基于矩陣重構(gòu)和酉變換的DOA 估計

李齊衡，孫溶辰，孫志國

哈爾濱工程大學(xué) 信息與通信工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001

在雷達(dá)、聲吶、通信、探測以及醫(yī)療等領(lǐng)域，波達(dá)方向(direction of arrival，DOA)估計作為一種重要技術(shù)被廣泛應(yīng)用[1?4]。為了實現(xiàn)DOA 估計，許多經(jīng)典的超分辨子空間算法被提出，比如多重信號分類算法[5](multiple signal classification, MUSIC)和旋轉(zhuǎn)不變性的信號參數(shù)算法[6](estimation of signal parameters via rotational invariance techniques,ESPRIT)等子空間類算法，但這些算法的適用條件之一是入射信號相互獨立。由于高山、建筑物的反射等原因產(chǎn)生的多徑效應(yīng)以及同頻干擾的存在，使得在現(xiàn)實生活中不僅有獨立信號，還存在著大量的強相關(guān)或相干信號，導(dǎo)致信號協(xié)方差矩陣缺秩，破壞了陣列導(dǎo)向矢量與噪聲子空間的正交關(guān)系，從而使MUSIC 等算法性能下降甚至失效[7?9]。

因此，尋找有效的相干信號DOA 估計算法具有重大的現(xiàn)實意義[10]。文獻(xiàn)[11]基于概率密度模型來提出了最大似然方法(maximum 1ikelihood，ML)，具有較好的解相干效果。文獻(xiàn)[12]提出的加權(quán)子空間擬合(weighted subspace fitting，WSF)算法可以有效地對相干信號進(jìn)行DOA 估計。但是這2 種算法實現(xiàn)過程很復(fù)雜，需要進(jìn)行多維搜索來實現(xiàn)DOA 估計，計算量巨大，且DOA 測向受初始值的影響較大[13]。文獻(xiàn)[14]通過利用自協(xié)方差與互協(xié)方差信息進(jìn)行矩陣重構(gòu)進(jìn)行解相干，有較高的DOA 估計精度，但計算復(fù)雜度高。文獻(xiàn)[15]通過對各快拍數(shù)據(jù)進(jìn)行矩陣重構(gòu)得到不同時刻的秩恢復(fù)矩陣，然后將其與不同陣元的數(shù)據(jù)進(jìn)行相關(guān)處理，最后對相關(guān)矩陣的平方進(jìn)行加權(quán)求和，從而實現(xiàn)相干信號的DOA 估計。該算法無需提前消噪，但低信噪比(signal to noise ratio,SNR)、低快拍條件下估計性能不佳。

空間平滑類方法(spatial smoothing techniques，SST)最早是由Evans 等[16]提出，Shan 等[17?18]將其發(fā)展成有效的解相干預(yù)處理方法，即前向空間平滑算法(forward spatial smoothing，F(xiàn)SS)，它是通過對各前向子陣列自相關(guān)矩陣求和取平均，從而達(dá)到去相干的目的。文獻(xiàn)[19]提出了一種雙向空間平滑算法(forward/backward spatial smoothing，F(xiàn)BSS)，增加了后向子陣列的平滑，使接收數(shù)據(jù)得到更充分的利用，從而提高了相干信源的估計性能。上述空間平滑類算法雖然在快拍數(shù)較少的條件下有良好的估計性能，但是具有計算量較大且在低信噪比的環(huán)境下估計性能較差的問題。

為了提高低信噪比的環(huán)境下的估計性能，文獻(xiàn)[20]提出了奇異值分解法(extended singular value decomposition，ESVD)法，通過利用信號子空間的信息得到新的協(xié)方差矩陣然后進(jìn)行DOA 估計，雖然提高了分辨率，但是需要2 次特征分解，計算量大，不利于DOA 估計的實時實現(xiàn)。為減少計算量，文獻(xiàn)[21]提出了改進(jìn)的旋轉(zhuǎn)不變性的信號參數(shù)算法(estimation of signal parameters via rotational invariance techniques-like, ESPRIT-Like)算法，該方法通過將協(xié)方差矩陣的任意一行（一列）進(jìn)行Toeplitz 矩陣重構(gòu)，得到新的協(xié)方差矩陣從而實現(xiàn)解相干，該方法計算量相對較低，在低信噪比條件下仍具有很高精度，但是卻存在入射信號的相干系數(shù)不為正時會出現(xiàn)DOA 估計失效的情況。為了進(jìn)一步降低計算量，文獻(xiàn)[22?26]提出基于酉變換的ESPRIT 方法，能充分利用復(fù)數(shù)觀測數(shù)據(jù)本身及其共軛部分的信息，相當(dāng)于增加了信息觀測量，能提高信號參數(shù)的估計能力。同時，基于酉變換的ESPRIT 法利用酉變換將陣列接收數(shù)據(jù)矩陣轉(zhuǎn)化為中心復(fù)共軛對稱矩陣從而使其處于實數(shù)域，然后通過相應(yīng)的實值運算得到信號子空間，可以實現(xiàn)快速DOA 估計，是一種比較有效的實值ESPRIT 方法，但是解相干性能較差。本文在對信號子空間進(jìn)行Toeplitz 矩陣重構(gòu)的基礎(chǔ)上，利用酉變換減少計算量和充分運用陣列接收數(shù)據(jù)的共軛信息，提高了運算效率和DOA 估計精度。

