幾何變換在圓柱度評(píng)定優(yōu)化算法中的研究

尹浩田，鄭 鵬，曹滿(mǎn)義，吳江昊

（鄭州大學(xué)機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院，河南 鄭州 450001）

1 引言

零件的形位誤差對(duì)產(chǎn)品精度有至關(guān)重要的影響。對(duì)于儀表等精密器械，其組成部件應(yīng)嚴(yán)格滿(mǎn)足形位誤差的設(shè)計(jì)要求。軸類(lèi)零件在機(jī)械產(chǎn)品中應(yīng)用廣泛，圓柱度作為衡量回轉(zhuǎn)體零件形位誤差的重要指標(biāo)，將對(duì)產(chǎn)品的旋轉(zhuǎn)精度和壽命產(chǎn)生重要影響。因此，實(shí)現(xiàn)圓柱度誤差迅速、準(zhǔn)確地評(píng)定對(duì)提高生產(chǎn)效率至關(guān)重要［1］。圓柱度誤差的評(píng)定方法主要有：最小包容區(qū)域法（MZC）、最小外接圓柱法（MCC）、最大內(nèi)切圓柱法（MIC）、最小二乘法（LSC）四種［2］。其中，最小二乘法在計(jì)算速度上相較于其他方法有明顯的優(yōu)勢(shì)，但往往其誤差評(píng)定結(jié)果不能滿(mǎn)足精度要求。最小包容區(qū)域法滿(mǎn)足圓度評(píng)定的包容要求，得到的誤差精度高，但其運(yùn)算較為繁瑣，評(píng)定效率低，常作為誤差評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)。近些年來(lái)隨著深度學(xué)習(xí)和人工智能的不斷發(fā)展，有不少研究學(xué)者對(duì)于圓柱度誤差評(píng)定提出了新方法。文獻(xiàn)［3］實(shí)現(xiàn)了利用DNA方法計(jì)算圓柱度誤差，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證。文獻(xiàn)［4］利用鞍點(diǎn)規(guī)劃和遺傳算法，構(gòu)建了直接求解形位誤差的線(xiàn)性規(guī)劃模型。文獻(xiàn)［5］研究了粒子群優(yōu)化算法在圓柱度誤差中的應(yīng)用，通過(guò)求解模型實(shí)現(xiàn)圓柱度誤差評(píng)估。文獻(xiàn)［6］通過(guò)誤差分離技術(shù)（EST）設(shè)計(jì)了圓柱度誤差在線(xiàn)檢測(cè)裝置并進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證；文獻(xiàn)［7］提出了一種基于收縮因子的粒子群優(yōu)化算法來(lái)評(píng)價(jià)最小區(qū)域形狀誤差。文獻(xiàn)［8］提出了一種改進(jìn)的協(xié)調(diào)搜索（IHS）算法來(lái)提高圓柱度的測(cè)量精度。文獻(xiàn)［9］提出了一種基于運(yùn)動(dòng)幾何優(yōu)化算法（KGOA）的圓柱度最小區(qū)域誤差評(píng)估方法。利用上述算法，在測(cè)量數(shù)據(jù)充足的情況下可以很容易地進(jìn)行圓柱度誤差評(píng)定。

最小包容區(qū)域圓柱度誤差求解可通過(guò)構(gòu)建優(yōu)化函數(shù)實(shí)現(xiàn)。但在實(shí)際評(píng)定中，由于圓柱度的精確原位測(cè)量比較復(fù)雜，需要對(duì)圓柱度進(jìn)行測(cè)量和重構(gòu)，并對(duì)圓柱度進(jìn)行評(píng)定［10］。這里針對(duì)最小包容區(qū)域法運(yùn)算速度慢和最小二乘法精度低的問(wèn)題，將求解最小包容區(qū)域法圓柱度誤差的三維方法轉(zhuǎn)化為求解平面度的二維方法，在保證精度的前提下提高了計(jì)算速度。

2 圓柱度誤差幾何模型

由圓柱度誤差的定義所知，在圓柱度誤差評(píng)定過(guò)程中既要滿(mǎn)足最小條件原則，又要在基準(zhǔn)圓柱面的基礎(chǔ)上得到被測(cè)要素的變化量。被測(cè)要素Pi始終位于同軸的兩理想圓柱面C1和C2之間，如圖1所示。當(dāng)C1和C2的差值最小時(shí)，其差值t即為最小區(qū)域法所求得的圓柱度誤差。

