雙時間尺度下的設(shè)備隨機退化建模與剩余壽命預(yù)測方法

張正新 胡昌華 司小勝 張偉

受工作環(huán)境和自身材料性能惡化等因素綜合作用的影響,設(shè)備的性能不可避免地發(fā)生退化,并逐步累積成失效.對于航空航天、高鐵列車、運載火箭、鉆井平臺等大型復(fù)雜系統(tǒng),一些關(guān)鍵設(shè)備的退化失效將帶來難以估量的經(jīng)濟損失、人員傷亡和環(huán)境破壞[1].如果能夠在關(guān)鍵設(shè)備失效前,準確地對其進行剩余壽命預(yù)測(Remaining useful life,RUL),就能夠及時主動地采取預(yù)防措施,避免災(zāi)難的發(fā)生.傳統(tǒng)的基于失效數(shù)據(jù)的方法需要同類設(shè)備的失效數(shù)據(jù),耗時長、成本高,不能適應(yīng)新形勢下設(shè)備壽命預(yù)測的需求.基于設(shè)備退化測量數(shù)據(jù)建立退化模型,進而對失效設(shè)備RUL預(yù)測的方法是一條經(jīng)濟可行的途徑[2?4].因此,設(shè)備的退化建模與剩余預(yù)測逐漸得到學(xué)者和工程技術(shù)人員的關(guān)注、研究和應(yīng)用,成為可靠性領(lǐng)域的一個研究熱點[5?9].

設(shè)備的退化軌跡往往具有隨機性,故基于隨機過程的方法成為退化建模中的主流方法.文獻中已有的相關(guān)研究可分為兩類:針對硬失效的退化建模方法和針對軟失效的方法.針對硬失效的建模方法,通常將設(shè)備的隨機退化過程作為協(xié)變量融入到比例風(fēng)險模型的失效率函數(shù)中,刻畫退化過程對設(shè)備失效的影響,進而實現(xiàn)設(shè)備的RUL預(yù)測[10?11];針對軟失效的方法,一般將設(shè)備隨機退化過程首次到達某個失效閾值的時間定義為設(shè)備的壽命,通過求解該首達時間的分布實現(xiàn)設(shè)備的壽命和剩余壽命預(yù)測[4?5].由于第二類方法具有物理意義直觀明確、計算簡單便捷、便于融入隨機效用等優(yōu)點,且工程實際中大量隨機退化系統(tǒng)的失效模式屬于軟失效,因此本文基于第二類方法展開研究.

時間尺度是退化建模和剩余壽命預(yù)測的基本要素之一,也是一個常被現(xiàn)有方法所忽視的問題.事實上,目前文獻中絕大多數(shù)的退化模型都只考慮了單一的時間尺度,包括退化模型中的自然時間、Li-ion電池退化模型中的充放電次數(shù)、金屬試樣疲勞試驗中的循環(huán)次數(shù)等,使用的都是單個時間尺度.在對實際系統(tǒng)的退化建模和RUL預(yù)測中,也會面臨雙時間尺度、甚至多時間尺度的問題.例如,在評估汽車輪胎保修期之前,需要確定一個時間和行駛路程雙時間尺度下的壽命分布[12];在對飛機起落架進行檢修決策時,需要考慮起落架服役的總時長、處于工作狀態(tài)的時長以及經(jīng)受的起落次數(shù)三個不同時間尺度下的壽命[13?14].再如,研究表明通電測試對貯存中的慣性儀表的性能退化有明顯的加速作用,而維護和備件訂購等決策都基于自然時間[15].因此,有必要考慮雙時間尺度下慣性儀表的退化建模和剩余壽命預(yù)測問題.此外,不同時間尺度通常也不是相互獨立的,由于設(shè)備運行過程中的隨機性,不同時間尺度之間的關(guān)系也難以通過確定性的函數(shù)描述.這些問題雖有一些學(xué)者展開了研究,但現(xiàn)有的雙時間尺度或多時間尺度失效模型都是基于傳統(tǒng)的失效數(shù)據(jù)[13?14,16],尚未發(fā)現(xiàn)關(guān)于雙時間尺度下設(shè)備隨機退化過程建模和RUL預(yù)測的文獻報道.

