三平移4PPa-2Pa并聯(lián)機構(gòu)運動學分析與優(yōu)化設(shè)計

夏蓉花,劉艷梨

(1.江蘇安全技術(shù)職業(yè)學院智能制造與應急裝備學院,江蘇 徐州 221000)(2.南京航空航天大學機電學院,江蘇 南京 210016)

三平移并聯(lián)機構(gòu)與六自由度并聯(lián)機構(gòu)相比,具有控制簡單、結(jié)構(gòu)緊湊[1]、設(shè)計成本低的特點,因此在工業(yè)應用領(lǐng)域具有廣闊應用前景[2-3]。近年來,越來越多的學者對三平移并聯(lián)機構(gòu)展開研究?？滓粐[等[4]設(shè)計了一種應用于移印機領(lǐng)域的空間三平移2-CPR/UPS并聯(lián)機構(gòu)。沈惠平等[5]提出了一種具有位置正解解析式且運動部分解耦的空間三平移并聯(lián)機構(gòu)。史素敏等[6]設(shè)計了一種結(jié)構(gòu)緊湊的3UPRR并聯(lián)機構(gòu),并提出了一種利用綜合性能指標作為尺度優(yōu)化的優(yōu)化目標。Hraiech等[7]提出了3-UPU平動并聯(lián)機器人的多目標優(yōu)化設(shè)計方法,可推廣應用在其他類型機器人的優(yōu)化設(shè)計中。程強等[8]設(shè)計了一種新型正交三平移3-CPR并聯(lián)機構(gòu),基于ADAMS軟件進行樣機運動仿真,同時研究機構(gòu)操作空間性能[9],結(jié)果表明機構(gòu)具有較好的運動性能,以工作空間體積作為優(yōu)化目標可得到最優(yōu)的結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)解。

本文以三平移4PPa-2Pa并聯(lián)機器人機構(gòu)為研究對象,根據(jù)方位特征集綜合方法驗證機構(gòu)運動性質(zhì),并建立運動學方程數(shù)學模型,在此基礎(chǔ)上對機構(gòu)的運動學正逆解算例進行驗證。采用數(shù)值法研究機構(gòu)任務工作空間形狀和大小,以給定的任務工作空間為目標優(yōu)化函數(shù),實現(xiàn)參數(shù)的最優(yōu)化設(shè)計。

1 并聯(lián)機構(gòu)設(shè)計

1.1 機構(gòu)模型

圖1為4PPa-2Pa并聯(lián)機構(gòu)結(jié)構(gòu)簡圖,靜平臺上分布著兩條支鏈,每條支鏈和靜平臺通過移動副Pi1、Pi2相連接,Pi1、Pi2共用一個導軌,且其上各布置一個平行四邊形機構(gòu)Pai1、Pai2。Pai1、Pai2共用一個短邊,和短邊垂直的方向上布置一個平行四邊形機構(gòu)Pai3,Pai3所構(gòu)成的平面垂直于公共短邊,且和動平臺相連接。動平臺固定在平行四邊形機構(gòu)Pai3的短邊中點上。建立的4PPa-2Pa關(guān)聯(lián)機構(gòu)三維模型如圖2所示。定義如下參數(shù):r為動平臺半徑,R為靜平臺導軌之間距離的一半,l1為移動副所在導軌長度,l2為上部平行四邊形機構(gòu)Pai1、Pai2的桿長,l3為下部平行四邊形機構(gòu)的Pai3桿長。

圖1 4PPa-2Pa并聯(lián)機構(gòu)結(jié)構(gòu)簡圖

圖2 4PPa-2Pa并聯(lián)機構(gòu)的三維模型

1.2 拓撲特性分析

根據(jù)機構(gòu)描述可得運動副間位置關(guān)系,計算每條支鏈的方位特征集Mbi:

(1)

式中:t表示移動副,r表示轉(zhuǎn)動。

1)計算由支鏈1和2構(gòu)成的位移方程數(shù)ξL1:

ξL1=dim{Mb1∪Mb2}=

(2)

2)計算4PPa-2Pa并聯(lián)機構(gòu)的方位特征集Mpa:

(3)

3)計算4PPa-2Pa并聯(lián)機構(gòu)自由度F:

(4)

