面板數(shù)據(jù)中方差的共同變點(diǎn)估計(jì)

趙軍輝，董翠玲

（新疆師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830017）

面板數(shù)據(jù)結(jié)合了時(shí)間序列與截面數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，是二維數(shù)據(jù)，它擴(kuò)大了樣本的信息，降低了變量之間的多重共線性，提高了參數(shù)估計(jì)的準(zhǔn)確性，目前廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)學(xué)、金融學(xué)、生命科學(xué)、醫(yī)學(xué)、氣象學(xué)等領(lǐng)域［1-2］。面板數(shù)據(jù)的變點(diǎn)分析問(wèn)題始于Joseph等人提出的隨機(jī)變點(diǎn)模型［3-4］。Bai使用最小二乘法和擬極大似然方法估計(jì)了面板數(shù)據(jù)中均值與方差的共同變點(diǎn)，并得到了變點(diǎn)估計(jì)量的極限分布［5］。自Page 首次提出累積和（Cumulative Sum，CUSUM）方法對(duì)變點(diǎn)進(jìn)行連續(xù)性檢驗(yàn)后［6］，CUSUM 方法被許多統(tǒng)計(jì)學(xué)家改進(jìn)并應(yīng)用于變點(diǎn)的檢測(cè)與估計(jì)。Horváth 等人在Bai的模型基礎(chǔ)上，關(guān)于面板數(shù)據(jù)中均值是否存在共同變點(diǎn)提出了一個(gè)基于平方累積和（Squared CUSUM）的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，并在原假設(shè)H0（即沒(méi)有變點(diǎn)）下得到了檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的漸進(jìn)分布［7］。Li等人和Shi分別使用CUSUM 方法［8］和似然方法［9］對(duì)面板數(shù)據(jù)中方差是否存在共同變點(diǎn)進(jìn)行了檢驗(yàn)。徐小平等人使用擬極大似然方法和CUSUM 方法對(duì)面板數(shù)據(jù)中方差的共同變點(diǎn)進(jìn)行了估計(jì)，并結(jié)合二元分割法將其推廣到多變點(diǎn)情形［10］。

這些關(guān)于面板數(shù)據(jù)變點(diǎn)分析的研究，當(dāng)觀測(cè)時(shí)長(zhǎng)T較長(zhǎng)，變點(diǎn)位置不在序列的端點(diǎn)附近時(shí)，即，估計(jì)都很有效，但對(duì)于觀測(cè)時(shí)長(zhǎng)T較短（即T＜30），或變點(diǎn)出現(xiàn)在序列端點(diǎn)附近時(shí)，估計(jì)的精度大幅降低。Horváth等人使用CUSUM方法對(duì)長(zhǎng)相依序列中的變點(diǎn)進(jìn)行估計(jì)時(shí)，在數(shù)值模擬過(guò)程中發(fā)現(xiàn)調(diào)節(jié)參數(shù)對(duì)變點(diǎn)估計(jì)的精確度有顯著影響［11］。Chen 等人通過(guò)調(diào)節(jié)參數(shù)對(duì)面板數(shù)據(jù)中均值的共同變點(diǎn)提出了一個(gè)改進(jìn)的CUSUM 型估計(jì)量，數(shù)值模擬給出了不同調(diào)節(jié)參數(shù)下變點(diǎn)估計(jì)的精確度［12］。譚常春等人研究了CUSUM 型統(tǒng)計(jì)量中調(diào)節(jié)參數(shù)對(duì)單變量序列中變點(diǎn)估計(jì)效果的影響［13］。文章通過(guò)調(diào)節(jié)參數(shù)對(duì)面板數(shù)據(jù)中方差的共同變點(diǎn)提出了一個(gè)改進(jìn)的CUSUM 型估計(jì)量，研究調(diào)節(jié)參數(shù)γ∈(0,1) 對(duì)方差共同變點(diǎn)估計(jì)精確度的影響。蒙特卡洛模擬表明通過(guò)調(diào)節(jié)參數(shù)不僅使得變點(diǎn)位置在序列中間時(shí)得到很好的估計(jì)效果，而且使得變點(diǎn)位置在序列端點(diǎn)附近時(shí)，估計(jì)的精確度有了大幅度提升，并結(jié)合二元分割法將其推廣到多個(gè)方差共同變點(diǎn)的情形。最后，應(yīng)用2018 年1 月—2022 年12 月外匯匯率進(jìn)行實(shí)證分析，結(jié)果表明調(diào)節(jié)參數(shù)（γ≠0）下CUSUM型估計(jì)方法是有效的。