鑒于以上討論,本文提出了一種基于Wiener過程的雙時間尺度隨機退化建模和剩余壽命預(yù)測方法,利用隨機比例系數(shù)描述兩個時間尺度之間的關(guān)系,實現(xiàn)雙時間尺度下設(shè)備的退化過程建模.在此基礎(chǔ)上,推導(dǎo)了雙時間尺度下設(shè)備壽命和RUL分布的解析解,并討論了其與基于單時間尺度退化模型得到結(jié)果之間的關(guān)系.同時,給出了基于歷史退化數(shù)據(jù)的未知參數(shù)極大似然估計方法.最后,通過慣性平臺關(guān)鍵器件陀螺儀的退化建模和RUL估計驗證了所提方法的有效性.

1 隨機退化建模

基于Wiener過程的退化模型能夠?qū)Ψ菃握{(diào)的退化設(shè)備進行建模,且具有解析形式的首達時間分布,已經(jīng)廣泛應(yīng)用于激光發(fā)生器、LED燈、金屬材料等的退化建模和剩余壽命預(yù)測[17?19].因此,本文基于Wiener過程進行雙時間尺度下設(shè)備的退化建模.下面,首先給出單時間尺度下基于Wiener過程的退化模型.

1.1 單時間尺度隨機退化建模

令t時刻設(shè)備的退化狀態(tài)為X(t),基于Wiener過程來刻畫設(shè)備的退化,即

其中,λ0表示設(shè)備的初始退化水平,漂移系數(shù)λ1表示設(shè)備的退化速率,擴散系數(shù)σB和標準布朗運動B(t)一起,描述系統(tǒng)健康狀態(tài)的動態(tài)不確定性.λ0,λ1,σB及B(t)相互獨立.這里假設(shè)設(shè)備的退化表現(xiàn)為指標X(t)的增加,對于性能指標逐漸降低的設(shè)備,其退化過程可通過簡單的數(shù)學(xué)處理使其轉(zhuǎn)化為逐漸增加的退化過程.

顯然,式(1)所描述的退化模型適合對線性的退化過程進行建模.當(dāng)設(shè)備的退化軌跡呈現(xiàn)非線性特性時,可通過適當(dāng)?shù)淖儞Q,將退化軌跡線性化之后進行建模.這種變換可以通過對退化水平本身實現(xiàn),例如將指數(shù)型的退化軌跡對數(shù)化[20],也可以通過時間尺度變換實現(xiàn)[21].下文中的方法可以擴展到可線性化的非線性退化建模中與RUL預(yù)測中.

通常當(dāng)設(shè)備的狀態(tài)超過某個預(yù)定的失效閾值w時,不再滿足實際使用需求,認為設(shè)備失效.故將性能指標超過閾值w的首達時間定義為設(shè)備的壽命T,即

相應(yīng)地,tk時刻系統(tǒng)的剩余壽命Lk可表示為

1.2 雙時間尺度隨機退化建模

當(dāng)考慮兩個時間尺度t和τ時,設(shè)備的性能退化狀態(tài)X(t,τ)可以通過式(4)描述

其中,W(τ)是時間尺度τ下的一個標準布朗運動,與擴散系數(shù)σW一起表征由時間尺度τ引入的動態(tài)不確定性,λ2表示與時間尺度τ相關(guān)的退化速率.當(dāng)然,也可以借鑒雙時間尺度失效模型的常用的方法,解算出設(shè)備的使用率,進而借鑒加速退化模型的方法把使用率結(jié)合到退化模型中,把問題簡化成一個維度,并考慮兩個時間尺度之間的關(guān)系[22].為突出雙時間尺度與單時間尺度退化模型的聯(lián)系與區(qū)別,本文將設(shè)備壽命定義為

其中,Λ(t)用于描述時間尺度t與τ之間的關(guān)系.

