初中數(shù)學(xué)教學(xué)中函數(shù)思維的培養(yǎng)與應(yīng)用研究

數(shù)學(xué)函數(shù)概念在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和日常生活中都具有重要價(jià)值，但在實(shí)際教學(xué)中，函數(shù)思維常被忽視或過度理論化，影響學(xué)生解決實(shí)際問題的能力的發(fā)揮。因此，本文將探索初中數(shù)學(xué)教師如何在教學(xué)中，通過精心的教學(xué)設(shè)計(jì)，自然融入函數(shù)思維的培養(yǎng)與應(yīng)用，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

一、初中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)與應(yīng)用函數(shù)思維的重要性

在初中數(shù)學(xué)中，函數(shù)思維至關(guān)重要，它是一種解決問題的思維方式，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力和抽象思維具有深遠(yuǎn)的影響。函數(shù)思維能幫助人們理解和分析生活中出現(xiàn)的各種現(xiàn)象，如速度—時(shí)間、價(jià)格—購(gòu)買量等關(guān)系，以做出合理決策。研究函數(shù)關(guān)系需要邏輯推理能力，例如，解決速度變化對(duì)到達(dá)時(shí)間影響的問題，就運(yùn)用了函數(shù)思維。此外，它還能提升學(xué)生的抽象思維能力，使學(xué)生能從具體實(shí)例中找出規(guī)律，這對(duì)數(shù)學(xué)及其他學(xué)科的學(xué)習(xí)都非常有益。因此，函數(shù)思維在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中起到橋梁和基石的作用，對(duì)提升學(xué)生的邏輯推理能力和抽象思維能力至關(guān)重要，教師要高度重視這一點(diǎn)。

二、初中數(shù)學(xué)教學(xué)中函數(shù)思維的培養(yǎng)與應(yīng)用策略

（一）建立函數(shù)模型

建立函數(shù)模型是孕育函數(shù)思維的橋梁，它能將錯(cuò)綜復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)語言，以便進(jìn)行深入的剖析。教師的角色是引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟函數(shù)的基本概念，如自變量、因變量及它們之間的函數(shù)關(guān)系。以人教版教材中的“矩形面積與長(zhǎng)寬的關(guān)系”為例，教師可以巧妙地提問：“如果矩形的長(zhǎng)是x，寬是y，那么面積S 應(yīng)如何表達(dá)？”這樣的問題能激發(fā)學(xué)生認(rèn)識(shí)到S 與x 和y 之間存在函數(shù)關(guān)系，即S=xy，這便是構(gòu)建基本函數(shù)模型的初步嘗試。教師應(yīng)教授學(xué)生如何巧妙地構(gòu)建這樣的模型，例如，在探討“速度、時(shí)間和路程”的關(guān)聯(lián)時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生建立速度為v，時(shí)間為t，路程為s 的函數(shù)模型s=vt。通過解決實(shí)際問題，教師可以讓學(xué)生親身體驗(yàn)函數(shù)模型的構(gòu)建過程，從而理解其內(nèi)在的數(shù)學(xué)邏輯。教師應(yīng)積極鼓勵(lì)學(xué)生嘗試用函數(shù)模型解決實(shí)際問題，比如，在規(guī)劃旅行時(shí)，學(xué)生可以依據(jù)汽車的平均速度和起點(diǎn)至目的地的距離，計(jì)算出預(yù)計(jì)的行駛時(shí)間。這樣的實(shí)踐應(yīng)用，能使學(xué)生將課堂所學(xué)的函數(shù)知識(shí)直接聯(lián)系生活，進(jìn)一步鞏固和深化對(duì)函數(shù)的理解。教師還應(yīng)強(qiáng)調(diào)對(duì)函數(shù)圖象的掌握和應(yīng)用。函數(shù)圖象如同一面直觀的鏡子，揭示了變量間的動(dòng)態(tài)關(guān)系，比如，在學(xué)習(xí)一次函數(shù)時(shí)，通過繪制y=kx+b 的圖象，學(xué)生可以直觀地觀察到當(dāng)k、b 變化時(shí)，函數(shù)圖象的形態(tài)和位置如何隨之演變，從而更深刻地理解函數(shù)的特性。

（二）探索函數(shù)性質(zhì)