1 模型與主要結(jié)果

考慮面板數(shù)據(jù)中方差的共同變點(diǎn)模型

其中，k0未知，Yit（i=1,2,…,N；t=1,2,…,T）是面板數(shù)據(jù)中第i個(gè)截面?zhèn)€體在t時(shí)刻的觀測(cè)值，μi是第i個(gè)截面?zhèn)€體的均值，ηit是第i個(gè)截面?zhèn)€體在t時(shí)刻的誤差項(xiàng)。在這個(gè)模型中，若σi1≠σi2，則未知時(shí)刻k0（1 ≤k0＜T）稱(chēng)為面板數(shù)據(jù)中方差的共同變點(diǎn)，即這N個(gè)截面?zhèn)€體方差的共同變點(diǎn)。當(dāng)k0=T時(shí)，表明面板數(shù)據(jù)中不存在方差共同變點(diǎn)。令

其中，γ為調(diào)節(jié)參數(shù)，γ∈(0,1)，調(diào)節(jié)參數(shù)可以保證方差共同變點(diǎn)k0在靠近序列端點(diǎn)時(shí)估計(jì)的有效性，γ=0表示無(wú)調(diào)節(jié)參數(shù)。表示第i個(gè)截面?zhèn)€體在T個(gè)不同時(shí)刻得到觀測(cè)值的樣本均值。記=Yit-Yˉi，則為面板數(shù)據(jù)中心化后的結(jié)果，從而

為了估計(jì)方差的共同變點(diǎn)，需要下列假設(shè)條件:

假設(shè)1：E(ηit)=0，Var(ηit)=1，其中

假設(shè)2：存在正數(shù)M＞0，使得

假設(shè)3：存在τi∈(0,1)，ε＞0，使得ki=[Tτi]，并且τi+1-τi＞ε，i=0,1,2,…,m，其中[·]為取整函數(shù)；

假設(shè)4：表示方差跳躍度的平方，即方差的變化強(qiáng)度；

假設(shè)5：對(duì)任意的1 ≤k≤s≤T，都有，其中h∈(0,2)，注意在整篇文章中，正數(shù)C可能會(huì)不同，而且C與N和T是相互獨(dú)立的；

假設(shè)6：存在α∈(0,1)，使得

注：假設(shè)1～假設(shè)3為Bai的研究中關(guān)于面板數(shù)據(jù)的假設(shè)，其中假設(shè)1能保證誤差項(xiàng)ηit滿足平穩(wěn)性，假設(shè)2要求誤差項(xiàng)ηit的四階矩有限，假設(shè)3 確保了模型的每?jī)蓚€(gè)變點(diǎn)之間有足夠多的樣本，這是大數(shù)定律和中心極限定理成立的基本條件，通常ε取0.05，0.01 等較小的數(shù)。假設(shè)4 類(lèi)似于Bai 的假設(shè)2，這個(gè)假設(shè)既保證方差變化強(qiáng)度δi的非負(fù)性，又合理描述截面?zhèn)€數(shù)N與方差變化強(qiáng)度δi之間的關(guān)系［5］。假設(shè)5滿足常見(jiàn)的平穩(wěn)序列或者非平穩(wěn)序列，更多的案例參看文獻(xiàn)［14］。假設(shè)6表示當(dāng)N,T→∞時(shí)，Tα趨于無(wú)窮大的速度快于N.

