基于漸開(kāi)線齒輪輪廓修形的疲勞壽命分析

呂建鋒,聶曉根,盛裕民,黃漢陽(yáng)

(福州大學(xué) 機(jī)械工程及自動(dòng)化學(xué)院,福建 福州360108)

0 引言

齒輪傳動(dòng)是眾多機(jī)械設(shè)備中應(yīng)用最廣泛的傳動(dòng)方式,因此齒輪失效帶來(lái)的影響也很大。實(shí)際生產(chǎn)中通過(guò)齒輪修形可以有效提高齒輪的強(qiáng)度,增加齒輪使用壽命。國(guó)內(nèi)外學(xué)者在齒廓修形中做了大量研究。李敦信[1]指出,任何一種齒廓修形方法都會(huì)因?yàn)辇X輪接觸對(duì)受載變形產(chǎn)生齒廓平衡變化,并提出了新的平衡條件。

齒輪傳動(dòng)是一個(gè)動(dòng)態(tài)過(guò)程,這個(gè)過(guò)程所產(chǎn)生的變形和誤差必然會(huì)隨著齒輪修形而變化,從而改變嚙合傳動(dòng)過(guò)程的動(dòng)態(tài)特性。因此,為了保證齒輪修形方法的效果,就需要對(duì)齒輪嚙合進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析。李學(xué)志等[2]對(duì)齒輪動(dòng)力學(xué)性能和修形進(jìn)行研究,基于不同修形方法得到修行前后嚙合動(dòng)態(tài)應(yīng)力變化圖,為齒輪動(dòng)力學(xué)分析提供有效依據(jù)。SANKAR等[3]通過(guò)ANSYS軟件建立齒輪嚙合對(duì),分析前后應(yīng)力分布,證明了齒廓修形可以提高齒輪強(qiáng)度。

本文介紹一種新的齒廓鼓形方法,在齒廓方向上,從齒根和齒頂開(kāi)始分別向分度圓位置微量鼓形,形成一條新的齒廓,按照此齒廓鼓形方法建立漸開(kāi)線齒輪的齒廓鼓形數(shù)學(xué)模型,通過(guò)UG建立三維模型,使用ANSYS Workbench中的瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)模塊分析齒輪接觸嚙合過(guò)程中的應(yīng)力和應(yīng)變,并結(jié)合Workbench中的Fatigue Tool模塊對(duì)修形前后齒輪的壽命進(jìn)行預(yù)測(cè)與比較,驗(yàn)證修形方法的有效性。

1 齒廓鼓形數(shù)學(xué)模型建立

1.1 漸開(kāi)線輪廓參數(shù)方程計(jì)算

在平面上,一條動(dòng)直線(發(fā)生線)沿著一個(gè)固定的圓(基圓)做滾動(dòng)的過(guò)程中,此直線上任一點(diǎn)的軌跡,就是這個(gè)基圓的一條漸開(kāi)線[4]。若基圓半徑為rb,以基圓圓心為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系,則在直角坐標(biāo)系下漸開(kāi)線的參數(shù)方程為

(1)

式中σ是定點(diǎn)與圓心連線和x軸之間的夾角,是漸開(kāi)線展角與壓力角之和。

漸開(kāi)線直齒圓柱齒輪的端面截形是漸開(kāi)線,如圖1所示。

圖1 漸開(kāi)線齒輪齒廓形成原理圖

BE和FH是漸開(kāi)線齒輪的一對(duì)齒廓漸開(kāi)線,關(guān)于ym軸對(duì)稱,AK是標(biāo)準(zhǔn)漸開(kāi)線AK繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)β角度后形成的,漸開(kāi)線齒輪的漸開(kāi)線齒廓AK的參數(shù)方程可由下式求得:

(2)

因此漸開(kāi)線直齒圓柱齒輪的漸開(kāi)線齒廓參數(shù)方程為

(3)