圖1 圓柱度誤差幾何模型Fig.1 Geometric Model of Cylindricity Error

柱面坐標(biāo)系中工件的三維表面數(shù)據(jù)的采集方式多采用截面法，即沿軸向進(jìn)行等間距采樣，測(cè)量多個(gè)截面后，對(duì)整體數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合。設(shè)實(shí)際被測(cè)圓柱面各點(diǎn)的坐標(biāo)為P（iRi，θi，Z）i，儀器的測(cè)量回轉(zhuǎn)軸線(xiàn)OO'沿Z軸方向，如圖1 所示。評(píng)定基準(zhǔn)圓柱軸線(xiàn)O1O'1沿L軸方向，其在XOY平面上的偏心坐標(biāo)為（a，b）。設(shè)L軸與Z軸的夾角為γ，其在XOZ、YOZ平面上的投影分量分別記為γx、γy，則理想圓柱面的參數(shù)方程可以表示為：

以L(fǎng)為基準(zhǔn)，保證實(shí)際被測(cè)點(diǎn)處于圓柱面C1和C2之間，通過(guò)不斷調(diào)整軸線(xiàn)L的偏心坐標(biāo)和夾角，求得具有最優(yōu)位置和方向的軸線(xiàn)L’，并以此為基準(zhǔn)軸線(xiàn)做最大最小包容圓柱面，即可求得圓柱度誤差值。此過(guò)程可轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性規(guī)劃求極值問(wèn)題，通過(guò)被測(cè)點(diǎn)的點(diǎn)集｛P｝i得到（a，b，p，q）使其滿(mǎn)足于式（2），即可通過(guò)求解模型獲得圓柱度誤差值。

最小包容區(qū)域法評(píng)定模型為：

3 基于幾何變換的圓柱度評(píng)定新算法

通過(guò)對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行最小二乘擬合，可以得到被測(cè)零件的最小二乘軸LLS。將最小二乘軸線(xiàn)與參考軸線(xiàn)進(jìn)行坐標(biāo)變換，可以得到實(shí)際被測(cè)點(diǎn)經(jīng)幾何變換后的坐標(biāo)，如圖2所示。最小二乘擬合方法是通過(guò)最小化所測(cè)數(shù)據(jù)與理想圓柱面的殘差平方和來(lái)確定參考軸線(xiàn)的最佳匹配函數(shù)。擬合過(guò)程可理解為通過(guò)調(diào)整理想圓柱面不斷逼近采樣數(shù)據(jù)，使映射點(diǎn)之間的距離不斷減小，最終得到的理想軸為最小二乘軸線(xiàn)。

圖2 基于最小二乘軸線(xiàn)的坐標(biāo)變換Fig.2 Coordinate Transformation Based on Least Squares Axis

這里提出的基于幾何變換的圓柱度評(píng)定優(yōu)化算法的步驟是：首先利用最小二乘軸線(xiàn)LLS將測(cè)量點(diǎn)集（Ri，θi，Z）i進(jìn)行幾何變換，得到轉(zhuǎn)換后的被測(cè)點(diǎn)坐標(biāo)（Ri'，θi'，Zi'）。將轉(zhuǎn)換后的坐標(biāo)值基于最小二乘軸線(xiàn)展開(kāi)成平面集（X'，Y'，Z'），并按照最小包容區(qū)域法的評(píng)定模型進(jìn)行求解，計(jì)算所得的平面度誤差值即為經(jīng)幾何變換后的圓柱度誤差。求解過(guò)程，如圖3所示。

圖3 幾何變換求圓柱度流程圖Fig.3 Flow Chart for Calculating Cylindricity by Geometric Transformation