模型(1)中假設(shè)漂移系數(shù)λ1與擴散系數(shù)σB相互獨立,模型(4)中同樣假設(shè)漂移系數(shù)λ1,λ1與擴散系數(shù)σW,σB相互獨立.這種假設(shè)被大多數(shù)基于Wiener過程的退化模型所采用.然而,Ye等最近考慮了漂移系數(shù)與擴散系數(shù)之間的關(guān)系,假設(shè)其之間滿足比例關(guān)系[23].當(dāng)考慮漂移系數(shù)與擴散系數(shù)之間的關(guān)系時,同樣可基于文獻[23]中的壽命分布結(jié)果,構(gòu)建雙時間尺度下的退化模型,推導(dǎo)過程類似.

模型(4)與現(xiàn)有的多退化量模型差異顯著.多退化量指的是表征設(shè)備性能的指標是多元的,即單維的退化狀態(tài)X(t)應(yīng)該表示成多維向量的形式X(t).而本文考慮的雙時間尺度退化模型中,刻畫設(shè)備性能退化狀態(tài)的隨機變量仍是一維的,但是時間尺度由t變成了[t,τ].可以認為,多退化量模型針對的是函數(shù)向量表示的退化過程,而本文考慮的是用兩個時間尺度的二元標量函數(shù)刻畫的退化過程.

如前所述,時間尺度之間通常是相互關(guān)聯(lián)的.本文也主要考慮兩個時間尺度相互關(guān)聯(lián)時的情形.當(dāng)兩個時間尺度t和τ相互不相關(guān)時,壽命分布的推導(dǎo)及參數(shù)估計等都將更加簡單.為簡單起見,兩個時間尺度t和τ之間的關(guān)系可以用如下函數(shù)表述

其中,γ表示時間尺度τ所占時間尺度t的比例.例如,若t和τ分別表示自然時間與工作時間,則γ為工作率.為了描述設(shè)備運行過程中的不確定性,這里假設(shè)γ為服從正態(tài)分布的隨機變量.當(dāng)然,根據(jù)設(shè)備的具體運行情況,也可以選擇服從其他類型分布的隨機變量刻畫不同時間尺度之間的關(guān)系.此外,這種關(guān)聯(lián)并不要求其中一個時間尺度為另外一個時間尺度的一部分,例如實例分析中通電時間與儲存時間的關(guān)系.對于其他不同形式的雙時間尺度,例如輪胎保養(yǎng)中涉及的行駛里程與使用時間[23],雖互不包含,但仍可用式(6)進行描述.

類似地,設(shè)備在某給定時刻tk的剩余壽命[Lk,Ψk]可定義為

本文的目的是求解[T,Λ]和[Lk,Ψk]的概率密度函數(shù)(Probability density function,PDF)及累積概率分布函數(shù)(Cumulative distribution function,CDF).為敘述方便,下文分別將單時間尺度和雙時間尺度退化模型記為M1和M2.

對比單時間尺度退化模型(1)和雙時間尺度退化模型(4)可知,本文提出的雙時間尺度模型是基于單時間尺度提出來的,能夠?qū)螘r間尺度模型包含為特例,當(dāng)λ2=0且σ2W=0時,雙時間尺度模型即為單時間尺度模型;同時,推導(dǎo)雙時間尺度下的壽命分布也需要基于單時間尺度退化模型的相關(guān)結(jié)果.然而,雙時間尺度退化模型并不僅僅是兩個單時間尺度模型的簡單疊加,還需要考慮了兩個時間尺度之間的相互關(guān)系.此外,單時間尺度退化模型結(jié)構(gòu)簡單,需要估計的參數(shù)少,但往往忽略了另一個時間尺度對退化過程的影響;雙時間尺度模型雖然需要確定的參數(shù)更多,但能夠提供更多的壽命分布信息,同時也為考慮不同因素對退化過程的影響提供了一條新的途徑.

