關于2023年湖南高考物理壓軸題的分析與拓展

摘 要：本文對2023年湖南高考物理第15題進行了分析，在利用參考系變換簡化問題的基礎上，使用微元法、質心運動定理兩種方法求解軌跡方程，利用多種數(shù)學方法拓展問題解決的思路，并從提升學生模型建構與遷移能力的角度出發(fā)，對試題模型進行了溯源分析。

關鍵詞：高考物理；核心素養(yǎng)；解法拓展；人船模型

物理學科核心素養(yǎng)要求學生具備建構理想模型的意識和能力，能正確運用科學思維方法，從不同角度思考問題，將復雜的運動過程簡單化。^{［1］［2］}本文將從多個角度解析2023年湖南高考物理卷第15題，給出多種不同于標準答案的解答思路，旨在提升學生的科學推理、模型建構等學科核心素養(yǎng)。

1 試題分析

如圖1所示，質量為M的勻質凹槽放在光滑水平地面上，凹槽內有一個半橢圓形的光滑軌道，橢圓的半長軸和半短軸分別為a和b，長軸水平，短軸豎直。質量為m的小球，初始時刻從橢圓軌道長軸的右端點由靜止開始下滑。以初始時刻橢圓中心的位置為坐標原點，在豎直平面內建立固定于地面的直角坐標系xOy，橢圓長軸位于x軸上。整個過程凹槽不翻轉，重力加速度為g。

（1）小球第一次運動到軌道最低點時，求凹槽的速度大小以及凹槽相對于初始時刻運動的距離；

（2）在平面直角坐標系xOy中，求出小球運動的軌跡方程；

（3）若Mm＝ba－b，求小球下降h＝b2高度時，小球相對于地面的速度大?。ńY果用a、b及g表示）。

分析：該題以最初相對于地面靜止的球和凹槽為問題情境，要求學生能以球、凹槽為系統(tǒng)，建構并分析相應模型，結合機械能守恒定律和動量守恒定律求解問題，考查學生建構模型的能力。題目要求學生利用參考系變換的思想處理相對運動，求解小球運動的軌跡方程，考查學生數(shù)學分析和靈活處理問題的能力與科學思維水平；題目還進一步要求學生利用數(shù)學知識和運動的合成與分解求得小球速度，并能利用運動分解和數(shù)理結合的方法處理小球的運動問題。

2 解法呈現(xiàn)及拓展

原題有３個設問，第一問難度較低，下面?zhèn)戎貙Φ诙?、三問的解法進行拓展。其中，第二問的標準答案是利用人船模型的結論進行求解，較為簡略，有關參考系變換思想、微元思想等都無法在答案中完整體現(xiàn)。基于此，本文在深入研究試題的基礎上，利用微元法、數(shù)形結合、隱函數(shù)求導等方式解決問題，讓學生通過新的解法拓寬學習思路，培養(yǎng)創(chuàng)新思維。

2.1 第二問解法

以凹槽為參考系，小球的軌跡方程為

x′2a2＋y′2b2＝1，①

以地面為參考系，設小球的坐標為（x，y），則有

y＝y(tǒng)′。②

解法一：微元法

任何時刻小球和凹槽水平方向系統(tǒng)動量守恒，取向右為正，則

mvmx＋MvMx＝0，③

在每一微小時間段Δt內，小球、凹槽水平速度vmx、vMx可近似看成勻速，故有

mvmxΔt＋MvMxΔt＝0，

累計可得

mΔxm＋MΔxM＝0。

已知小球的水平位移Δxm＝x－a，則有

m（x－a）＋M（xM－0）＝0，④

經分析可知

x′＝x－xM，⑤

聯(lián)立④、⑤式可得

x′＝M＋mMx－mMa，⑥

將②、⑥式代入①式可得

［x（M＋m）－ma］2M2a2＋y2b2＝1。⑦

點評：對小球和凹槽構成的系統(tǒng)進行分析，根據(jù)水平方向動量守恒關系及微元思想，建構水平方向的“人船模型”，這種解法是大多數(shù)考生會選用的處理方法，屬于該題的常規(guī)解法；分析小球的運動情況時，考生需要將固定于地面的參考系轉換為隨凹槽運動的參考系，利用相對運動關系推知小球、凹槽之間的相對運動情況，對考生的思維能力有較高的要求。

解法二：質心運動定理

小球與凹槽構成的系統(tǒng)在水平方向上不受外力作用，且剛開始系統(tǒng)靜止，因此在整個過程中，系統(tǒng)的質心在水平方向上保持不變。

開始時，凹槽的質心位置在原點，小球在x＝a處，根據(jù)質心運動定理得

ma＋M·0m＋M＝mx＋MxMm＋M，

mx＋MxM＝ma，⑧

經分析可知

x′＝x－xM＝M＋mMx－mMa，⑨

將②、⑨式代入①式可得

［x（M＋m）－ma］2M2a2＋y2b2＝1。⑩

點評：小球和凹槽構成的系統(tǒng)初動量為零，水平方向不受外力，應用質心運動定理可知系統(tǒng)質心的水平位置保持不變，從而將復雜的物體運動轉化為簡單的質心運動模型。質心運動定理不屬于高中物理的知識，這要求使用該解法的考生需具備一定的競賽基礎。實際上，遇到一些系統(tǒng)內的復雜運動題目時，教師可以適當?shù)叵驅W生傳授其原理及應用，這樣不僅可以拓寬學生的物理視野和物理思維，還能在這一過程中不斷提升學生的物理學科素養(yǎng)。