在實(shí)際測(cè)量中，由于回轉(zhuǎn)軸線(xiàn)與基準(zhǔn)軸線(xiàn)不重合，采集到的圓截面數(shù)據(jù)會(huì)呈規(guī)律性變化。圖3顯示的是實(shí)際圓柱的測(cè)量過(guò)程，其基準(zhǔn)軸線(xiàn)與測(cè)量回轉(zhuǎn)軸線(xiàn)的夾角為ψ。在此形態(tài)下，測(cè)頭與圓柱面做相對(duì)運(yùn)動(dòng)，由測(cè)頭記錄測(cè)量數(shù)據(jù)。

由于圓柱面存在傾斜，所測(cè)得的輪廓曲線(xiàn)展開(kāi)后是正弦曲線(xiàn)，如圖4所示。

圖4 測(cè)量點(diǎn)展開(kāi)圖Fig.4 Expanded View of Measuring Points

正弦波的振幅h可表示為：

正弦波Z的方程可以表示為：

式中：θ—展開(kāi)面上的角坐標(biāo)；φ—相位。

Z的坐標(biāo)可表示為：

考慮到圓柱的傾角ψ和正余弦波的振幅呈線(xiàn)性變化，令：

通過(guò)數(shù)學(xué)變換，最終將圓柱度誤差轉(zhuǎn)化為求解平面度誤差，圓柱度誤差值轉(zhuǎn)換為正弦波振幅h，如圖5所示。其中，Z1，Z2，…，Zn—n個(gè)被測(cè)截面數(shù)據(jù)所展開(kāi)的正弦曲線(xiàn)，θ—展開(kāi)面上的角坐標(biāo)。平面度誤差最小包容區(qū)域法的數(shù)學(xué)模型為：

圖5 展開(kāi)表面的網(wǎng)格和數(shù)據(jù)點(diǎn)Fig.5 Grid and Data Points of the Unfolded Surface

式中：w—實(shí)測(cè)的原始偏差；x、y—被測(cè)點(diǎn)的坐標(biāo)；u、v—誤差的最大和最小值；α、β—繞x、y軸的旋轉(zhuǎn)量；m—測(cè)量點(diǎn)個(gè)數(shù)。

4 實(shí)驗(yàn)分析

為驗(yàn)證提出的圓柱度評(píng)定方法的準(zhǔn)確性，設(shè)計(jì)并進(jìn)行相關(guān)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行圓柱度評(píng)定，計(jì)算并記錄評(píng)定效率。測(cè)量裝置選擇DTP-1000AE 型圓度儀，系統(tǒng)精度≤0.06μm。工件選擇尺寸為Φ50×42mm，材質(zhì)為45#并完成精磨加工的軸類(lèi)零件。實(shí)驗(yàn)共測(cè)量50個(gè)零件，每個(gè)零件等間距劃分15個(gè)截面，獲得測(cè)量數(shù)據(jù)。將測(cè)量數(shù)據(jù)分別利用標(biāo)準(zhǔn)評(píng)定方法和幾何變換法進(jìn)行評(píng)定，實(shí)驗(yàn)裝置，如圖6所示。

圖6 實(shí)驗(yàn)裝置Fig.6 Experimental Setup

將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)運(yùn)用Matlab 仿真分析，分別得到最小包容區(qū)域法的三維顯示，和展開(kāi)后的擬合平面，如圖7 所示。圖中x，y，z是測(cè)量點(diǎn)的三維坐標(biāo)，如圖8 所示。為了更直觀的觀察圓柱度誤差評(píng)定，圖7、圖8 中三維坐標(biāo)系中的測(cè)量數(shù)據(jù)去掉了平均半徑。如圖7 所示，從中可以看出兩同軸圓柱之間包含了所有采樣點(diǎn)，它們的半徑差即為該工件的圓柱度誤差。如圖8所示，取圓柱度截面?zhèn)€數(shù)為15，采樣點(diǎn)數(shù)為1000時(shí)將測(cè)量點(diǎn)展開(kāi)形成的擬合平面。

圖7 最小區(qū)域擬合的圓柱度Fig.7 Cylindricity of the Smallest Area Fit

圖8 圓柱度展開(kāi)后的擬合平面Fig.8 Fitting Plane After Cylindricity Expansion

截面層數(shù)為15 層時(shí)，采樣點(diǎn)分別為500、1000、2000、3000、5000時(shí)的三種方法的圓柱度誤差測(cè)量結(jié)果，如表1所示。