引理1［14］設(shè)Y1,…,Yn是任意二階矩有限的隨機(jī)變量序列，C1,C2,…,Cn為任意的非負(fù)常數(shù)，則

定理1設(shè)面板數(shù)據(jù)模型（1）中存在一個(gè)方差共同變點(diǎn)若假設(shè)1～假設(shè)5 都成立，且則對(duì)于任意ε＞0，由式（3）定義的面板數(shù)據(jù)中方差的共同變點(diǎn)估計(jì)量τ0滿足

推論1設(shè)面板數(shù)據(jù)模型（1）中存在一個(gè)方差共同變點(diǎn)若假設(shè)1～假設(shè)6 都成立，且則對(duì)于任意ε＞0，由式（3）定義的面板數(shù)據(jù)中方差的共同變點(diǎn)估計(jì)量τ0滿足

2 結(jié)果的證明

定理1的證明當(dāng)面板數(shù)據(jù)模型（1）中存在方差共同變點(diǎn)k0時(shí)，可知

3 面板數(shù)據(jù)中方差多變點(diǎn)的估計(jì)步驟

若模型（1）中存在m個(gè)變點(diǎn)，且變點(diǎn)個(gè)數(shù)m已知，則模型（1）轉(zhuǎn)化為

再結(jié)合二元分割法將上述方法推廣到多變點(diǎn)的情形，則模型（10）中的方差多變點(diǎn)估計(jì)具體步驟如下:

第一步：利用式（4）估計(jì)出第一個(gè)變點(diǎn)；

第二步：在處將整個(gè)面板數(shù)據(jù)一分為二，得到兩個(gè)子樣本，第一部分為Yi1,Yi2,…,Yi，第二部分為Yi,+1,Yi,+2,…,YiT，i=1,2,…,N，再利用式（4）分別估計(jì)這兩個(gè)部分的變點(diǎn)

第三步：在前一部分面板數(shù)據(jù)中計(jì)算出

第四步：在后一部分面板數(shù)據(jù)中計(jì)算出

第五步：比較的大小，若

第六步：將進(jìn)行排序，然后基于這兩個(gè)變點(diǎn)將整個(gè)面板分成三個(gè)部分，類(lèi)似第二、三、四步估計(jì)出第三個(gè)變點(diǎn)，重復(fù)使用上述方法，直至估計(jì)出m個(gè)變點(diǎn)。

4 數(shù)值模擬

應(yīng)用MATLAB 軟件，通過(guò)蒙特卡洛模擬研究調(diào)節(jié)參數(shù)γ的取值對(duì)面板數(shù)據(jù)中方差的共同變點(diǎn)估計(jì)精確度的影響。對(duì)于模型（1），簡(jiǎn)單起見(jiàn)，只考慮一個(gè)變點(diǎn)的情形，令ui=1，ηit～N(0,1)，σi1=0.1，σi2=0.2，這里方差跳躍度并不大。