2.2 第三問解法

將Mm＝ba－b代入小球的軌跡方程化簡可得

［x－（a－b）］2＋y2＝b2，B11

由系統(tǒng)機械能守恒可得

mgb2＝12mv2m＋12Mv2M，B12

由系統(tǒng)水平方向動量守恒可得

mvmx＋MvM＝0。B13

解法一：利用數(shù)形結合思想求解（評分標準中的解析）。

點評：小球軌跡是圓的一部分，可利用圓的性質，求解小球下降h＝b2高度時小球速度與水平方向的夾角。本解法基于數(shù)形結合思想，利用圓的幾何性質來得到小球速度的方向，進而求解小球速度的大??；這是本題的常規(guī)解法，難度較低，適用于大多數(shù)考生，類似解法還有運用圓的切線斜率公式或參數(shù)方程求解，這一類解法都是利用圓的性質進行求解。

解法二：隱函數(shù)求導

對B11式的兩側分別求時間的一階導數(shù)有

［x－（a－b）］dxdt＋ydydt＝0，

vyvx＝－x－a＋by，B14

將y0＝－b2代入軌跡方程得

x0＝a－b＋32b或x0＝a－b－32b（依題舍去第二項），

再代入B14式得

vyvx＝3＝tanπ3，

可知此時有

vmx＝vmcosπ3，B15

聯(lián)立B12、B13、B15式可得

vm＝2bga＋3b。B16

點評：對軌跡方程求導，得到小球水平速度和垂直速度的關系。此種解法完全脫離了圓的性質，不依賴于小球特殊的運動軌跡，是此類問題的通用解法；相比直接利用圓的性質求解，此種解法更為復雜，難度較大，但教師適當?shù)叵驅W生教授其原理及應用，可使學生在滿足學業(yè)水平等級考試要求的基礎上，進一步提升自身的學習能力。

3 模型溯源

只從高中內容上看，該題本質上屬于人船模型。人船模型求解法在高中階段較為重要，學生需要掌握運用人船模型求解的條件、方法，再結合數(shù)學知識加以拓展。^［3］

3.1 經典的人船模型

平靜的水面上停有一質量為M、長為L的船，質量為m的人從船的前端走到末端，不計水的阻力，求人和船相對于水面的位移大小。

分析過程可見徐建強、左開發(fā)撰寫的論文《深究人船模型本質 遷移模型深度應用》^［4］，最終可得運動過程中人、船的位移大小為x人＝MLm＋M，x船＝mLm＋M。

實際上，只要知道某一過程人與船的相對位移Δx＝x人＋x船，可求得此過程人和船相對于水面移動的距離x人＝MΔxm＋M，x船＝mΔxm＋M。

3.2 人船模型的變形

人船模型的建模條件：只要一個系統(tǒng)由兩個物體組成，某一方向系統(tǒng)初動量為零；系統(tǒng)內物體之間有相對運動，相對運動過程中此方向動量守恒，滿足上述條件的系統(tǒng)都可稱之為“人船模型”。^［5］

根據(jù)上述條件，可對人船模型做多種變形。^［6］其中一類變形為“曲面船”，試題所采用的物理模型便屬于這類變形，其系統(tǒng)運動過程中滿足水平方向動量守恒，水平位移過程符合人船模型。

4 啟示

縱觀幾種拓展解法，可以看到利用質心運動定理可以凸顯系統(tǒng)整體的運動特征，有利于學生把握運動特征、深究物理本質；利用隱函數(shù)求導可以延伸到各種軌跡方程的求解，實現(xiàn)“多題一解”，培養(yǎng)學生分析歸納能力和問題解決能力。因此，在教學過程中，教師要對試題解法進行合理拓展，從常規(guī)解法入手，逐步幫助學生提升思維的層次、理解物理的本質，強化學生物理學科核心素養(yǎng)。

通過深入研究人船模型及其建構條件，可對人船模型進行變形和遷移，有助于學生建構模型，培養(yǎng)學生分析物理模型的能力和知識遷移能力。因此，教學過程中教師需設置針對性訓練，不斷提高學生識別模型、建構模型、歸納模型、應用模型的能力，讓學生能在新情境中靈活建構物理模型解決問題。

參考文獻

［1］陳顯盈，尤愛惠.建構不同物理模型 提升學科核心素養(yǎng)——以“2020年全國中學生物理競賽預賽第11題”為例［J］.物理教師，2021，42（5）：94-96．

［2］王金兵.一道高考壓軸題題眼的剖析及啟示——以2022年山東省高考物理壓軸題為例［J］.物理教師，2022，43（12）： 83-85，88．

［3］宋松明，王值鋒.人船模型中運動軌跡的深度求解［J］.物理通報，2019（S2）：129．

［4］［6］徐建強，左開發(fā).深究人船模型本質 遷移模型深度應用［J］.理科考試研究，2022，29（3）：45-48．

［5］趙財昌.形色各異的“人船模型”［J］.數(shù)理化學習（高中版），2021（8）：53-56．