柔性多關(guān)節(jié)移動(dòng)機(jī)器人非線性控制軌跡的二次模糊逼近

牛星星

(商洛職業(yè)技術(shù)學(xué)院 師范教育系,陜西 商洛 726099)

0 引言

柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂能夠高度模擬人體手臂的功能,并可采用位置、電阻和阻抗等多種控制方法,在某些應(yīng)用領(lǐng)域替代人類操作。但在實(shí)際的運(yùn)行過程中,對非線性軌跡控制存在不確定性因素以及外界干擾,使機(jī)器人內(nèi)部原本的數(shù)學(xué)軌跡模型受到干擾,容易發(fā)生控制誤差大的問題。為提高柔性多關(guān)節(jié)移動(dòng)機(jī)器人在非線性軌跡控制中的適應(yīng)性和自主控制能力,需要貼合機(jī)器人的結(jié)構(gòu)參數(shù),制定精準(zhǔn)的非線性控制方案,使機(jī)器人在不確定的情況下實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)處理,保證安全和工作質(zhì)量。

當(dāng)前的研究大部分集中在線性軌跡控制領(lǐng)域,例如:文獻(xiàn)[1]采用迭代學(xué)習(xí)算法實(shí)現(xiàn)控制,通過機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型求解線性變化參數(shù),結(jié)合機(jī)器人控制受限因素對參數(shù)優(yōu)化,并建立自適應(yīng)控制函數(shù),解決控制問題,但該方法提出的求解函數(shù)忽略機(jī)器人的動(dòng)態(tài)參數(shù)變化影響,導(dǎo)致控制誤差較大。文獻(xiàn)[2]根據(jù)機(jī)器人的動(dòng)力特點(diǎn),設(shè)計(jì)動(dòng)力學(xué)控制器,利用流技術(shù)改善機(jī)器人軌跡點(diǎn)跟蹤跳變問題,將動(dòng)力觀測參數(shù)與控制器結(jié)合完成控制。以上常規(guī)方法運(yùn)用到非線性控制領(lǐng)域時(shí),由于機(jī)器人動(dòng)力變化距離、角度等參數(shù)影響較大,且二者之間存在差異,未分別求解導(dǎo)致控制算法存在誤差,穩(wěn)定性較差。

綜上所述,本文提出針對柔性多關(guān)節(jié)移動(dòng)機(jī)器人非線性控制的二次模糊逼近方法,采用Lagrange法構(gòu)建動(dòng)力學(xué)模型,基于 HJI理論建立自適應(yīng)控制器,采用加權(quán)平均和乘積推理法使得自適應(yīng)規(guī)律符合矢量參數(shù),使控制算法無限貼近真實(shí)的運(yùn)動(dòng)規(guī)則,采用李亞普諾夫函數(shù)對控制函數(shù)增加穩(wěn)定性二次逼近,通過自適應(yīng)值狀態(tài)調(diào)整,使其符合最佳的穩(wěn)定輸出情況。經(jīng)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證,經(jīng)過本文控制后的角度變動(dòng)范圍明顯較低,穩(wěn)定性增強(qiáng),角度變化在5°～-5°之內(nèi),符合初始設(shè)定標(biāo)準(zhǔn)。

1 柔性多關(guān)節(jié)移動(dòng)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型

為避免在實(shí)際運(yùn)行中,移動(dòng)機(jī)器人受到不確定性因素以及外界干擾,首先對柔性多關(guān)節(jié)移動(dòng)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型系統(tǒng)進(jìn)行分析,為下一步非線性控制提供數(shù)據(jù)參考,有效降低誤差。

采用Lagrange法構(gòu)建動(dòng)力學(xué)模型[3],機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型如圖1所示。

圖1 機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型示意

多關(guān)節(jié)機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型表達(dá)式為

H(q)q″+C(q·q″)q″+G(q)+F(q)+χn(q·q″)=χn

(1)

為保證機(jī)器人運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性和收斂性,動(dòng)力學(xué)方程[7]需要滿足以下結(jié)構(gòu)特性:

H(q)屬于對稱正矩陣規(guī)律[8],即

(2)

式中λm(H)表示標(biāo)準(zhǔn)對稱正矩陣的特征值。

設(shè)置一個(gè)矢量參數(shù),使機(jī)器人的慣性定律矩陣H(q)、離心力矩陣C(q·q″)、重力矩陣G(q)以及動(dòng)態(tài)摩擦矩陣F(q)之間滿足線性關(guān)系[9]:

H(q)θ+C(q·q″)ρ+F(q)=(q·q″·ρ·θ2)

(3)

式中:θ表示線性正相關(guān)參數(shù);ρ表示線性負(fù)相關(guān)參數(shù)。

2 柔性多關(guān)節(jié)移動(dòng)機(jī)器人非線性控制模糊逼近方法

2.1 一次模糊逼近原則下的控制器設(shè)計(jì)

為確保非線性控制算法在實(shí)際環(huán)境中的高效應(yīng)用,避免不確定性因素以及外界干擾,以上述過程給出的動(dòng)力學(xué)特征參數(shù)為參考基礎(chǔ),基于 HJI理論建立自適應(yīng)控制器。Hamilton-Jacobi不等式理論表述為給定任意一個(gè)正數(shù)C,如果存在一個(gè)正定且可微的函數(shù)F≥0,則滿足魯棒條件,控制器設(shè)計(jì)過程如下。

1)模糊自適應(yīng)規(guī)則[10]。將上述過程求得的矢量參數(shù)作為初始輸入值,采用加權(quán)平均和乘積推理法使得自適應(yīng)規(guī)律符合矢量參數(shù),使控制算法無限貼近真實(shí)的運(yùn)動(dòng)規(guī)則,保證機(jī)器人的合理運(yùn)動(dòng)。在此之上,還通過約束控制器內(nèi)部參數(shù)的權(quán)重值[11],達(dá)到控制點(diǎn)和目標(biāo)點(diǎn)的高度適應(yīng)環(huán)境,提高控制精準(zhǔn)度的同時(shí)還能為下一步的穩(wěn)定性約束提供重要幫助,表達(dá)公式為

(4)

(5)

對于模糊自適應(yīng)規(guī)則中的初始矢量輸入值,判定存在n個(gè)輸入時(shí),有n2個(gè)數(shù)值輸出,其中n2可以看作是上述規(guī)則的重疊。

為保證控制算法可以有效滿足預(yù)先設(shè)定條件,確?？刂破鞯妮敵鲋岛推谕礫13]高度相符,采用模糊逼近定理規(guī)整控制函數(shù),使得控制輸出值不斷接近期望值。上述過程說明了模糊逼近定理可以很好地應(yīng)用在自適應(yīng)規(guī)則中,系統(tǒng)能以任意精度逼近控制數(shù)據(jù)集上的目標(biāo)連續(xù)函數(shù)。因此,可巧妙運(yùn)用該定理對多關(guān)節(jié)機(jī)器人的判定誤差和不確定干擾因素詳細(xì)辨識(shí)。模糊自適應(yīng)控制設(shè)計(jì)如式(6)所示模糊系統(tǒng)中的自適應(yīng)規(guī)律,0=f(x),使模糊系統(tǒng)隨著被控對象的變化而變化。

根據(jù)上述過程給出的動(dòng)力學(xué)方程(4),采用滑模公式將控制信號設(shè)定為

τ=u0+u1+u2

(6)

當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定點(diǎn)時(shí),即u0、u1、u23項(xiàng)控制器輸出值存在:

u0=M0(w)wr+C0(w,wr)wr+G0(w)

(7)

u1=-M0(w)ae-(w/wr)M0(wr)ae-C0(w,wr)

(8)

u2=[-h1(s1),-h2(s2),…,-hn(sn)]

(9)

式中:u0、u1、u2分別表示控制器中3項(xiàng)非線性控制穩(wěn)定輸出值;M0表示控制器的初始質(zhì)量輸出;w、wr分別表示初始控制權(quán)重和穩(wěn)定控制后的權(quán)重;C0表示控制器的初始離心力輸出;G0表示控制器的初始重力輸出;ae表示自適應(yīng)率[14];hn表示自適應(yīng)控制器的模糊輸出值;sn表示自適應(yīng)的平均參數(shù)。

設(shè)機(jī)器人的標(biāo)準(zhǔn)非線性控制器的輸出表達(dá)公式為

hi(si)=risiβ(si)

(10)