首先，研究觀察時(shí)長(zhǎng)較短時(shí)的情況，取T=10，變點(diǎn)位置在端點(diǎn)附近及中間位置時(shí)，不同的截面?zhèn)€體數(shù)量（N=10、20、50、80、100、150、200、250、300）情況下，調(diào)節(jié)參數(shù)γ的取值對(duì)面板數(shù)據(jù)中方差的共同變點(diǎn)估計(jì)精確度的影響，MATLAB 模擬10000次。圖1和圖2分別展示了變點(diǎn)位置為k0=2和k0=9時(shí)，調(diào)節(jié)參數(shù)γ的取值對(duì)面板數(shù)據(jù)中方差的共同變點(diǎn)估計(jì)精確度的影響。γ=0表示無(wú)調(diào)節(jié)參數(shù)，這里“精確度”指的是數(shù)值模擬中變點(diǎn)估計(jì)量包含真實(shí)變點(diǎn)的頻率，模擬結(jié)果表明調(diào)節(jié)參數(shù)（γ≠0）下CUSUM 型估計(jì)量的精確度高于無(wú)調(diào)節(jié)參數(shù)（γ=0）下CUSUM 型估計(jì)量的精確度，并且隨著截面?zhèn)€體數(shù)量N的增加，精確度會(huì)大幅度上升。圖3展示了變點(diǎn)位置在中間時(shí)（k0=5），調(diào)節(jié)參數(shù)γ的取值對(duì)面板數(shù)據(jù)中方差的共同變點(diǎn)估計(jì)精確度的影響，模擬結(jié)果表明調(diào)節(jié)參數(shù)（γ≠0）下CUSUM 型估計(jì)量的精確度與無(wú)調(diào)節(jié)參數(shù)（γ=0）下CUSUM 型估計(jì)量的精確度幾乎相當(dāng)，并且隨著截面?zhèn)€體數(shù)量N的增加，精確度會(huì)大幅度上升，當(dāng)N=150 時(shí)，調(diào)節(jié)參數(shù)（γ≠0）下CUSUM型估計(jì)量的精確度與無(wú)調(diào)節(jié)參數(shù)（γ=0）下CUSUM型估計(jì)量的精確度幾乎都達(dá)到100%.

圖1 不同的調(diào)節(jié)參數(shù)γ下CUSUM型估計(jì)量的精確度（T=10，左端變點(diǎn)k0=2）

圖2 不同的調(diào)節(jié)參數(shù)γ下CUSUM型估計(jì)量的精確度（T=10，右端變點(diǎn)k0=9）

圖3 不同的調(diào)節(jié)參數(shù)γ下CUSUM型估計(jì)量的精確度（T=10，中間變點(diǎn)k0=5）

其次，研究觀察時(shí)長(zhǎng)較長(zhǎng)時(shí)的情況，取T=50，變點(diǎn)位置在端點(diǎn)附近及中間位置時(shí)，不同的截面?zhèn)€體數(shù)量（N=10、20、50、80、100、150、200、250、300）情況下，調(diào)節(jié)參數(shù)γ的取值對(duì)面板數(shù)據(jù)中方差的共同變點(diǎn)估計(jì)精確度的影響，MATLAB模擬10000次。圖4和圖5分別展示了變點(diǎn)位置為k0=2和k0=T-1時(shí),調(diào)節(jié)參數(shù)γ的取值對(duì)面板數(shù)據(jù)中方差的共同變點(diǎn)估計(jì)精確度的影響，模擬結(jié)果表明調(diào)節(jié)參數(shù)（γ≠0）下CUSUM型估計(jì)量的精確度明顯高于無(wú)調(diào)節(jié)參數(shù)（γ=0）下CUSUM 型估計(jì)量的精確度。圖6 展示了變點(diǎn)位置在中間時(shí)（k0=T/2），調(diào)節(jié)參數(shù)γ的取值對(duì)面板數(shù)據(jù)中方差的共同變點(diǎn)估計(jì)精確度的影響，模擬結(jié)果表明調(diào)節(jié)參數(shù)（γ≠0）下CUSUM 型估計(jì)量的精確度與無(wú)調(diào)節(jié)參數(shù)（γ=0）下CUSUM 型估計(jì)量的精確度幾乎相當(dāng)，并且隨著截面?zhèn)€體數(shù)量N的增加，精確度會(huì)大幅度上升，當(dāng)N=100時(shí)，調(diào)節(jié)參數(shù)（γ≠0）下CUSUM型估計(jì)量的精確度與無(wú)調(diào)節(jié)參數(shù)（γ=0）下CUSUM型估計(jì)量的精確度幾乎都達(dá)到100%.