2 壽命分布和剩余壽命分布推導(dǎo)

為了計算M1下設(shè)備壽命的PDF,需要用到單時間尺度下的一些壽命分布的一些結(jié)論以及條件概率公式.具體地

其中,θT=[λ0,λ1,λ2],fT|Λ,θ,M1(t|τ,θ,M1) 表示t時刻τ= Λ(t) 條件下的T的 PDF,fΛ|θ,M1(τ|θ,M1)用于描述時間尺度t與τ之間的關(guān)系.為計算fT|Λ,θ,M1(t|τ,θ,M1), 可將X(t,τ) 超過首達固定閾值w的時間分布,轉(zhuǎn)化成X(t)首達隨機失效閾值的時間分布.這里的隨機閾值可以表示為,根據(jù)Wiener過程的性質(zhì),隨機閾值?w服從正態(tài)分布,即. 設(shè)備在 [tk,τk] 時刻 RUL 的分布fLk,Ψk|θ,M2(lk,ηk|θ,M2) 可以采用類似的方法進行計算,即

因此,首先給出單時間尺度t,即M1下設(shè)備的壽命分布.根據(jù)文獻[18]中的結(jié)論,對于式(1)描述的隨機退化設(shè)備,給定λ0和λ1時,其壽命T和RULLk都有解析形式的PDF,即

其中,λT=[λ0,λ1],w0=w?λ0,wk=w?λk.

相應(yīng)地,如式(12)和式(13)所示,設(shè)備的壽命T和RULLk的CDF可據(jù)逆高斯分布的性質(zhì)得到,已被許多文獻引用與驗證,證明過程可參考文獻[24].

根據(jù)式 (10)和式 (11),利用文獻 [18]中的引理1,可以推導(dǎo)出單時間尺度下設(shè)備壽命和 RUL 的條件 PDF, 即fT|Λ,θ,M1(t|τ,θ,M1) 和fLk,Ψk|θ,M1(lk,ηk|θ,M1) 的表達式, 分別如式 (14)和式(15)所示.

利用文獻[19]中的相關(guān)結(jié)論,其對應(yīng)的CDF分別如式(16)和式(17)所示.

根據(jù)式 (6) 中的相關(guān)假設(shè),fΛ|θ,M1(τ|θ,M1) 和fΨk|θ,M1(ηk|θ,M1) 為正態(tài)分布,表達式為

將式(14)、(18)及式(15)、(19)代入式(8)和式(9),可得到雙時間尺度下設(shè)備壽命與RUL的分布.

進一步,可以基于以上雙時間尺度壽命分布的結(jié)果得到一些有用的結(jié)論.具體地,通過求解式(8)和式(9)關(guān)于時間尺度t和τ的邊緣分布,可得到單個時間尺度下的壽命和RUL分布,如式(20)和式(21)所示.若t為設(shè)備的儲存壽命,τ為設(shè)備的累計工作時間,可通過計算T和Lk的邊緣分布,求解考慮測試影響的系統(tǒng)的貯存壽命和剩余貯存壽命分布.

同理,可通過計算Λ和Ψk的邊緣分布,求解考慮貯存期系統(tǒng)性能退化影響的間歇工作系統(tǒng)的工作壽命和剩余工作壽命,具體過程與式(20)和式(21)類似.需要說明的是,通過求解雙時間尺度下壽命和RUL分布的對其中一個時間尺度的邊緣分布得到的其中一個時間尺度下設(shè)備的壽命和RUL分布,將考慮另外一個時間尺度對設(shè)備性能退化的影響,以及兩個時間尺度之間的關(guān)系,將會使壽命和RUL估計更準確.這一點將在第4節(jié)陀螺儀的RUL預(yù)測結(jié)果中得到進一步驗證.

本節(jié)的結(jié)論都是在模型參數(shù)已知的前提下得到的,而工程實際中往往需要根據(jù)設(shè)備的歷史退化數(shù)據(jù)確定模型的參數(shù).因此,下一節(jié)將考慮基于設(shè)備歷史觀測數(shù)據(jù)的模型參數(shù)估計方法.

3 模型參數(shù)估計

本節(jié)根據(jù)Wiener過程的性質(zhì),基于設(shè)備的歷史性能觀測數(shù)據(jù),利用極大似然估計來對模型中的未知參數(shù)進行估計.假設(shè)有N個系統(tǒng),其中第n個系統(tǒng)有mn次測量數(shù)據(jù),其第j次測量得到的結(jié)果和對應(yīng)的時間分別為xn,j,tn,j和τn,j.進一步,令分別表示第n個設(shè)備的退化數(shù)據(jù)和所有設(shè)備的退化數(shù)據(jù),未知參數(shù)記為服從多元正態(tài)分布,故其對數(shù)似然函數(shù)為

其中,tr(·)表示矩陣的跡運算.除式(23)外,令偏導(dǎo)數(shù)為零并不能得到解析的參數(shù)估計值,因此只能采用優(yōu)化算法優(yōu)化似然函數(shù)?(φ|x)得到參數(shù)的點估計值.在本文的實例研究中,采用的優(yōu)化算法是單純形法,即MATLAB中的多維優(yōu)化函數(shù)fminsearch.

