兩自由度赫茲接觸彈跳碰撞振動系統(tǒng)數(shù)值研究

◇蘭州交通大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院 穆 航

本文建立研究了一種兩自由度赫茲接觸彈跳碰撞振動系統(tǒng)模型，對其進(jìn)行受力分析，列出方程并無量綱處理。選定參數(shù)使用Runge-Kutta法，對方程進(jìn)行了數(shù)值積分，繪制了彈跳碰撞系統(tǒng)在一定的振動頻率區(qū)間的分岔圖、相圖、龐加萊截面圖，分析了其運(yùn)動特征及分岔特性。同時(shí)研究了系統(tǒng)中彈跳間隙和接觸剛度分配系數(shù)以及接觸阻尼分配系數(shù)對系統(tǒng)運(yùn)動特性的影響，發(fā)現(xiàn)為使系統(tǒng)運(yùn)動穩(wěn)定，彈跳間隙在合理范圍內(nèi)應(yīng)取相對較大的值，接觸剛度分配系數(shù)應(yīng)取較小值，接觸阻尼分配系數(shù)取較大值為宜。

1 引言

振動是一種人們在日常生活中無法忽視的現(xiàn)象，振動對于實(shí)際生產(chǎn)的影響既有利亦有害。人們根據(jù)振動的原理，在通信行業(yè)、工程里的防震、設(shè)備里的振動控制等各個(gè)行業(yè)中起到了重要作用。Shaw[1]通過定性分析和數(shù)值模擬，為研究具有間隙和約束的機(jī)械系統(tǒng)的動力學(xué)奠定了基于沖擊的龐加萊映射基礎(chǔ)。Long[2]研究了由諧波沖擊器運(yùn)動激勵(lì)的彈性結(jié)構(gòu)的非光滑動力學(xué)，并探索了導(dǎo)致非周期運(yùn)動的機(jī)制。Li[3]研究了質(zhì)量-彈簧-皮帶摩擦自激振動系統(tǒng)的分岔特性和控制。Machado M[4]根據(jù)赫茲理論使用Kelvin-Voigt的接觸力模型提供了用于計(jì)算非線性赫茲接觸力的公式。Serweta W[5]利用非線性赫茲接觸理論，比較了兩個(gè)具有沖擊的系統(tǒng)的動力學(xué)行為，分析了其分岔特性。本文建立了一種類似于搖枕側(cè)架系統(tǒng)與車身具有相互碰撞擋塊的力學(xué)模型，通過對其分岔圖、相圖以及龐加萊截面圖的研究，分析了系統(tǒng)的動力學(xué)特性。

2 彈跳碰撞系統(tǒng)模型及其運(yùn)動方程

圖1 兩自由度赫茲接觸彈跳碰撞振動系統(tǒng)

兩個(gè)質(zhì)量塊僅在垂直方向上振動，若簡諧激振力較小，碰撞系統(tǒng)表現(xiàn)為非沖擊強(qiáng)迫振動。隨著簡諧激振力加大，質(zhì)量塊向止動塊的位移增加到間隙閾值時(shí)，質(zhì)量塊將會沖擊相應(yīng)的止動塊。文章只考慮質(zhì)量塊在任意兩次連續(xù)碰撞間的運(yùn)動過程。

根據(jù)牛頓運(yùn)動定律，推導(dǎo)出系統(tǒng)運(yùn)動的2自由度微分方程：

其中：

模型的赫茲接觸力表示如下：

為方便研究，引入無量綱變量和參數(shù)如下：

無量綱后的運(yùn)動微分方程為：

其中，非線性赫茲接觸力：

系統(tǒng)經(jīng)過無量綱化后，可以方便的確定部分參數(shù)的取值范圍：

根據(jù)式子建立系統(tǒng)的Poincaré映射截面：

3 數(shù)值仿真

參數(shù)對系統(tǒng)的影響如下所示。接著繼續(xù)分析了彈跳間隙以及接觸剛度分配系數(shù)以及接觸阻尼分配系數(shù)改變時(shí)，對彈跳碰撞系統(tǒng)分岔特性的影響。首先保持系統(tǒng)基準(zhǔn)參數(shù)不變，增大彈跳間隙的值，各參數(shù)下的系統(tǒng)分岔圖如圖4（a）、圖4（b）所示。對比圖2可得出結(jié)論，即當(dāng)其它參數(shù)保持不變時(shí)，隨著間隙的減小，系統(tǒng)的動力學(xué)性能逐漸開始變得豐富，系統(tǒng)混沌運(yùn)動的區(qū)域也變大。應(yīng)在合理的范圍內(nèi)，使間隙取相對較大的值。再恢復(fù)基準(zhǔn)參數(shù)，增大接觸剛度分配系數(shù)的值，系統(tǒng)的周期分岔如圖4（c）、圖4（d）所示，通過對比圖2，可以知道，當(dāng)其它參數(shù)在給定值下保持不變時(shí)，隨著接觸剛度系數(shù)的增大，系統(tǒng)混沌運(yùn)動的區(qū)域在逐漸變大，而且可以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)的動力學(xué)性能對此參數(shù)數(shù)值較為敏感。為了保證系統(tǒng)可以穩(wěn)定的運(yùn)動，接觸剛度系數(shù)應(yīng)該取較小值。之后再恢復(fù)至基礎(chǔ)參數(shù)，保持其他參數(shù)不變，改變接觸阻尼分配系數(shù)，觀察如圖4（e）、圖4（f）所示的系統(tǒng)分岔圖，可以知道，隨著接觸阻尼分配系數(shù)的增大，系統(tǒng)的動力學(xué)行為變得簡單，基本以一周期、二周期為主，只有少量的混沌區(qū)域。為了保證系統(tǒng)穩(wěn)定性，接觸阻尼分配系數(shù)應(yīng)該取相對較大的值。

圖2 系統(tǒng)在頻率分岔圖

圖3 倍化分岔各階段相圖與龐加萊截面圖疊加圖

圖4 參數(shù)變化時(shí)系統(tǒng)分岔圖

4 結(jié)束語

本文建立研究了一種兩自由度赫茲接觸彈跳碰撞振動系統(tǒng)模型，分析了其運(yùn)動特性，在選定的參數(shù)下，使用Runge-Kutta法，對方程進(jìn)行了數(shù)值積分，畫出了彈跳碰撞系統(tǒng)在振動頻率區(qū)間的分岔圖、相圖，分析了其分岔特性，并用控制變量法，研究了系統(tǒng)中彈跳間隙和接觸剛度分配系數(shù)以及接觸阻尼分配系數(shù)對系統(tǒng)運(yùn)動特性的影響，經(jīng)過比對，發(fā)現(xiàn)彈跳間隙在合理范圍內(nèi)應(yīng)取相對較大的值，接觸剛度分配系數(shù)應(yīng)取較小值，而接觸阻尼分配系數(shù)取較大值為宜。