有關(guān)奇虧完全數(shù)的一些刻畫

2024-03-05 14:26:08張四保

蘭州理工大學(xué)學(xué)報(bào) 2024年1期

張四保

(1. 喀什大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 新疆喀什 844000; 2. 喀什大學(xué) 現(xiàn)代數(shù)學(xué)及其應(yīng)用研究中心, 新疆喀什 844000)

對(duì)于正整數(shù)n,令函數(shù)σ(n)表示n的所有正因數(shù)的和函數(shù).在數(shù)論中,存在與函數(shù)σ(n)相關(guān)的眾多問(wèn)題.若一個(gè)正整數(shù)n滿足σ(n)=2n,則n被稱之為完全數(shù).到目前為止僅發(fā)現(xiàn)51個(gè)偶完全數(shù),而尚未發(fā)現(xiàn)奇完全數(shù).奇完全數(shù)的存在性是數(shù)論中長(zhǎng)期未能解決的著名難題[1].有關(guān)奇完全數(shù)的最新研究可見(jiàn)文獻(xiàn)[2-4].若一個(gè)正整數(shù)n滿足σ(n)=2n+d,則n被稱之為盈度為d的盈完全數(shù);若一個(gè)正整數(shù)n滿足σ(n)=2n-d,則n被稱之為虧度為d的虧完全數(shù),這里的d都是正整數(shù)n的真因數(shù).盈度為d的盈完全數(shù)與虧度為d的虧完全數(shù)備受數(shù)論愛(ài)好者的關(guān)注,與此相關(guān)有很多未解決的問(wèn)題[5].

對(duì)于盈完全數(shù)的研究可見(jiàn)文獻(xiàn)[6-7].同樣,對(duì)于奇虧完全數(shù)存在性問(wèn)題有著不少的研究,獲得了很豐富的研究成果.Tang等[8]討論了素因數(shù)個(gè)數(shù)不超過(guò)2個(gè)的虧完全數(shù)的存在性問(wèn)題,刻畫了其結(jié)構(gòu);馮敏[5]與Tang等[9]討論了具有3個(gè)互異素因數(shù)的奇虧完全數(shù)的存在性問(wèn)題,證明了不存在具有3個(gè)互異素因數(shù)的奇虧完全數(shù);張四保等[10]、Cui等[11]及馬小艷等[12]討論具有4個(gè)互異素因數(shù)的奇虧完全數(shù)的存在性問(wèn)題,各自給出了具有4個(gè)互異素因數(shù)的奇虧完全數(shù)的某些刻畫;張四保[13]討論具有5個(gè)互異素因數(shù)的奇虧完全數(shù)的存在性問(wèn)題,給出了具有5個(gè)互異素因數(shù)的奇虧完全數(shù)的某些刻畫.本文在相關(guān)文獻(xiàn)的研究基礎(chǔ)上,繼續(xù)討論具有5個(gè)互異素因數(shù)的奇虧完全數(shù)的存在性問(wèn)題,給出具有5個(gè)互異素因數(shù)的奇虧完全數(shù)的一些刻畫.

1 幾個(gè)基本引理

得出矛盾.

2 結(jié)論及其證明

證明此時(shí),若q4≥53,則有

得出矛盾.因而q5∈{53,59,61}.

得出矛盾.

(1)

令

由式(1)可得

F1(α1,α2,α3,α4,α5)=G1(α1,α2,α3,α4,α5)

(2)

當(dāng)α1≥6,q5=53時(shí),有

因而有F1(α1,α2,α3,α4,α5)>G1(α1,α2,α3,α4,α5),這與式(2)不符.

當(dāng)α1≥6,q5=59時(shí),有

因而有F1(α1,α2,α3,α4,α5)>G1(α1,α2,α3,α4,α5),這與式(2)不符.

當(dāng)α1≥6,q5=61時(shí),有

F1(α1,α2,α3,α4,α5)=

G1(α1,α2,α3,α4,α5)=

0.999 342…

因而有F1(α1,α2,α3,α4,α5)>G1(α1,α2,α3,α4,α5),這與式(2)不符.

定理1證畢.

1) 當(dāng)q4=43時(shí),若q5∈{47,53,59,61,67,71,73},則n不是奇虧完全數(shù);

2) 當(dāng)q4=47,則n不是奇虧完全數(shù).

證明此時(shí),若q4≥53,則有

得出矛盾.因而q4∈{43,47}.

得出矛盾.因而q5∈{47,53,59,61,67,71,73,79}.

得出矛盾.

(3)

令

由式(3)可得

F2(α1,α2,α3,α4,α5)=G2(α1,α2,α3,α4,α5)

(4)

當(dāng)α1≥6,q5=47時(shí),有