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，培養(yǎng)和運(yùn)用函數(shù)思維扮演著重要角色，它能增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，使他們更有效地運(yùn)用知識(shí)解決實(shí)際問題。教師的首要任務(wù)是讓學(xué)生掌握函數(shù)的本質(zhì)，即一種數(shù)學(xué)關(guān)系，每個(gè)特定的輸入（自變量）都會(huì)對(duì)應(yīng)一個(gè)獨(dú)一無二的輸出（因變量）。以一次函數(shù)為例，f（x）=ax+b，其中a 和b 為常數(shù)，x 代表自變量，而f（x）為因變量。通過繪制函數(shù)圖象，教師能生動(dòng)地展示輸入與輸出間的關(guān)聯(lián)，幫助學(xué)生更直觀地理解函數(shù)的基本特性。教師可以通過更深入探討函數(shù)的特性，如單調(diào)性、奇偶性、周期性等，來深化學(xué)生對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)。以一次函數(shù)f（x）=ax+b 為例，當(dāng)a 的值大于0 時(shí)，函數(shù)是增函數(shù)；相反，當(dāng)a 小于0 時(shí)，函數(shù)則是減函數(shù)。這些性質(zhì)可以通過觀察圖象的走勢(shì)、比較不同x值對(duì)應(yīng)的f（x）值等方式進(jìn)行探索和證明，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)洞察力。此外，教師還可以將這種函數(shù)思維巧妙地融入解決實(shí)際問題的教學(xué)中，讓學(xué)生親身體驗(yàn)數(shù)學(xué)的實(shí)用價(jià)值和魅力。教師可以設(shè)計(jì)各種實(shí)際情境，比如，分析速度與時(shí)間的動(dòng)態(tài)關(guān)系、研究商品銷售價(jià)格與銷量的互動(dòng)模式等，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用函數(shù)模型去思考與分析，以數(shù)學(xué)為工具解決現(xiàn)實(shí)生活中的問題，從而彰顯數(shù)學(xué)的實(shí)踐意義。

（三）運(yùn)用函數(shù)思維解決問題

借助函數(shù)來解決問題，能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)學(xué)理論與現(xiàn)實(shí)生活中的情境相結(jié)合，使學(xué)習(xí)既富趣味性又具實(shí)用性。函數(shù)本質(zhì)上是輸入值與輸出值之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，它是將一個(gè)集合的元素巧妙地映射到另一個(gè)集合的元素。以一次函數(shù)為例，通過y=ax+b 的表達(dá)式，學(xué)生可以掌握自變量x 與因變量y 之間的內(nèi)在關(guān)系。它在描述和預(yù)測(cè)如速度與時(shí)間、距離與速度等實(shí)際問題中具有廣泛的應(yīng)用。為了深化學(xué)生對(duì)函數(shù)應(yīng)用的認(rèn)識(shí)，教師可以設(shè)計(jì)探討城市人口增長(zhǎng)的問題。城市人口P 與時(shí)間t 的關(guān)系可以用函數(shù)P（t）=at+b 來描述，其中a 和b 為常數(shù)。這樣的實(shí)例，使學(xué)生直觀地領(lǐng)悟到函數(shù)在描繪變化規(guī)律、預(yù)測(cè)未來趨勢(shì)等方面的強(qiáng)大功能。在人教版教材中，不乏利用函數(shù)模型解決實(shí)際問題的案例，如借助二次函數(shù)解析籃球的投籃軌跡、橋梁的設(shè)計(jì)等，這樣的建模過程既鍛煉了學(xué)生的抽象思維，也讓他們體驗(yàn)到數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問題中的實(shí)用價(jià)值。此外，通過繪制和分析圖象，學(xué)生能更直觀地探索函數(shù)的特性，如單調(diào)性、極值、周期性等。再如，研究函數(shù)y=x2 的圖象，學(xué)生可以直觀地理解函數(shù)的增減性，以及如何通過調(diào)整參數(shù)影響函數(shù)的形狀。