由圖1可知β角是1/2θ1角與θ角之差,其中θ1角是漸開(kāi)線齒輪的一個(gè)齒槽對(duì)應(yīng)分度圓圓弧的圓心角,若齒輪齒數(shù)為Z,則θ1=π/Z。θ角是漸開(kāi)線的展角,由漸開(kāi)線的定義可知θ=tanαk-αk,αk是齒輪壓力角,標(biāo)準(zhǔn)安裝齒輪壓力角為20°。因此,標(biāo)準(zhǔn)漸開(kāi)線繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至齒廓漸開(kāi)線的旋轉(zhuǎn)角度計(jì)算公式為

(4)

1.2 鼓形計(jì)算

本文提出的漸開(kāi)線齒輪齒廓鼓形修形方法,是在保證原有的漸開(kāi)線傳動(dòng)性能的前提下提高漸開(kāi)線齒輪的強(qiáng)度,具體鼓形修形思路如下:上述漸開(kāi)線齒輪的漸開(kāi)線參數(shù)方程是一個(gè)只與參數(shù)σ相關(guān)的方程。因此,每一個(gè)σ有且只有一個(gè)與其一一映射的方程數(shù)值,圖2為齒輪的漸開(kāi)線齒廓示意圖。

圖2 齒輪的漸開(kāi)線齒廓示意圖

圖2中C點(diǎn)是漸開(kāi)線上任一點(diǎn),過(guò)C點(diǎn)做基圓的切線切基圓于Q點(diǎn),由漸開(kāi)線的形成原理可知弧BQ與弦CQ長(zhǎng)度相等,設(shè)線段OC的長(zhǎng)度為r,則有:

(5)

基于這個(gè)原理,將σ作為橫坐標(biāo)將漸開(kāi)線展開(kāi),起點(diǎn)是漸開(kāi)線在齒輪齒根圓半徑對(duì)應(yīng)的σ值,設(shè)為σ1,終點(diǎn)是齒輪齒頂圓對(duì)應(yīng)的σ值,設(shè)為σ3,再取齒輪分度圓半徑對(duì)應(yīng)的σ值,設(shè)為σ2,如圖3所示。

圖3 鼓形原理圖

以參數(shù)σ為橫坐標(biāo),鼓形量h為縱坐標(biāo)建立坐標(biāo)系,半徑分別為r1和r2的圓弧交橫坐標(biāo)于σ1和σ3并相切于σ2,給定分度圓處鼓形量h0,兩圓弧的圓心坐標(biāo)分別為(σ2,h1)和(σ2,h2),則根據(jù)已知條件可以通過(guò)下列方程組求解兩端圓弧的半徑以及h1、h2的值為

(6)

代入已知點(diǎn)坐標(biāo)以及相切條件可知兩圓弧方程為

(7)

通過(guò)上式可知,在σ1至σ3范圍內(nèi),任意σ值都有與其唯一對(duì)應(yīng)的鼓形量h,如圖4所示。按照映射關(guān)系,在漸開(kāi)線的法線方向?qū)⒐男瘟考由闲纬晒男吻€AB。

圖4 齒廓鼓形對(duì)比圖

由漸開(kāi)線的形成原理,可知線段MQ即漸開(kāi)線法線方向,則漸開(kāi)線法線的單位向量求解式為

(8)

在MATLAB仿真軟件中對(duì)σ1～σ3區(qū)間取1 000個(gè)點(diǎn),分別代入式(7)中可以求得任意σ值對(duì)應(yīng)的鼓形量h,再將鼓形量h與單位向量相乘可獲得橫縱坐標(biāo)的增量,與漸開(kāi)線上相對(duì)應(yīng)σ值的點(diǎn)坐標(biāo)相加就可獲得σ1～σ3區(qū)間內(nèi)均勻的點(diǎn),擬合就可獲得鼓形曲線。圖5為分度圓鼓形量h0取0.005時(shí)的齒根部分鼓形曲線與漸開(kāi)線對(duì)照?qǐng)D。圖中右側(cè)是齒廓漸開(kāi)線,左側(cè)是鼓形線。同理也可以獲得拋物線的鼓形曲線,此處不再贅述。