為了得到未知參數(shù)φ的區(qū)間估計,?(φ|x)對未知參數(shù)φ求二階導(dǎo)數(shù),如式(26)～(31)所示.

基于以上二階微分的結(jié)果,可知參數(shù)φ的信息陣I(φ)為

其中,diag{·,·}為分塊對角矩陣,I1(φ) 與I2(φ)分別為

其中,

根據(jù)極大似然估計的性質(zhì),當(dāng)樣本足夠大時,可將點估計的結(jié)果?φ代入Fisher信息陣中,即I(φ),進而得到參數(shù)的區(qū)間估計.具體地,未知參數(shù)φ的置信度為a的區(qū)間估計為

其中,k=1,···,5,za= Φ?1(1?a)表示標準正態(tài)分布的1?a分位數(shù),為的估計值,而可基于Fisher信息陣和Delta方法得到,即

當(dāng)?shù)玫絽?shù)的點估計后,可用圖形化的方法表征雙時間尺度退化模型的擬合優(yōu)度(Goodness of fit).具體地,令yn,j=xn,j?xn,j?1為第n條退化軌跡的在第j?1個狀態(tài)監(jiān)測時刻的退化增量,易知yn,j服從均值和方差分別為μn,j=λ1?tn,j+λ1?Λn,j與的正態(tài)分布,其中,?tn,j=tn,j?tn,j?1,?Λn,j= Λn,j?Λn,j?1.故有如下統(tǒng)計量

其中,d(φ)表示模型參數(shù)的個數(shù).一般而言,極大對數(shù)似然函數(shù)?(?φ|x)的值越大,AIC的值越小,對應(yīng)的退化模型對退化數(shù)據(jù)的擬合越好.

將本節(jié)參數(shù)估計的結(jié)果代入上節(jié)的壽命和剩余壽命分布中,即可得到設(shè)備的壽命或者剩余壽命分布.至此,本文實現(xiàn)了基于歷史監(jiān)測數(shù)據(jù)的設(shè)備退化建模與剩余壽命預(yù)測.下一節(jié)將本文方法應(yīng)用于陀螺儀漂移系數(shù)退化數(shù)據(jù)的分析中,對所提方法進行說明和驗證.

4 實例研究

陀螺儀是慣性平臺的核心器件,常用于火箭、導(dǎo)彈等長期儲存一次使用的系統(tǒng)中.在陀螺儀的長期儲存過程中,其性能不可避免地發(fā)生退化,具體體現(xiàn)為其漂移系數(shù)的增加.當(dāng)陀螺儀的漂移系數(shù)超過一定閾值時,不能再滿足使用需求,故認為陀螺儀失效.工程實際中超過90%的陀螺儀失效為陀螺漂移系數(shù)超差[25].為了保證貯存陀螺儀的性能能夠滿足使用的要求,必須定期或不定期地對陀螺儀進行通電檢測.而通電檢測將會加速陀螺儀的性能退化,故累計通電時間也是衡量陀螺儀壽命的一項重要指標.因此,在對陀螺儀進行剩余壽命預(yù)測時,必須綜合考慮儲存時間t和檢測(通電)時間τ兩個時間尺度.

下面利用文獻[15]提供的陀螺儀漂移率歷史測試數(shù)據(jù)對本文方法進行驗證.該組數(shù)據(jù)包括了6組陀螺儀的漂移率數(shù)據(jù)、儲存時間數(shù)據(jù)以及每次檢測時長數(shù)據(jù).如圖1所示,陀螺儀的檢測是不定期進行的,且每次測試的時間為隨機變量.基于陀螺儀測試的時間數(shù)據(jù)以及每次測試的時長數(shù)據(jù),利用極大似然估計即可以得到式(6)中參數(shù)γ所服從的正態(tài)分布為N(0.2916,0.05642).