（四）強(qiáng)化函數(shù)運(yùn)算

強(qiáng)化函數(shù)運(yùn)算的教學(xué)過程是磨煉學(xué)生邏輯推理和抽象思維能力的重要環(huán)節(jié)。教師需清晰地闡述函數(shù)運(yùn)算的基本法則，涵蓋復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)及基本的加減乘除運(yùn)算，這些構(gòu)成了函數(shù)運(yùn)算的基石。以“一次函數(shù)”為例，詳盡地探討了函數(shù)的四則運(yùn)算概念。比如，如果（f x）=2x，g（x）=3x，那么（f x）+g（x）=5x，（f x）g（x）=6x2，這樣的實(shí)例生動(dòng)地展示了函數(shù)四則運(yùn)算的實(shí)質(zhì)。同時(shí)，教師可借助多元的習(xí)題和實(shí)例，讓學(xué)生在實(shí)踐中掌握并鞏固函數(shù)的運(yùn)算技巧。比如，設(shè)計(jì)一個(gè)實(shí)際情境：“一家工廠的生產(chǎn)效率每天增長(zhǎng)10%，如何計(jì)算一周后的總產(chǎn)量？”這樣的問題就巧妙地融入了指數(shù)函數(shù)的運(yùn)算，使學(xué)生在解決實(shí)際問題中體驗(yàn)函數(shù)運(yùn)算的妙用，從而提升他們的學(xué)習(xí)熱情和動(dòng)力。此外，利用圖形化的輔助工具，如幾何畫板、數(shù)學(xué)軟件等，動(dòng)態(tài)地展示函數(shù)運(yùn)算的過程，再如，對(duì)一次函數(shù)f（x）=ax+b，改變a 和b 的值，可以直觀地觀察到圖象的演變，幫助學(xué)生理解函數(shù)運(yùn)算對(duì)圖象形態(tài)的影響，從而深化對(duì)函數(shù)本質(zhì)的理解。最后，教師應(yīng)激發(fā)學(xué)生的自主探索精神，鼓勵(lì)他們嘗試不同的函數(shù)組合和運(yùn)算，點(diǎn)燃他們的創(chuàng)新思維火花。比如，提出開放性問題：“你能構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，經(jīng)過一次四則運(yùn)算后，其圖象會(huì)經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)嗎？”這樣的問題雖然沒有固定答案，卻能促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)思考，發(fā)掘新的函數(shù)關(guān)系，從而在探索中不斷成長(zhǎng)。

（五）創(chuàng)新思維的培養(yǎng)

創(chuàng)新思維的培養(yǎng)，能點(diǎn)燃學(xué)生的數(shù)學(xué)熱情，提升他們解決問題的技巧。比如，在教授函數(shù)概念時(shí)，可巧妙地融入生活中的實(shí)例，描繪速度與時(shí)間的關(guān)系、水位變化與時(shí)間的關(guān)聯(lián)，使學(xué)生在真實(shí)情境中領(lǐng)悟函數(shù)的真諦，激發(fā)他們探索和思考的熱忱。再如，設(shè)計(jì)一些開放性的問題，如“一輛以每小時(shí)60千米行駛的車輛，其行駛距離與時(shí)間的關(guān)系是怎樣的？”這樣的問題能啟發(fā)學(xué)生從多元角度進(jìn)行思考，從而培養(yǎng)他們的創(chuàng)新思維。在講解函數(shù)的特性和圖象時(shí)，教師不應(yīng)僅限于知識(shí)的傳遞，而應(yīng)激發(fā)學(xué)生主動(dòng)求知的欲望，鼓勵(lì)他們提出疑問。例如，學(xué)習(xí)一次函數(shù)時(shí)，讓學(xué)生嘗試調(diào)整函數(shù)表達(dá)式中的系數(shù)，觀察圖象的動(dòng)態(tài)變化，以此理解系數(shù)對(duì)函數(shù)圖象的影響力。這種探索式的學(xué)習(xí)模式能培養(yǎng)學(xué)生的獨(dú)立思考能力和創(chuàng)新思維。教師也可以設(shè)計(jì)一些富有創(chuàng)新性的問題，如“如何構(gòu)建一個(gè)函數(shù)，使其圖象經(jīng)過特定點(diǎn)或滿足特定條件？”這樣的問題沒有預(yù)設(shè)的答案，需要學(xué)生運(yùn)用已學(xué)的知識(shí)進(jìn)行創(chuàng)新性的思考，既鞏固了他們的函數(shù)知識(shí)，又提升了他們的創(chuàng)新思維能力。教師將函數(shù)理論與現(xiàn)實(shí)生活相關(guān)聯(lián)，能讓學(xué)生看到函數(shù)在解決實(shí)際問題中的價(jià)值。例如，教師引導(dǎo)學(xué)生剖析家庭電費(fèi)與用電量的關(guān)聯(lián)，或者研究股票價(jià)格與時(shí)間的關(guān)系，既能增強(qiáng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力，也能讓他們感受到數(shù)學(xué)的魅力，進(jìn)一步激發(fā)他們的創(chuàng)新思維。