基于LMI和擾動觀測器的電動伺服系統(tǒng)RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制

李曉飛,范元勛,許鹿輝

(南京理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院,江蘇 南京 210094)

0 引言

電動伺服系統(tǒng)又稱電動直線負(fù)載模擬系統(tǒng)(ELLS),是對某型號航天用直線舵機(jī)進(jìn)行硬件在環(huán)仿真的一種試驗裝置,可實現(xiàn)在一定精度范圍內(nèi)對直線舵機(jī)的動態(tài)加載。但由于系統(tǒng)本身存在的不確定性和舵機(jī)位置輸入所產(chǎn)生的多余力干擾,使得ELLS在實際加載的過程中很難實現(xiàn)對輸入信號的實時動態(tài)跟蹤[1]。因此,實現(xiàn)對系統(tǒng)的精準(zhǔn)控制,提高加載過程中的準(zhǔn)確度,是ELLS的重點研究內(nèi)容。

目前,眾多學(xué)者通過不同的控制理論對類似系統(tǒng)進(jìn)行準(zhǔn)確的跟蹤控制,主要有滑?？刂?、自抗擾控制、模型自適應(yīng)控制及模糊和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)等控制方式。針對控制系統(tǒng)中存在的非線性問題,LIU等[2]提出了一種基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)近似的反演滑?？刂品椒ú⒗蒙窠?jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近器來在線估計航天器的動力學(xué)不確定性,有效地減少了滑?？刂频亩墩?。聶守成等[3]利用干擾觀測器估計模型的不確定性并將其引入滑模切換函數(shù)中,結(jié)合自適應(yīng)算法完成對系統(tǒng)的位置跟蹤。對于未知的負(fù)載轉(zhuǎn)矩擾動,董中華等[4]針對采摘機(jī)械臂的不確定性設(shè)計一種PSO-RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)控制器,有效地實現(xiàn)軌跡的跟蹤。

在具有反饋環(huán)節(jié)的控制系統(tǒng)設(shè)計過程中,需經(jīng)?？紤]系統(tǒng)中存在的不確定性等約束條件,在處理這些問題時,其中一種思路就是將其轉(zhuǎn)換為一個帶有LMI約束的最優(yōu)化問題[5]。孫宜標(biāo)等[6]將通過擴(kuò)張觀測器與LMI滑?？刂平Y(jié)合,應(yīng)用到直線伺服系統(tǒng)中,提高了系統(tǒng)的魯棒性。

為了提高系統(tǒng)的跟蹤精度,本文在建立系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式和跟蹤目標(biāo)模型的基礎(chǔ)上,基于LMI理論設(shè)計擾動觀測器并將其應(yīng)用到RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器中,結(jié)合仿真驗證該方法的有效性。

1 系統(tǒng)組成及其數(shù)學(xué)模型

1.1 結(jié)構(gòu)組成

根據(jù)系統(tǒng)的功能劃分,ELLS可分為加載系統(tǒng)、舵系統(tǒng)和測控系統(tǒng)3個組成部分,結(jié)構(gòu)組成如圖1所示。加載系統(tǒng)由PMSM、滾珠絲杠副及其之間的連接單元組成;舵系統(tǒng)由被測直線舵機(jī)組成;測控系統(tǒng)由上位機(jī)、工控機(jī)和數(shù)據(jù)采集單元組成。舵機(jī)被加載系統(tǒng)通過拉壓力傳感器與加載系統(tǒng)機(jī)械連接,以此完成對舵機(jī)的動態(tài)加載。由上位機(jī)編寫PMSM和舵機(jī)運動控制程序,經(jīng)TCP/IP傳送至工控機(jī),隨后分別通過EtherCAT協(xié)議和RS422通信將控制指令傳送至PMSM和舵機(jī),與此同時,工控機(jī)對上位機(jī)傳送過來的數(shù)據(jù)與采集卡接收的各傳感器數(shù)據(jù)進(jìn)行實時比較,形成閉環(huán)控制。