圖4 不同的調(diào)節(jié)參數(shù)γ下CUSUM型估計(jì)量的精確度（T=50，左端變點(diǎn)k0=2）

圖5 不同的調(diào)節(jié)參數(shù)γ下CUSUM型估計(jì)量的精確度（T=50，右端變點(diǎn)k0=T -1）

圖6 不同的調(diào)節(jié)參數(shù)γ下CUSUM型估計(jì)量的精確度（T=50，中間變點(diǎn)k0=T/2）

圖7 10個(gè)國(guó)家的貨幣兌換人民幣的外匯月度匯率數(shù)據(jù)圖

綜合分析，無(wú)論變點(diǎn)位置在中間還是端點(diǎn)附近時(shí)，調(diào)節(jié)參數(shù)（γ≠0）下CUSUM 型估計(jì)量都會(huì)有非常好的表現(xiàn)，這與前面的理論結(jié)果也相吻合。

5 實(shí)證分析

文章選取2018 年1 月—2022 年12 月10 個(gè)國(guó)家的貨幣（澳大利亞元（AUD）、加拿大元（CAD）、瑞士法郎（CHF）、歐元（EUR）、英鎊（GBP）、美元（USD）、新西蘭元（NZD）、新加坡元（SGD）、巴西雷亞爾（BRL）、波蘭茲羅提（PLN））兌換人民幣（CNY）的外匯月度匯率數(shù)據(jù)（數(shù)據(jù)來(lái)源于https://cn.investing.com/currencies/），共有10 個(gè)不同的截面?zhèn)€體，每個(gè)截面?zhèn)€體含有60 個(gè)歷史數(shù)據(jù)，即N=10，T=60，首先對(duì)選取的數(shù)據(jù)進(jìn)行去均值化處理，然后采用不同調(diào)節(jié)參數(shù)（γ=0.1,0.25,0.5,0.75,0.9）情況下CUSUM 型估計(jì)量的方法估計(jì)變點(diǎn)，估計(jì)的變點(diǎn)位置都是46，對(duì)應(yīng)的實(shí)際時(shí)間是2021 年10 月。造成這種現(xiàn)象的原因主要是2021 年8 月國(guó)際貨幣基金組織（IMF）批準(zhǔn)了史上規(guī)模最大的一輪新增特別提款權(quán)（SDR）分配計(jì)劃。結(jié)合二元分割法，該變點(diǎn)將2018年1 月—2022 年12 月外匯匯率數(shù)據(jù)一分為二，采用上述方法分別對(duì)2018 年1 月—2021 年10 月和2021 年11 月—2022年12月數(shù)據(jù)進(jìn)行變點(diǎn)估計(jì)。得到的變點(diǎn)位置為7（前一部分）和10（后一部分），對(duì)應(yīng)的實(shí)際時(shí)間分別是2018年7月和2022年8月，前一部分變點(diǎn)出現(xiàn)主要與2018年6月美聯(lián)儲(chǔ)的加息政策以及央行的降準(zhǔn)政策有關(guān)。后一部分變點(diǎn)出現(xiàn)主要與2022年8月美聯(lián)儲(chǔ)的加息政策以及國(guó)內(nèi)經(jīng)濟(jì)復(fù)蘇緩慢有關(guān)。

6 結(jié)論

文章通過(guò)調(diào)節(jié)參數(shù)對(duì)面板數(shù)據(jù)中方差的共同變點(diǎn)提出了一個(gè)改進(jìn)的CUSUM 型估計(jì)量，研究調(diào)節(jié)參數(shù)對(duì)面板數(shù)據(jù)中方差的共同變點(diǎn)估計(jì)效果的影響，并結(jié)合二元分割法將其推廣到多個(gè)方差共同變點(diǎn)的情形。模擬結(jié)果表明調(diào)節(jié)參數(shù)對(duì)面板數(shù)據(jù)中方差的共同變點(diǎn)估計(jì)有顯著影響，同時(shí)發(fā)現(xiàn)此方法不僅適合樣本小的面板數(shù)據(jù)，也適合樣本大的面板數(shù)據(jù)，豐富了面板數(shù)據(jù)中方差的共同變點(diǎn)估計(jì)的研究方法。