1 數(shù)學(xué)模型

如圖1 所示，設(shè)有N個陣元的均勻線陣(N=2M+1，M為正整數(shù))，陣元間距為d≤0.5λ( λ為信號波長)；由P個遠(yuǎn)場窄帶相干信號分別從角度θ1,θ2,···,θP入射到均勻線陣上。

圖1 均勻線陣信號模型

參考陣元是位置0 處的陣元，則位置k處的陣元上的觀測數(shù)據(jù)可表示為

式中：ui=exp(?j2πdsinθi/λ)， βi為相干系數(shù)且β1=1，nk(t) 是噪聲功率為 σ2、均值為0 且與信號獨立的理想高斯白噪聲。將式(1)寫成矩陣形式為

式中

其中 (·)T表示轉(zhuǎn)置。若總的快拍數(shù)為L，則接收數(shù)據(jù)矩陣為

式中

觀測信號陣列協(xié)方差矩陣Rxx為

式中：RS=E(s(t)s(t)H)為來波信號的協(xié)方差矩陣，IN為N×N維單位矩陣， (·)H為共軛轉(zhuǎn)置。

對于相干信號，陣列信號協(xié)方差Rxx的秩將退化為1，對Rxx進(jìn)行特征分解以后，得到的信號子空間維數(shù)為1，即小于入射信號的個數(shù)，導(dǎo)致信號子空間與陣列導(dǎo)向矢量張成的空間不是同一空間，使得MUSIC 和ESPRIT 等類算法完全失效。

2 ESPRIT-Like 算法

為了對相干信號進(jìn)行解相干，文獻(xiàn)[21]提出了ESPRIT-Like 算法，該算法不僅成功恢復(fù)了陣列協(xié)方差的秩，而且大大降低了解相干過程的運算量，并且在低信噪比的條件下仍然有較強的解相干能力。下面介紹ESPRIT-like 算法。

根據(jù)文獻(xiàn)[27]可知，協(xié)方差Rxx的元素可以表示為

式中

式中 (·)?表示共軛。由文獻(xiàn)[27]可知，重構(gòu)Toeplitz矩陣為

式中

式中：diag(·)表示對角化； λ0為無噪聲時R(m)的最大特征值，最后篩選最大特征值對應(yīng)的特征向量找出信號子空間US，用ESPRIT 算法對其進(jìn)行處理即可得各信號的入射角 θi。

若相干系數(shù)實部不為正的條件下，特征值λ0的實部可能是負(fù)數(shù)，如果沒有噪聲影響即σ2=0，信號子空間可以準(zhǔn)確地確定；如果有噪聲的影響，那么在 λi實部絕對值接近噪聲功率 σ2且其虛部很小的情況下，R(m)的特征值λ0+σ2絕對值小于 σ2，這會導(dǎo)致部分甚至全部噪聲子空間會被誤判為信號子空間，導(dǎo)致該算法測向精度下降甚至不能估計DOA。這類情況在低信噪比的條件下更容易發(fā)生。

例如陣元數(shù)為5 的均勻線陣接收到10°和45°的相干信號，快拍數(shù)為200，相干系數(shù)為[1,?0.6?0.1j]，若沒有噪聲，R(m)的特征值分別為1.392 8?0.344 0j、?0.785 1+0.3440j、0，其中1.3928?0.344 0j、?0.785 1+0.344 0j 對應(yīng)的特征向量是信號子空間US；若有噪聲且信噪比為0 dB，則R(m)的特征值分別為2.094 7?0.340 7j、0.365 3+0.2791j、1.009 7+0.061 6j，而信號子空間US對應(yīng)的特征值為2.094 7?0.340 7j、0.365 3+0.279 1j，不是較大特征值2.094 7?0.340 7j、1.009 7+0.061 6j，此時的DOA 估計結(jié)果如圖2 所示，ESPRIT-Like 算法明顯失效。為了解決上述問題和降低計算量，本文提出了酉矩陣重構(gòu)算法。