式中β表示自適應(yīng)系數(shù)。

2.2 二次逼近的穩(wěn)定性優(yōu)化控制

為保證控制器對多關(guān)節(jié)機(jī)器人非線性軌跡控制的精準(zhǔn)性和穩(wěn)定性,采用李亞普諾夫函數(shù)對控制函數(shù)增加穩(wěn)定性二次逼近,通過自適應(yīng)值狀態(tài)調(diào)整[15],使其符合最佳的穩(wěn)定輸出情況。

李亞普諾夫穩(wěn)定性的判定定理為:若存在一個(gè)連續(xù)性的微正定函數(shù)V(x),那么其導(dǎo)出函數(shù)值一定為半負(fù)定函數(shù)V″(x),原點(diǎn)則穩(wěn)定。根據(jù)該原理,控制器的穩(wěn)定性優(yōu)化表達(dá)公式為

(11)

式中:y和yt分別表示穩(wěn)定性輸入、輸出參數(shù)。根據(jù)上述過程建立的非線性控制器可知,控制算法的穩(wěn)定性輸出參數(shù)yt可以不斷逼近期望參數(shù),需要預(yù)先對擾亂因素識(shí)別修正,即

|(K-1εd)i-ηnzi|κi≤φi

(12)

則

ηnzi|κi≥|(K-1εd)i-φi

(13)

式中:K-1表示逼近矩陣中的角元素;εd表示控制函數(shù)中的第d個(gè)向量值;ηnzi表示李亞普諾夫系數(shù);κi表示修正系數(shù);φi表示擾亂量。

從公式中可以看出,φi≤0為已知條件,通過不迭代尋優(yōu)來修正最佳穩(wěn)定參數(shù)。

3 控制方法性能的實(shí)驗(yàn)測試

3.1 測試背景

為驗(yàn)證文中提出方法的有效性,以MOTOMAN GP225柔性多關(guān)節(jié)移動(dòng)機(jī)器人作為本次實(shí)驗(yàn)對象,以B樣條曲線軌跡控制為非線性控制測試樣例。機(jī)器人存在抓取角度誤差、抓取距離誤差、抓取力大小、關(guān)節(jié)控制力矩以及路徑選擇長短等多個(gè)測試方面,為保證實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的說服力,選擇其中最為重要抓取角度誤差和關(guān)節(jié)控制力矩進(jìn)行測試。機(jī)器人的詳細(xì)物理參數(shù)如表1所示。

表1 柔性多關(guān)節(jié)移動(dòng)機(jī)器人結(jié)構(gòu)詳細(xì)參數(shù)

柔性多關(guān)節(jié)移動(dòng)機(jī)器人結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 柔性多關(guān)節(jié)移動(dòng)機(jī)器人結(jié)構(gòu)示意

由圖2可知,關(guān)節(jié)1和關(guān)節(jié)2位置抓取移動(dòng)的幅度大小不同,關(guān)節(jié)1位置運(yùn)動(dòng)幅度較小,角度變化也就較小;關(guān)節(jié)2位置幅度較大,角度值同時(shí)也就相對大一些。設(shè)置分揀物的位置為距機(jī)器人5m,東南角5°～-5°內(nèi)。

3.2 實(shí)驗(yàn)參數(shù)設(shè)置

為保證實(shí)驗(yàn)質(zhì)量,對測試環(huán)境中存在的不確定干擾因素和建模誤差,采用高斯擾動(dòng)函數(shù)約束,表達(dá)公式為:

(14)

3.3 角度誤差控制效果判定

跟蹤自適應(yīng)控制前和控制后的抓取軌跡,通過角度抓取軌跡值來判定文中算法的控制角度誤差,抓取軌跡越平穩(wěn),代表控制效果越佳。具體實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖3所示。

圖3 機(jī)器人關(guān)節(jié)1和關(guān)節(jié)2位置跟蹤控制判定

從圖3中可以看出,未自適應(yīng)控制前,機(jī)器人關(guān)節(jié)1和關(guān)節(jié)2位置的角度變化范圍都相對較大。這說明控制前機(jī)械臂的軌跡變化存在過度擾動(dòng)現(xiàn)象,穩(wěn)定性差且魯棒性低,目標(biāo)點(diǎn)和預(yù)判抓取位置的控制軌跡存在誤差,導(dǎo)致控制角沒有按照預(yù)先規(guī)定路線,影響分揀抓取的精準(zhǔn)度。其中,由于關(guān)節(jié)臂擺動(dòng)幅度大小的影響,關(guān)節(jié)2的抓取角度誤差要明顯大于關(guān)節(jié)1的抓取角度誤差。而經(jīng)過本文控制后的角度變動(dòng)范圍明顯較低,穩(wěn)定性增強(qiáng),整體變化更符合線性變動(dòng),角度變化在5°～-5°之內(nèi),符合初始設(shè)定標(biāo)準(zhǔn)。說明經(jīng)過控制后抓取誤差下降,目標(biāo)點(diǎn)與抓取軌跡吻合度較高,算法魯棒性強(qiáng),應(yīng)用價(jià)值較高。