圖1 不同時間尺度下陀螺儀的漂移系數(shù)Fig.1 Gyroscopic drifts under different time scales

受篇幅限制,本文僅給出#3陀螺儀退化軌跡的相關(guān)結(jié)果.首先,利用所提極大似然估計方法計算模型中的未知參數(shù),所得結(jié)果如表1所示.時間尺度t下未知參數(shù)的似然函數(shù)明顯大于時間尺度τ下的似然函數(shù),這是因為陀螺儀的性能退化主要是由于通電測試引起的.進一步對比表1中的數(shù)據(jù)可知,雙時間尺度下退化模型中未知參數(shù)的對數(shù)似然函數(shù)更大,而時間尺度τ下AIC準則只略大于雙時間尺度下的AIC.因此,綜合兩個指標,雙時間尺度模型能夠更好地擬合陀螺儀的退化軌跡.

基于表1中的參數(shù)估計,可計算雙時間尺度下該陀螺儀的壽命分布,所得結(jié)果如圖2所示.需要說明的是,為了得到該陀螺真實的失效時間,這里選擇的是該陀螺最后一次測試的漂移值作為失效閾值,即w=0.2516,而不是文獻[15]所設(shè)定的w=0.5.這并不影響實驗的效果.圖2中壽命的PDF考慮了兩個時間尺度之間的隨機關(guān)系,故相較于單時間尺度下一維的壽命PDF,圖2能夠提供更多的壽命分布信息.

表1 #3陀螺儀的模型參數(shù)估計結(jié)果Table 1 Estimated parameters based on degradation path#3

此外,利用式(20)和式(21)計算該陀螺儀RUL在單個時間尺度t下的PDF,并利用類似的方法計算單個時間尺度τ下陀螺儀的剩余壽命的分布.同時,為了量化比較雙時間尺度和單時間尺度下剩余壽命預(yù)測的準確性,引入均方誤差(Mean squared error,MSE)指標.該指標既考慮了RUL預(yù)測值的準確性,又考慮了RUL分布的不確定性,是RUL預(yù)測中最常用的指標.其定義為

圖2 雙時間尺度下陀螺儀壽命的PDFFig.2 PDF of gyroscope#3 under bivariate time scale

圖3(a)和圖3(b)分別給出了時間尺度t下通過雙時間尺度和單時間尺度得到的設(shè)備RUL的PDF,即剩余貯存壽命的PDF.容易看出,通過雙時間尺度得到的結(jié)果,即考慮貯存過程中測試對性能退化的影響時,得到的RUL的PDF更緊致,說明預(yù)測的不確定性更小,準確度更高.從圖4中的MSE結(jié)果,能看出通過雙時間尺度得到RUL估計的MSE明顯小于通過單時間尺度得到的結(jié)果,進一步證實了所提方法的準確性.

圖3 時間尺度t下陀螺儀RUL的PDFFig.3 PDF of RUL under time scale t

圖4 儲存時間尺度下M1和M2下剩余壽命預(yù)測的MSEFig.4 MSE comparison of M1and M2under time scale t

在時間尺度τ下,兩種方法得到陀螺儀RUL的PDF分別如圖5(a)和圖5(b)所示.整體而言,圖5中的PDF曲線相比于時間尺度下的結(jié)果更緊致.因為陀螺儀的退化主要是由于通電測試引起的,通電時間與退化過程的相關(guān)程度更高.圖6中MSE遠小于圖4中的結(jié)果.對比圖5(a)與圖5(b)可知,在時間尺度τ下,通過雙時間尺度得到的RUL估計更準確,由雙時間尺度得到的RUL對應(yīng)的MSE明顯小于通過單個時間尺度得到結(jié)果.

綜合以上分析結(jié)果,基于雙時間尺度退化建模的RUL預(yù)測方法有兩個明顯優(yōu)點.1)該方法考慮了不同時間尺度之間的隨機關(guān)系,能提供更全面的設(shè)備壽命信息;2)預(yù)測結(jié)果能較方便地將轉(zhuǎn)化到單時間尺度下,且轉(zhuǎn)化后的結(jié)果比基于單時間尺度退化模型的預(yù)測方法精度更高.