圖5 MATLAB仿真的漸開(kāi)線與鼓形曲線

2 齒廓鼓形齒輪建模

為了充分利用各種軟件的優(yōu)點(diǎn),經(jīng)常需要在不同軟件之間進(jìn)行數(shù)據(jù)的傳遞。本文通過(guò)MATLAB軟件對(duì)鼓形曲線進(jìn)行建模,將齒根至齒頂范圍內(nèi)的σ值按照0.001的分度取點(diǎn),按照上述計(jì)算方法得到各個(gè)σ值對(duì)應(yīng)的鼓形量,最后得到鼓形曲線的均勻散列點(diǎn),將這些散列點(diǎn)保存為dat文件,便于實(shí)現(xiàn)MATLAB和UG軟件間的數(shù)據(jù)傳遞。

在MATLAB中分別建立好圓鼓形曲線和拋物線鼓形曲線的數(shù)學(xué)模型,按照表1參數(shù)輸入后獲得對(duì)應(yīng)齒輪的鼓形曲線的散列點(diǎn),將這些均勻散列點(diǎn)輸出為dat文件保存。

表1 漸開(kāi)線齒輪參數(shù)表

在UG10.0中分別導(dǎo)入保存的dat文件,擬合均勻散列點(diǎn)獲得擬合曲線。在得到擬合的近似漸開(kāi)線的鼓形曲線后,按照MATLAB計(jì)算結(jié)果畫好齒根圓、齒頂圓和分度圓,齒根過(guò)度圓弧半徑按照GB/T 1356—2001標(biāo)準(zhǔn)取0.38M,即0.76mm,再經(jīng)過(guò)UG陣列、修剪等命令繪制如圖6中所示齒輪的草圖輪廓,完成草圖繪制。經(jīng)過(guò)拉伸、孔命令等指令后得到圖7所示的鼓形齒輪三維模型。

圖6 齒輪模型草圖 圖7 齒輪三維模型

保存零件圖,在UG中新建裝配圖,將兩個(gè)同樣的圓鼓形齒輪按照接觸、對(duì)齊以及距離約束裝配好,按照同樣的裝配方法將拋物線鼓形齒輪以及UG中通過(guò)GC工具箱生成的同參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)漸開(kāi)線齒輪裝配好。圖8為通過(guò)上述建模及裝配方法得到的拋物線鼓形齒輪的裝配圖。

圖8 一對(duì)嚙合的拋物線鼓形齒輪

3 有限元實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

基于上述疲勞分析理論,在Workbench平臺(tái)對(duì)齒輪對(duì)做瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析,將建立好的齒輪嚙合模型分別導(dǎo)入Workbench中,添加合適的約束以及邊界條件,并最終對(duì)Fatigue Tool模塊計(jì)算結(jié)果進(jìn)行齒輪壽命分析。

3.1 瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析過(guò)程

在進(jìn)行瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析之前,需要設(shè)置齒輪本身的屬性,常用的齒輪材料有鋼、鑄鐵和非金屬材料以及一些性能好的合金材料,本文使用的材料是40Cr,齒輪材料特性如表2所示。

表2 齒輪材料特性表

借助Workbench的Transient Structural瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)求解模塊,將建立好的模型分別導(dǎo)入到Workbench中,使用Named Selection方法設(shè)置主動(dòng)輪和從動(dòng)輪的接觸面為齒輪所有輪齒的兩個(gè)側(cè)面,采取輪齒上的網(wǎng)格進(jìn)行加密而齒輪中心部分網(wǎng)格稀疏的方法,將接觸面區(qū)域網(wǎng)格劃分為2mm,其余部分采用5mm網(wǎng)格,選擇六面體為主的單元?jiǎng)澐址椒?得到節(jié)點(diǎn)數(shù)為52 260,單元數(shù)為29 752[5],如圖9所示。