圖2 ESPRIT-Like 算法失效圖

3 本文算法

將接收數(shù)據(jù)矩陣X寫成如下形式：

式中：X1和X2均為M×L維矩陣，X0為1×L維向量。為充分利用共軛的觀測數(shù)據(jù)的信息，可以對觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行擴(kuò)維以達(dá)到數(shù)據(jù)加倍的效果，利用n×n維的交換矩陣Jn構(gòu)造一個N×2L維的復(fù)矩陣Z=[X JNX?JL]。容易驗證Z是一個中心復(fù)共軛對稱矩陣[28]。下面通過酉矩陣將復(fù)矩陣轉(zhuǎn)變?yōu)閷嵵稻仃嘥(X)：

式中Qn為稀疏的酉矩陣，其奇數(shù)與偶維分別定義為

酉矩陣具有以下性質(zhì)：

從上述分析可知，T(X)變換可以將復(fù)矩陣變成實矩陣，這樣就可以大大地減少矩陣運算量[29]，提高運算效率，由JN A=A?可得

RS1=

式中，由式（3）可得陣列協(xié)方差矩陣：

用e表示R′最大特征值對應(yīng)的特征向量，由文獻(xiàn)[29]可知：

重構(gòu)Toeplitz 矩陣得到新的協(xié)方差矩陣為

式中：G=diag(α1,α2,···,αn)為利用信號子空間的共軛信息，構(gòu)造矩陣將其進(jìn)行酉變換可得實矩陣并得到以下矩陣R2：

即R2的信號子空間由均勻線陣旋轉(zhuǎn)不變性[30]K2Ar=K1ArΦ可得

令H=1QM+1，結(jié)合式（7）與式（8）得：

由陣列流型與信號子空間張成同一空間可知，存在滿秩矩陣T，使得Ar=US rT，即AT=EsT，則有

由最小二乘法可得

式中 (·)+表示取廣義逆，對TΦT?1進(jìn)行特征分解，其特征值為進(jìn)而估計出θk。

綜上所述，本文算法步驟為：

1） 利用式(2)將接收數(shù)據(jù)從復(fù)矩陣轉(zhuǎn)化為實矩陣；

2） 利用式(3)和(4)計算數(shù)據(jù)協(xié)方差R′；

3） 將R′進(jìn)行分解得到信號子空間e，并通過式(5)進(jìn)行Toeplitz 矩陣重構(gòu)得到新的協(xié)方差矩陣R1；

4） 利用式（6）進(jìn)行酉變換，將R1轉(zhuǎn)化為實對稱矩陣R2，將其進(jìn)行特征分解得到信號子空間Es；

5） 利用式(9)進(jìn)行DOA 估計。

4 仿真分析

本節(jié)為進(jìn)一步驗證本文算法的DOA 估計能力，通過仿真試驗進(jìn)行分析。實驗采用均勻線陣，陣元間隔為半波長，信號入射角的范圍是0°～90°。當(dāng)實際信號角度與信號估計角度之差絕對值小于等于0.69°時，認(rèn)為估計成功。成功率定義為多次獨立實驗中正確的實驗次數(shù)和總實驗次數(shù)之間的比值。將相干系數(shù)實部全為正的條件記為A 類，相干系數(shù)實部不全為正的條件記為B 類，均方根誤差(root mean square error，RMSE)RMSE定義式如下：

式中：L為實驗的次數(shù)，為 θi（真實值）第j次估計結(jié)果。

仿真1算法有效性比較。有2 個完全相干的信號入射，入射角分別是20°和50°，快拍數(shù)300，陣元數(shù)11，相干系數(shù)為[1,?0.6?0.1j]，在信噪比為0 dB 的條件下，分別用前向空間平滑方法、ESPRIT-Like 算法和本文算法進(jìn)行20 次實驗。由圖3 可知，在相干系數(shù)實部為正的情況下，3 種算法均能有效估計DOA。