5 結(jié)論

針對工程實際中一類性能變化過程與兩個時間尺度相關(guān)聯(lián)的隨機退化設(shè)備,本文提出了一種基于Wiener過程的雙時間尺度隨機退化建模與RUL估計方法.通過隨機系數(shù),刻畫時間尺度之間的不確定關(guān)系.在首達時間意義下,推導(dǎo)了雙時間尺度下設(shè)備壽命和RUL的分布,給出了基于設(shè)備歷史觀測數(shù)據(jù)的模型參數(shù)極大估計方法.陀螺儀RUL預(yù)測的實例應(yīng)用結(jié)果表明,所提方法不僅能提供更全面的RUL分布信息,而且預(yù)測結(jié)果能方便地轉(zhuǎn)換到單時間尺度下,并有效提高單時間尺度下RUL預(yù)測的準確性.

圖5 時間尺度τ下陀螺儀RUL的PDFFig.5 PDF of RUL under time scale τ

圖6 檢測時間尺度下M1和M2下剩余壽命預(yù)測的MSEFig.6 MSE comparison of M1and M2under time scale τ

雖然所提出方法較之前的方法有一定的改進,但仍有一些問題值得進一步研究.1)基于Wiener過程的模型一般適合對非單調(diào)退化過程進行建模,而工程實際中也存在大量的非單調(diào)的隨機退化過程,因此，可以采用與本文類似的思路,構(gòu)建基于Gamma過程或者逆高斯過程的雙時間尺度退化模型;2)雖然目前文獻中提出了一些將非線性退化過程轉(zhuǎn)化為線性化模型進行分析的方法,但工程實際中存在一些難以線性化的退化過程,因此,有必要在非線性化框架下將所提的雙時間尺度退化模型進行擴展;3)工程實際中可能既有離散的時間尺度(例如充放電次數(shù)、循環(huán)次數(shù)等),又有連續(xù)的時間尺度(例如自然時間、儲存時間等),如何描述不同時間尺度之間的關(guān)系,并將其融入到雙時間尺度退化模型中值得進一步研究;4)雙時間尺度的失效數(shù)據(jù)分析模型是存在的,現(xiàn)實中有一些系統(tǒng)同時有失效數(shù)據(jù)和退化數(shù)據(jù),如何對在雙時間尺度下實現(xiàn)對失效數(shù)據(jù)和退化數(shù)據(jù)的聯(lián)合分析,有待進一步考慮.

1 Zhou Dong-Hua,Wei Mu-Heng,Si Xiao-Sheng.A survey on anomaly detection,life prediction and maintenance decision for industrial processes.Acta Automatica Sinica,2013,39(6):711?722(周東華,魏慕恒,司小勝.工業(yè)過程異常檢測、壽命預(yù)測與維修決策的研究進展.自動化學(xué)報,2013,39(6):711?722)

2 Si Xiao-Sheng,Hu Chang-Hua,Zhou Dong-Hua.Nonlinear degradation process modeling and remaining useful life estimation subject to measurement error.Acta Automatica Sinica,2013,39(5):530?541(司小勝,胡昌華,周東華.帶測量誤差的非線性退化過程建模與剩余壽命估計.自動化學(xué)報,2013,39(5):530?541)

3 Li Xin,Lv Chen,Wang Zi-Li,Tao Xiao-Chuang.Selfadaptive health condition prediction considering dynamic transfer of degradation mode.Acta Automatica Sinica,2014,40(9):1889?1895(李鑫,呂琛,王自力,陶小創(chuàng).考慮退化模式動態(tài)轉(zhuǎn)移的健康狀態(tài)自適應(yīng)預(yù)測.自動化學(xué)報,2014,40(9):1889?1895)

4 Pecht M G.Prognostics and Health Management of Electronics.New Jersey:John Wiley,2008.

5 Ye Z S,Xie M.Stochastic modelling and analysis of degradation for highly reliable products.Applied Stochastic Models in Business and Industry,2015,31(1):16?32