圖9 嚙合齒輪網(wǎng)格劃分

齒輪瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析的關(guān)鍵是初始載荷步長(zhǎng)和加載約束的設(shè)置。為了便于結(jié)果收斂,設(shè)置計(jì)算時(shí)間為1s,將1s按步數(shù)分成25～250個(gè)子步,初始子步設(shè)置為20步,最小子步設(shè)置為25步,最大子步設(shè)置為250步,其他保持默認(rèn)設(shè)置;接觸設(shè)置中選擇設(shè)置好的齒輪接觸對(duì),接觸方式為有摩擦接觸Frictional,摩擦因數(shù)設(shè)置為0.2,法向剛度系數(shù)設(shè)置為1,設(shè)置每次迭代以及自動(dòng)二分,打開(kāi)大變形Large Deflection,關(guān)閉弱彈簧Weak Springs,其余保持默認(rèn);根據(jù)齒輪副運(yùn)動(dòng)狀況,對(duì)主動(dòng)輪和從動(dòng)輪均設(shè)置為繞z軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)副,其余自由度均約束為0,主動(dòng)輪施加5rad/s的轉(zhuǎn)速,從動(dòng)輪施加12 000Nmm的轉(zhuǎn)矩[6]。

3.2 瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)結(jié)果分析

通過(guò)對(duì)鼓形齒輪副以及標(biāo)準(zhǔn)齒輪副進(jìn)行瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析,得出如圖10所示的齒輪嚙合過(guò)程中的等效應(yīng)力云圖、等效應(yīng)變?cè)茍D。從圖中可以看出,嚙合過(guò)程中的最大等效應(yīng)力分布主要集中在齒輪節(jié)線以及齒輪的齒根處,這與實(shí)際情況相符合。齒輪齒根部的應(yīng)力集中將導(dǎo)致齒輪齒根處裂紋和斷裂的發(fā)生。當(dāng)安全系數(shù)取1.2時(shí),許用應(yīng)力[σ]=654MPa,由圖10可知齒輪所受最大應(yīng)力小于許用應(yīng)力,滿足強(qiáng)度要求。且圓鼓形齒輪的最大應(yīng)力和應(yīng)變?cè)?組齒輪副中最小,拋物線鼓形齒輪稍大,標(biāo)準(zhǔn)齒輪的最大應(yīng)力應(yīng)變最大。

圖10 齒輪瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析結(jié)果

3.3 齒輪壽命分析

本文使用Workbench自帶的壽命分析模塊Fatigue Tool對(duì)3對(duì)嚙合齒輪做壽命分析。圖11是齒輪壽命分析流程圖,本文主要論證漸開(kāi)線齒輪兩種曲線鼓形方法的可行性,選用默認(rèn)的循環(huán)載荷類型Fully Resversed,選擇古德曼修正理論。材料的特性主要包括材料的屈服強(qiáng)度以及S-N曲線等參數(shù),40Cr的材料S-N曲線如圖12所示[7]。

圖11 疲勞壽命分析流程圖

圖12 材料的S-N曲線

由于疲勞的載荷數(shù)據(jù)為瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析計(jì)算所得,將疲勞因子和載荷應(yīng)力因子設(shè)為1,選擇分析類型為stress life,得到如圖13所示疲勞壽命云圖。由圖可知齒輪對(duì)的最低壽命都集中在齒輪節(jié)線和齒根部,與應(yīng)力、應(yīng)變?cè)茍D相對(duì)應(yīng),符合實(shí)際,且標(biāo)準(zhǔn)齒輪最低壽命最小僅1.383 9×106次,拋物線鼓形齒輪最低壽命1.688 1×106次,圓鼓形齒輪最低壽命2.221 6×106次為最高。由此可見(jiàn)通過(guò)本文提出的齒廓鼓形修形可以有效提高齒輪的使用壽命。

圖13 齒輪疲勞壽命分析結(jié)果

4 結(jié)語(yǔ)

1)本文利用Workbench和Fatigue Tool對(duì)40Cr材料的直齒輪進(jìn)行了疲勞建模和壽命預(yù)測(cè)。

2)按本文所提輪齒修形方法,修形后齒輪的應(yīng)力、應(yīng)變集中位置并未改變,仍然集中在齒輪節(jié)線以及齒根處,且沒(méi)有超過(guò)許用應(yīng)力,符合實(shí)際標(biāo)準(zhǔn)。

3)研究表明圓鼓形齒輪的疲勞壽命要比拋物線鼓形齒輪的疲勞壽命高,且都高于標(biāo)準(zhǔn)齒輪。研究方法為提高齒輪性能提供了一種可借鑒的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。