圖1 ELLS結(jié)構(gòu)組成示意圖

1.2 數(shù)學(xué)模型

ELLS的數(shù)學(xué)模型主要從PMSM和中間傳功環(huán)節(jié)的分析得到。采用d-q坐標(biāo)轉(zhuǎn)換對PMSM進(jìn)行建模。對其進(jìn)行簡化,令d軸id=0,得到定子電壓和電磁轉(zhuǎn)矩方程,這里直接給出動態(tài)方程[7],如式(1)所示。

(1)

式中:Lm、uq和iq分別為q軸的等效電感、定子電壓和電流;Rm為定子電阻值;ωe為轉(zhuǎn)子電角速度;Ke為反電動系數(shù),且Ke=Lmid+ψf,其中ψf為轉(zhuǎn)子永磁體磁鏈,id為d軸的等效定子電流;Kt為轉(zhuǎn)矩系數(shù),且Kt=pnψf,其中pn為極對數(shù);TL、Jm分別為折合到轉(zhuǎn)軸上的負(fù)載轉(zhuǎn)矩、等效轉(zhuǎn)動慣量;Bm為阻尼系數(shù);ωr為機(jī)械角速度。

視轉(zhuǎn)矩轉(zhuǎn)速傳感器為彈性元器件,結(jié)合滾珠絲杠的運動轉(zhuǎn)換關(guān)系,得到兩者的數(shù)學(xué)模型如式(2)所示。

(2)

式中:KA、θr、θl分別為轉(zhuǎn)矩轉(zhuǎn)速傳感器的剛度系數(shù)和輸入、輸出角位移;η和P分別為滾珠絲杠副的傳動效率和導(dǎo)程。

綜合式(1)和式(2),經(jīng)拉普拉斯變換,得到圖2所示的ELLS的模型。

圖2 ELLS函數(shù)方塊圖

(3)

(4)

2 控制器和擾動觀測器的設(shè)計及分析

2.1 目標(biāo)模型確定

(5)

(6)

2.2 基于擾動觀測器的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)LMI自適應(yīng)跟蹤控制

在實際應(yīng)用中,d不僅僅包括舵機(jī)對系統(tǒng)的擾動,還包括一些摩擦等非線性因素的影響,這些非線性因素的干擾導(dǎo)致d無法準(zhǔn)確獲得,而LMI作為一種數(shù)學(xué)工具,已經(jīng)被廣泛地應(yīng)用到現(xiàn)代控制理論中,主要原因就是控制系統(tǒng)中很多問題都可以轉(zhuǎn)換為LMI系統(tǒng)的可行性問題,即LMI約束下的凸優(yōu)化問題[8]。

定義擾動觀測器為

(7)

(8)

同樣,表達(dá)式α(x)往往包括非線性等因素的影響,獲取數(shù)學(xué)模型比較困難,而RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以對任意未知的非線性函數(shù)進(jìn)行逼近[9],因此這里使用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對α(x)進(jìn)行估計,取RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法為

(9)

(10)

因此

(11)

定義控制器設(shè)計為

(12)

設(shè)計李雅普諾夫函數(shù)如下

(13)

式中:P>0;P=PT;γ>0。

通過設(shè)計P,可以調(diào)節(jié)e的收斂,并且便于LMI的求解。對式(13)求導(dǎo),結(jié)合式(6)、式(8)、式(11)和式(12),得

(14)

(15)

設(shè)計RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)律為

(16)

(17)

為使不等式收斂,令Φ+αP0<0,α>0,即Φ<-αP0,其中P0=diag{P,I},則存在

(18)

將式(18)左右同乘以diag{P-1,I},令Q1=P-1,N=KQ1,可得第一個LMI為

(19)

式中AQ1+BN+*=AQ1+BN+(AQ1+BN)T。

根據(jù)Q1=P-1,P>0,可得第二個LMI為

Q1>0

(20)

根據(jù)以上分析,收斂性分析如下:

(21)

顯然閉環(huán)收斂結(jié)果為,當(dāng)t→∞時

(22)

