞬時頻率的準確性相對較高,驗證了該方法的準確性.

圖11 原始加速度數(shù)據(jù)及其頻譜圖

圖12 時頻圖Fig.12 Time-frequency diagram

圖13 改進Crazy Climber算法提取脊線Fig.13 Improved ridge line extracted by Crazy Climber algorithm

5 結(jié)語

1) 傳統(tǒng)Crazy Climber算法可以較準確提取多分量信號的小波脊線,但較費時,不利于實際應(yīng)用.本文在Crazy Climber算法基礎(chǔ)上,改變溫度冷卻方式使脊點更快聚集在脊線上,提出基于正火冷卻的改進CrazyClimber算法.通過單自由度及多自由度的數(shù)值模擬驗證本文所提算法,仿真結(jié)果表明本文算法比原始算法運算次數(shù)大大減少,在不用影響頻率脊線提取精度的前提下,大大節(jié)約提取過程所需時間,更有利于復(fù)雜數(shù)據(jù)的脊線提取應(yīng)用.

2) 采用小波系數(shù)幅值最大值與最小值的差值作為系統(tǒng)初始化溫度,溫度T的初始值設(shè)置仍然是影響模擬正火冷卻全局搜索性能的重要因素之一,目前還沒有找到一個最優(yōu)溫度初值的選擇原則,后續(xù)將繼續(xù)深入探討.