表1 不同采樣點(diǎn)數(shù)圓柱度誤差結(jié)果Tab.1 Results of Cylindricity Error for Different Sampling Points

f1、f2、f3分別代表當(dāng)采樣點(diǎn)數(shù)為1000時(shí)，截面層數(shù)分別為10，15，20時(shí)求得的圓柱度誤差值，如表2所示。比較了在采樣點(diǎn)數(shù)為1000，截面層數(shù)為15層時(shí)三種評(píng)定方法所用時(shí)間，如表3所示。

表2 不同采樣點(diǎn)數(shù)求得圓柱度誤差Tab.2 The Cylindricity Error Obtained by Different Sampling Points

表3 不同采樣點(diǎn)數(shù)圓柱度誤差用時(shí)Tab.3 Time for Cylindricity Error of Different Sampling Points

對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果縱向?qū)Ρ龋杀?和圖9可知，當(dāng)截面層數(shù)相同時(shí)，隨著采樣點(diǎn)數(shù)的增加三種方法測(cè)得的圓柱度誤差也在提升。其中圖9表示當(dāng)截面層數(shù)為15，采樣點(diǎn)數(shù)與圓柱度誤差的關(guān)系。由表2可得，當(dāng)采樣點(diǎn)數(shù)相同時(shí)，隨著截面層數(shù)的增加，三種方法測(cè)得的圓柱度誤差的精度同樣得到了提升。由表3可知，在采樣點(diǎn)數(shù)和采樣界面都相同的情況下，新方法用時(shí)相較MZC有著明顯的提升。對(duì)于MZC和新方法，采取最小條件原則，隨著截面層數(shù)的增多，擬合出的理想圓柱面越來(lái)越接近實(shí)際被測(cè)圓柱，所測(cè)得的圓柱度誤差的精度在不斷提升；同時(shí)由于二者都用到線(xiàn)性規(guī)劃模型來(lái)求解誤差，所求解矩陣維度增加，需要處理的數(shù)據(jù)點(diǎn)增多，用時(shí)t也隨之增加。對(duì)于LSC，其實(shí)質(zhì)是一種求近似的思想，不需要遵守最小條件原則，故隨著截面層數(shù)的增加，精度并未受太大影響，計(jì)算速度也基本一致。

圖9 采樣點(diǎn)數(shù)與圓柱度誤差的關(guān)系Fig.9 The Relationship Between the Number of Sampling Points and the Cylindricity Error

對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行橫向?qū)Ρ?，?dāng)采樣點(diǎn)數(shù)為1000、截面層數(shù)為10層時(shí)，新方法與MZC相比誤差值相差了3.04%，測(cè)量時(shí)間t提升了20.38%；采樣點(diǎn)數(shù)不變，截面層數(shù)增至15層時(shí)，新方法與MZC的誤差值相差2.53%，測(cè)量時(shí)間t提升了19.96%；截面層數(shù)增至20 層時(shí)新方法與MZC 的誤差值相差1.92%，測(cè)量時(shí)間t提升了18.34%。由于不遵守最小條件原則，LSC相較于前兩種方法誤差精度相差較大。故在精度基本一致的情況下，新方法比MZC有著更快的計(jì)算速度。

5 結(jié)論

這里介紹了一種新的評(píng)價(jià)圓柱度的方法，在最小包容區(qū)域法的基礎(chǔ)上運(yùn)用降維的思想將三維圓柱度誤差求解轉(zhuǎn)化成二維平面度的求解。通過(guò)建立圓柱度降維求解的數(shù)學(xué)模型，沿?cái)M合的最小二乘軸線(xiàn)將測(cè)量點(diǎn)轉(zhuǎn)化為二維平面，得到了由測(cè)量點(diǎn)組成的平面模型，從而將三維圓柱度轉(zhuǎn)化為二維平面度求解。由于都遵循最小條件原則，在精度基本一致的前提下，在最小包容區(qū)域法求解速度慢的問(wèn)題上有所改善。通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了在不同采樣點(diǎn)數(shù)和不同截面數(shù)下新方法的可行性，結(jié)果表明，在滿(mǎn)足精度要求的前提下，評(píng)定時(shí)間均比最小包容區(qū)域法提升了約20%。