6 Ye Z S,Chen N.The inverse Gaussian process as a degradation model.Technometrics,2014,56(3):302?311

7 Le Son K,Fouladirad M,Barros A.Remaining useful lifetime estimation and noisy Gamma deterioration process.Reliability Engineering and System Safety,2016,149:76?87

8 Ye Z S,Wang Y,Tsui K L,Pecht M.Degradation data analysis using Wiener processes with measurement errors.IEEE Transactions on Reliability,2013,62(4):772?780

9 Li N P,Lei Y G,Lin J,Ding S X.An improved exponential model for predicting remaining useful life of rolling element bearings.IEEE Transactions on Industrial Electronics,2015,62(12):7762?7773

10 Zhou Q,Son J B,Zhou S Y,Mao X F,Salman M.Remaining useful life prediction of individual units subject to hard failure.IIE Transactions,2014,46(10):1017?1030

11 Son J B,Zhou Q,Zhou S Y,Mao X F,Salman M.Evaluation and comparison of mixed effects model based prognosis for hard failure.IEEE Transactions on Reliability,2013,62(2):379?394

12 Lawless J,Hu J,Cao J.Methods for the estimation of failure distributions and rates from automobile warranty data.Lifetime Data Analysis,1995,1(3):227?240

13 Lawless J F,Crowder M J,Lee K A.Analysis of reliability and warranty claims in products with age and usage scales.Technometrics,2009,51(1):14?24

14 Singpurwalla N D,Wilson S P.Failure models indexed by two scales.Advances in Applied Probability,1998,30(4):1058?1072

15 Wang Z Q,Hu C H,Wang W B,Zhou Z J,Si X S.A case study of remaining storage life prediction using stochastic fi ltering with the in fl uence of condition monitoring.Reliability Engineering and System Safety,2014,132:186?195

16 Duchesne T,Lawless J.Alternative time scales and failure time models.Lifetime Data Analysis,2000,6(2):157?179

17 Wang Xiao-Lin,Guo Bo,Cheng Zhi-Jun.Reliability assessment of products with Wiener process degradation by fusing multiple information.Acta Electronica Sinica,2012,40(5):977?982(王小林,郭波,程志君.融合多源信息的維納過程性能退化產(chǎn)品的可靠性評估.電子學(xué)報,2012,40(5):977?982.)

18 Peng Bao-Hua,Zhou Jing-Lun,Feng Jing,Liu Xue-Min.Residual lifetime prediction of metallized fi lm pulse capacitors.Acta Electronica Sinica,2011,39(11):2674?2679(彭寶華,周經(jīng)倫,馮靜,劉學(xué)敏.金屬化膜脈沖電容器剩余壽命預(yù)測方法研究.電子學(xué)報,2011,39(11):2674?2679)

19 Si X S,Zhou D H.A generalized result for degradation model-based reliability estimation.IEEE Transactions on Automation Science and Engineering,2014,11(2):632?637

20 Gebraeel N.Sensory-updated residual life distributions for components with exponential degradation patterns.IEEE Transactions on Automation Science and Engineering,2006,3(4):382?393

21 Whitmore G A,Schenkelberg F.Modelling accelerated degradation data using Wiener diffusion with a time scale transformation.Lifetime Data Analysis,1997,3(1):27?45

22 Ye Z S,Murthy D N P,Xie M,Tang L C.Optimal burn-in for repairable products sold with a two-dimensional warranty.IIE Transactions,2013,45(2):164?176

23 Ye Z S,Chen N,Shen Y.A new class of Wiener process models for degradation analysis.Reliability Engineering and System Safety,2015,139:58?67

24 Folks J L,Chhikara R S.The inverse Gaussian distribution and its statistical application–a review.Journal of the Royal Statistical Society Series B,1978,40(3):263?289.

25 Du Dang-Bo,Zhang Wei,Hu Chang-Hua,Zhou Zhi-Jie,Si Xiao-Sheng,Zhang Jian-Xun.A failure prognosis method based on wavelet-Kalman fi ltering with missing data.Acta Automatica Sinica,2014,40(10):2115?2125(杜黨波,張偉,胡昌華,周志杰,司小勝,張建勛.含缺失數(shù)據(jù)的小波–卡爾曼濾波故障預(yù)測方法.自動化學(xué)報,2014,40(10):2115?2125)