圖3 A 類且低信噪比的DOA 估計

僅改變信噪比，將其改為10 dB，如圖4 所示，3 種算法均能準(zhǔn)確估計DOA。說明在相干系數(shù)實部全為正和高信噪比的條件下，3 種算法均有效。

圖4 B 類且高信噪比DOA 估計

改變信噪比和相干系數(shù)，信噪比改為10 dB，相干系數(shù)改為[1,?0.6?0.1j]。圖5 為A 類且高信噪比DOA 估計。由圖5 可知，3 種算法均能有效估計DOA。說明在相干系數(shù)不全為正及高信噪比條件下，3 種算法均有效。

圖5 A 類且高信噪比DOA 估計

僅改變信號的相干性，入射信號的相干系數(shù)為[1,?0.6?0.1j]，由圖6 可知，ESPRIT-Like 算法已經(jīng)失效,本文算法和前向空間平滑ESPRIT 算法可以有效地估計DOA，并且本文算法精度較高。

圖6 B 類且低信噪比DOA 估計

仿真2 算法性能比較。假設(shè)入射信號的相干系數(shù)為[1,0.6?0.1j]，獨立實驗次數(shù)400，快拍數(shù)200，信噪比從?2 dB 增加到4 dB，其余實驗條件與實驗1 相同，與前向空間平滑ESPRIT 算法與ESPRIT-like 算法進(jìn)行對比。如圖7(a)所示，3 個算法的成功率均隨信噪比的上升而呈總體增大的趨勢，3 種算法的成功率均在61%以上，并且其他2 種算法成功率明顯低于本文算法。說明即使在高信噪比的條件下，本文算法的性能仍不低于ESPRIT-Like 算法，而前向空間平滑方法成功率明顯低于ESPRIT-like 算法和本文算法。

圖7 成功率隨信噪比的變化

改變信號的相干性，將入射信號的相干系數(shù)改為[1,?0.6?0.1j]，如圖7(b)所示，當(dāng)SNR ≤?1 dB時，ESPRIT-like 算法成功率為0，本文算法的成功率在80%以上，前向空間平滑ESPRIT 算法成功率明顯低于本文算法；當(dāng)?1 dB ＜SNR ≤6 dB時，ESPRIT-like 算法成功率雖不為0，但是其曲線和前向空間平滑ESPRIT 算法曲線仍在本文算法之下；當(dāng)SNR ≥7dB時，3 種算法的曲線重合，表明在低信噪比條件下，ESPRIT-like 算法已經(jīng)無法估計DOA 了，本文算法仍然可以估計DOA。

仿真3信噪比變化對算法性能的影響。為了比較前向空間平滑ESPRIT 算法、雙向空間平滑ESPRIT 算法、ESPRIT-like 算法和本文算法的DOA 估計性能，假設(shè)有2 個相干信號從10°和30°方向入射，相干系數(shù)為[1,0.62?0.1j]，信噪比為?5～4 dB，快拍數(shù)為100。

圖8 是RMSE 隨SNR 的變化圖，其結(jié)果為對每個SNR 點做500 次獨立實驗仿真的統(tǒng)計結(jié)果。如圖8(a)可知，4 種算法性能曲線隨著信噪比的增大而下降，本文算法的曲線在其他算法曲線的下方。這表明4 種算法在相干系數(shù)實部全為正的條件下均能有效地估計DOA，信噪比越高估計越準(zhǔn)確且本文算法估計性能最好。

圖8 RMSE 隨信噪比的變化

改變信號的相干性， 將相干系數(shù)改為[1,?0.62?0.1j]如圖8(b)和圖8(c)可知，ESPRITlike 算法的RMSE 非常高，已經(jīng)偏離正常范圍，表明ESPRIT-like 算法此時已經(jīng)失效。其他3 種算法均在合理范圍內(nèi)，本文算法RMSE 低于其他3 種算法。這表明在相干系數(shù)實部不全為正和低信噪比的條件下ESPRIT-like 算法無法有效估計DOA，其他2 種算法和本文算法在此時仍然有效且本文算法精度較高，可以準(zhǔn)確估計DOA。

