相對論變換下的兩種量子信息對稱態(tài)研究

楊昊戩

西南交通大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 四川 成都 610031

引言

量子信息是一門研究利用量子物理學(xué)的原理和方法來存儲、處理和傳輸信息的學(xué)科[1]。量子信息處理有著經(jīng)典信息處理下難以比擬的技術(shù)優(yōu)越。近些年，隨著量子信息處理的技術(shù)的發(fā)展，量子態(tài)的制備和控制變得愈發(fā)重要。量子態(tài)的穩(wěn)定性對于保證通信和計算的正確性具有關(guān)鍵作用。

Werner態(tài)[2]和isotropic態(tài)作為量子信息理論中非常重要的兩種兩體量子混合態(tài)，其不僅具有較為重要的基礎(chǔ)研究意義，還有重要的應(yīng)用價值。

目前，在非相對論量子力學(xué)的背景下，Werner態(tài)與isotropic態(tài)受到了廣泛的研究。然而，相對論變換對于二者的影響并沒有得到充分的研究。

在相對論變換下，由于不同參考系的時間和空間坐標(biāo)系的變化,量子態(tài)的表示也會發(fā)生變化。同一個物理現(xiàn)象在不同的慣性系下進(jìn)行觀察，結(jié)果可能會發(fā)生改變。

因此，研究Werner態(tài)及isotropic態(tài)在相對論變換下的變化規(guī)律，有助于我們更好地理解量子態(tài)的本質(zhì)和穩(wěn)定性，并為其在量子信息處理的應(yīng)用提供理論和實驗的支持。本文旨在研究Werner態(tài)及isotropic態(tài)在相對論變換下的性質(zhì)，并探討其在量子信息處理中的應(yīng)用。

1 Werner態(tài)及isotropic態(tài)的定義及其性質(zhì)

量子糾纏是目前量子信息理論的一個關(guān)鍵物理量。而量子信息理論的另一個關(guān)鍵物理量——量子非局域性，被Bell發(fā)現(xiàn)為量子力學(xué)的核心性質(zhì)之一，并得到了實驗驗證。

1989年，在對兩個物理量之間關(guān)系的開創(chuàng)性研究中，R.F.Werner提出了一種由兩個粒子的糾纏態(tài)混合而成的具有高度對稱的量子態(tài)，即Werner態(tài)。他用Werner態(tài)來分析指出了量子糾纏與貝爾非局域性為兩個不同的物理概念，并首次給出了量子糾纏的嚴(yán)格數(shù)學(xué)定義。

由于其對稱性，Werner態(tài)成為研究量子糾纏和非局域性的理想模型，對于我們深入理解量子糾纏性和量子信息學(xué)中的一些重要概念具有重要的貢獻(xiàn)。

每個Werner態(tài)都是對稱子空間和反對稱子空間上的投影的混合態(tài)，d是空間的維數(shù)。根據(jù)定義，對于作用于d維空間上的所有酉算子，Werner態(tài)具有幺正變換后密度矩陣不變的特性，滿足：

而Werner態(tài)具有豐富的關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)[3]，可以用不同的參數(shù)表示，其中一種表達(dá)式定義為：

實驗上，可以使用高亮度自發(fā)參量下轉(zhuǎn)換(SPDC)光源成功地合成可調(diào)諧的Werner態(tài)。通過調(diào)節(jié)SPDC光源的參數(shù)，可以控制Werner態(tài)的純態(tài)分量相對權(quán)重，從而實現(xiàn)任意結(jié)構(gòu)的Werner態(tài)的合成，并進(jìn)行表征[4]。

isotropic態(tài)同樣滿足類似的性質(zhì)：

2 相對論變換的兩比特Werner態(tài)及isotropic態(tài)

在量子信息領(lǐng)域中，不同的慣性系下，量子態(tài)的形式及性質(zhì)一般隨之改變。而相對論變換后的Werner態(tài)及isotropic態(tài)是否仍然是原有形式其參數(shù)如何變化，這是一個有趣并且具有實際應(yīng)用價值的問題。具體地，我們討論了兩比特Werner態(tài)及isotropic態(tài)在Wigner轉(zhuǎn)動下的變化。

Wigner轉(zhuǎn)動[6]描述了在相對論框架下兩個慣性系之間的旋轉(zhuǎn)變換，旋轉(zhuǎn)變換可以用旋轉(zhuǎn)矩陣來表示。

兩比特Werner態(tài)可以表示為：

兩比特Werner態(tài)可以寫成最大糾纏態(tài)和完全混合態(tài)的凸組合，因此可以通過計算該四階矩陣的特征值與特征向量來判斷任意一個量子態(tài)的四階矩陣是否為兩比特Werner態(tài)。

再根據(jù)公式，可以計算出其變換后的一般性的式子為：

公式中，

假設(shè)此處兩比特Werner態(tài)中的相對參數(shù)x為，進(jìn)而可以后有：

可判斷其仍為Werner態(tài)，且相對參數(shù)x和變換前一致仍為。

圖1 與較小時與x的比值

圖2 與趨近于∞時與x的比值

而針對isotropic態(tài)，根據(jù)公式，兩比特形式下的量子態(tài)矩陣為：

同樣，公式經(jīng)過變換后有：

綜上所述，研究量子態(tài)演化時應(yīng)考慮相對論效應(yīng)的影響，而兩比特的Werner態(tài)及isotropic態(tài)在相對論變換下仍為原量子態(tài)形式，其相對參數(shù)在速度趨近于光速時不變。良好的抗相對論噪聲性質(zhì)可用應(yīng)用。

3 結(jié)論

本文的主要目的是研究相對論變換對Werner態(tài)及isotropi影響。通過計算，得出結(jié)論：兩比特Werner態(tài)及isotropic態(tài)在相對論變換下仍然為Werner態(tài)及isotropic態(tài)，且其相對參數(shù)在速度趨近于光速時不變。未來研究可以進(jìn)一步討論高維的情形，及對其他常用的量子態(tài)進(jìn)行同樣研究。