3.4 基于控制器輸出力矩的控制結(jié)果對比分析

控制器的輸出力矩更能展現(xiàn)機(jī)器人自適應(yīng)控制效果,輸出力矩越穩(wěn)定,控制效果越佳,與基于迭代學(xué)習(xí)的機(jī)器人控制算法、基于模糊干擾觀測器的滑模跟蹤控制算法對比分析,結(jié)果如圖4—圖6所示。

圖4 迭代學(xué)習(xí)法關(guān)節(jié)1和關(guān)節(jié)2控制器輸出力矩

圖5 模糊干擾法關(guān)節(jié)1和關(guān)節(jié)2控制器輸出力矩

圖6 本文方法關(guān)節(jié)1和關(guān)節(jié)2控制器輸出力矩

從圖4—圖6中可以看出,3種方法中經(jīng)過本文方法控制后,機(jī)器人的輸出力矩最為平穩(wěn),不僅消除了因機(jī)械臂不穩(wěn)定導(dǎo)致的力矩抖振現(xiàn)象,還提高了機(jī)器人的系統(tǒng)性能。從圖6中還可看出,在整個(gè)檢測時(shí)間內(nèi),關(guān)節(jié)2控制器的輸出力矩保持穩(wěn)態(tài)收斂現(xiàn)象,關(guān)節(jié)1也只出現(xiàn)了小部分的不穩(wěn)定波動(dòng)。這是因?yàn)?對于幅度較小的模量來說,控制算法需要在短時(shí)間內(nèi)精準(zhǔn)控制,難度較大,所以,出現(xiàn)小部分的控制難度屬于正?，F(xiàn)象,對整體影響不大。

反觀圖4、圖5另外兩種方法的控制結(jié)果,無論是小關(guān)節(jié)還是大關(guān)節(jié)都存在大范圍的紊亂波動(dòng)現(xiàn)象,穩(wěn)定性很差且力矩抖振現(xiàn)象嚴(yán)重。說明二者沒有實(shí)現(xiàn)精準(zhǔn)有效的控制,同時(shí)也反映出機(jī)器人可能出現(xiàn)非線性控制量與實(shí)際量不匹配或是控制點(diǎn)查找錯(cuò)誤等現(xiàn)象。整體控制效果較差,會(huì)使機(jī)器人出現(xiàn)錯(cuò)誤抓取和二次抓取現(xiàn)象,耗用較高,效率較低,實(shí)際應(yīng)用效果欠佳。

4 結(jié)語

本文針對柔性多關(guān)節(jié)移動(dòng)機(jī)器人動(dòng)力特征變動(dòng)較大及環(huán)境干擾量較多的問題,提出一種二次逼近算法實(shí)現(xiàn)有效控制。非線性軌跡控制是機(jī)器人系統(tǒng)中的難題,本文方法針對不確定性因素具有較好的魯棒性,通過自適應(yīng)規(guī)律和線性動(dòng)力學(xué)模態(tài)特征捕捉,提高控制算法與實(shí)際控制參數(shù)之間的關(guān)聯(lián)性,確保數(shù)據(jù)間的高度統(tǒng)一,提高精準(zhǔn)度。本文充分利用二次逼近函數(shù)的優(yōu)點(diǎn)并結(jié)合穩(wěn)態(tài)的矢量函數(shù)在最大程度上保證控制的精準(zhǔn)度和穩(wěn)定性。經(jīng)過本文方法控制后,機(jī)器人的輸出力矩最為平穩(wěn),不僅消除了因機(jī)械臂不穩(wěn)定導(dǎo)致的力矩抖振現(xiàn)象,還提高了機(jī)器人的系統(tǒng)性能。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)也進(jìn)一步證明了本文方法的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。