仿真4 陣元數(shù)對算法性能的影響。入射角度為10°和45°，陣元數(shù)從11 增加至23，快拍數(shù)30，獨立實驗次數(shù)650，分別在相干系數(shù)為 [1,0.6?0.1j]及信噪比為0 dB 和相干系數(shù)為[1,?0.6?0.1j]及信噪比為0 dB 情況下進(jìn)行仿真實驗，由圖9(a)可知，在相干系數(shù)實部全為正條件下4 種算法的總體趨勢是RMSE 曲線隨著陣元數(shù)的增加而下降，而本文算法性能明顯優(yōu)于其他3 種算法。由圖9(b)和圖9(c)可知，在相干系數(shù)實部不全為正且低信噪比的條件下，盡管陣元數(shù)在增大，但ESPRIT-Like 算法的RMSE 曲線嚴(yán)重偏離了正常范圍，而本文算法和其他2 種算法卻仍然保持在正常范圍且本文算法RMSE 較小，其曲線隨著陣元數(shù)的增加而下降。這表明在相干系數(shù)實部不全為正的條件下，ESPRIT-Like 算法不會因為陣元數(shù)的增加而能有效地估計DOA，本文算法仍能有效地估計DOA。

圖9 RMSE 隨陣元數(shù)變化

仿真5快拍數(shù)對算法性能的影響。信號入射角度10°和50°，獨立實驗次數(shù)600，快拍數(shù)從100 增加至900，陣元數(shù)為11，分別在相干系數(shù)為[1, 0.63?0.1j]及信噪比為0 dB 和相干系數(shù)為[1,?0.63?0.1j]及信噪比為0 dB 的情況下進(jìn)行仿真實驗。由圖10(a)可知，在相干系數(shù)實部全為正或者高信噪比條件下，4 種算法的曲線總體趨勢是隨快拍數(shù)的增加而下降，總體而言，其余4 種算法和本文算法的RMSE 大致相同且均在合理范圍內(nèi)，由于本文算法充分利用了最大特征向量所有信息的信號，因此性能明顯優(yōu)于其余3 種算法。這表明在ESPRIT-Like 算法有效的條件下，本文算法仍然有效且性能不低于其他4 種算法。由圖10(b)和圖10(c)可知，在相干系數(shù)實部不全為正且低信噪比的條件下，雙向空間平滑ESPRIT算法、前向空間平滑ESPRIT 算法和本文算法性能受快拍數(shù)影響不大，RMSE 較小且隨快拍數(shù)增大變化平緩且本文算法RMSE 低于其他2 種算法，但ESPRIT-Like 算法的RMSE 很大，嚴(yán)重偏離了正常范圍。說明無論快拍數(shù)有多大，本文算法仍然可以有效地估計DOA，而ESPRIT-Like 算法完全失效。

圖10 RMSE 隨快拍數(shù)變化

仿真6運算效率對比。信號入射角分別為20°和50°，快拍數(shù)為300，陣元數(shù)為11，相干系數(shù)為[1, 0, 5?0.2j]，信噪比為0 dB，本文算法、前向空間平滑算法、后向空間平滑算法和ESPRITLike 算法運行時間如表1 所示。

表1 運行時間對比

由表1 可知，本文算法的運行時間低于其他算法的時間，是ESPRIT-Like 算法的71.2%左右，這是由于本文算法采用酉變換將復(fù)數(shù)運算轉(zhuǎn)化為實值運算以及用矩陣重構(gòu)的方法取代空間平滑方法，使得計算量得到降低，運算效率得到提高。

5 結(jié)論

1）本文提出了基于矩陣重構(gòu)和酉變換方法的算法進(jìn)行解相干，該方法通過將觀測數(shù)據(jù)通過酉變換并進(jìn)行實值化處理，充分利用了陣列接收數(shù)據(jù)及其共軛的信息，提高了估計性能，降低了計算量，進(jìn)一步利用信號子空間的信息得到具有Toeplitz 性質(zhì)的新協(xié)方差矩陣，提高了DOA 估計精度。

2）進(jìn)行了相應(yīng)的理論分析和計算機仿真，并與ESPRIT-like 算法以及空間平滑類算法進(jìn)行了對比。分析和仿真的結(jié)果表明，ESPRIT-Like 算法會在相干系數(shù)實部不全為正以及低信噪比的條件下失效，無法準(zhǔn)確估計DOA，而本文算法在此條件下，仍可以準(zhǔn)確地估計DOA，且在高信噪比或相干系數(shù)實部全為正條件估計精度優(yōu)于ESPRITLike 算法。

此外，本文算法的性能及運算效率優(yōu)于前向空間平滑ESPRIT 算法、雙向空間平滑ESPRIT 算法。由于本文算法研究局限于一維相干信號DOA 估計這一問題，所以將其應(yīng)用至二維相干信號DOA 估計成為后續(xù)研究的重要內(nèi)容。