增大P的特征值、δ或σ、α的值,可以提高收斂效果。

3 仿真驗證

針對以上分析,在MATLAB/Simulink模塊搭建式(7)所示的擾動觀測器及式(12)所示的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器模型,仿真原理如圖3所示。

圖3 控制仿真示意圖

系統(tǒng)中各環(huán)節(jié)的參數(shù)如表1所示。取α=40,δ=10,σ=0.001,經(jīng)MATLAB的YALMIP工具箱求解LMI的兩個不等式(19)、式(20),得擾動觀測器的參數(shù)Kd、控制器參數(shù)K及自適應(yīng)律參數(shù)P,結(jié)果如式(23)所示。

表1 系統(tǒng)各環(huán)節(jié)參數(shù)

(23)

同時,為了充分比較控制器在不同工況下的控制效果,在運動頻率相同的前提下,取PMSM做xr=1 000sin(6πt)、xr=1 000sin(10πt)的正弦加載,分別簡寫為1 000N-3Hz和1 000N-5Hz,直線舵機(jī)做L=2sin(6πt)和L=2sin(10πt)的正弦運動,分別簡寫為2mm-3Hz和2mm-5Hz,給出加入兩種觀測器后的跟蹤誤差曲線,如圖4所示(本刊黑白印刷,相關(guān)疑問咨詢作者)。為表示系統(tǒng)的擾動估計效果,圖5給出在2mm-5Hz工況下擾動觀測器的估計及其誤差曲線,圖6給出在1 000N-5Hz工況下RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對系統(tǒng)非線性項α(x)的估計及其誤差曲線。

E1—PID,1 000N-3Hz;E2—PID,1 000N-5Hz;E3—LMI,1 000N-3Hz;E4—LMI,1 000N-5Hz

D1—d設(shè)定;D2—d估計;DER—d估計誤差

A—α(x)設(shè)定;AP—α(x)估計;AE—α(x)估計誤差

由圖4可知,相對于PID控制,無論是在低頻3Hz還是在高頻5Hz的工況下,所使用的控制策略在系統(tǒng)穩(wěn)定運行后都能實現(xiàn)對加載力的準(zhǔn)確跟蹤,且誤差接近0,滿足指標(biāo),即控制系統(tǒng)擁有很好的魯棒性,而傳統(tǒng)PID控制在實現(xiàn)高精度跟蹤時,需要額外的前饋補(bǔ)償環(huán)節(jié),且需要根據(jù)不同工況實時調(diào)節(jié)PID中的3個參數(shù)。

由圖5可知,在設(shè)定的高頻工況穩(wěn)定運行后,擾動觀測器的估計值接近舵機(jī)運動所造成的位置擾動,而其估計的幅值與設(shè)置值的誤差在0.1%以內(nèi),滿足指標(biāo),同時將其值引入到控制器中,提高控制器的控制效果。

由圖6可知,RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對α(x)的幅值估計誤差小于1%,相位誤差小于1°,均滿足“雙十指標(biāo)”,而且幅值誤差主要由相位偏移所造成,RBF對非線性項的幅值具有很好的估計性能。

由以上分析可得,擾動觀測器和RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器在較高頻率下都能得到很好的控制和估計效果,且跟蹤誤差在所設(shè)定的性能指標(biāo)內(nèi),所提出的控制策略滿足高頻工況下動態(tài)加載準(zhǔn)確跟蹤。

4 結(jié)語

1)對于ELLS動態(tài)加載過程中存在的舵機(jī)位置干擾和摩擦引起的多余力等問題,基于LMI理論設(shè)計系統(tǒng)的擾動觀測器和控制器,并通過構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)證明了所提出的控制策略的有效性。

2)通過搭建仿真模型,證明了所提出的擾動觀測器和RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器分別對系統(tǒng)的擾動量和非線性因素的準(zhǔn)確估計,且兩者的誤差均滿足“雙十指標(biāo)”,而且通過加入擾動項,證明了所提出的控制器擁有很強(qiáng)的魯棒性。