式中:m為機構(gòu)運動副數(shù)量;v為機構(gòu)獨立回路數(shù)量,v=m-n+1,其中n為機構(gòu)運動副構(gòu)件個數(shù);fi為支鏈第i個運動副的自由度個數(shù);ξLj為第j個獨立回路的位移方程數(shù)。

以上分析表明,4PPa-2Pa并聯(lián)機構(gòu)具有空間x、y、z方向三平移運動性質(zhì),能滿足預期的運動特性要求。

2 位置分析

定義靜平臺上的移動副Pi1、Pi2的輸入位移均為(q1,q2,q3,q4),通過執(zhí)行末端輸出P(x,y,z)推導出輸入位移(q1,q2,q3,q4)的過程為逆解求解過程,反之,利用輸入位移(q1,q2,q3,q4)計算得到執(zhí)行末端的輸出即為正解求解過程。

2.1 位置逆解分析

定義動平臺的參考點為P,設(shè)P點坐標為(x,y,z),可得到平行四邊形的短邊桿中點與動平臺的連接點P1、P2坐標,即(x-r,y,z)、(x+r,y,z)。由于動平臺和平行四邊形機構(gòu)Pai3剛性連接,因此P1、P2以及A1、A2沿著xoy平面的投影共線,故可得到以下方程組:

(5)

另外,平行四邊形機構(gòu)Pai3短邊中點長度恒定不變,由此可得以下關(guān)系:

(6)

代入坐標可得:

(7)

綜合式(5)、(7),推導得到以下運動學方程:

(8)

根據(jù)式(8)計算出位置逆解(q1,q2,q3,q4)表達式:

(9)

上述分析表明,位置逆解最多存在16組解。

對式(9)進行算例分析,輸入幾組(x,y,z),求解出滿足條件的正實數(shù)解(q1,q2,q3,q4),其中4組見表1。

表1 4組逆解的數(shù)值解

2.2 位置正解分析

已知(q1,q2,q3,q4)求解(x,y,z),根據(jù)表2的數(shù)值,反過來求解位置正解,見表2 。

表2 4組正解的數(shù)值解

從表1和表2可以看出,逆解數(shù)值解和正解數(shù)值解相對應,檢驗了機構(gòu)運動學分析的正確性。

3 工作空間分析

工作空間搜索方法有很多,通常采用極限搜索法[10],即根據(jù)建立的運動方程模型進行搜索[11]。并聯(lián)機構(gòu)具體尺寸參數(shù)值見表3。

表3 并聯(lián)機構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)值 單位:m

分析圖3所示工作空間可知:工作空間呈心形柱狀,內(nèi)部無空洞,整體工作空間大,連續(xù)對稱分布。

圖3 4PPa-2Pa機構(gòu)工作空間圖

4 并聯(lián)機構(gòu)優(yōu)化設(shè)計

針對給定任務工作空間機構(gòu)尺度約束條件下的優(yōu)化問題,在滿足給定任務工作空間前提下尋找較小的尺寸參數(shù)。約束條件下,目標函數(shù)可以根據(jù)需要優(yōu)化的參數(shù)直接建立,也可以和優(yōu)化的參數(shù)間接建立。

4.1 優(yōu)化模型的建立

為設(shè)計方便,根據(jù)圖3的工作空間估計其中心點為(1,0.8,-0.9),給定的任務工作空間大小參考文獻[12]中數(shù)據(jù),其中任務工作空間為長方體或者球體,優(yōu)化模型如下:設(shè)計優(yōu)化參數(shù){R,r,l1,l2,l3},使機構(gòu)的工作空間包含形狀為長方體或球體的任務工作空間,并且使機構(gòu)體積較小。

4.2 模型優(yōu)化目標函數(shù)的建立

本文提出一種包含關(guān)系約束的數(shù)學模型:以給定的任務工作空間內(nèi)的一點C作為出發(fā)點,分別計算C點到任務工作空間的邊界點Bi(i=1,2,…,s)的距離L2ij,其中s為任務工作空間邊界點個數(shù),C點到機構(gòu)工作空間邊界點Aij(i=1,2,…,s′;j=1,2,…,k)的距離L2ij,其中s′為射線個數(shù),k為射線i穿過的邊界點個數(shù),為保證點Aij和點Bi的對應關(guān)系,CBi和CAij在一條從C點出發(fā)的射線上,同時為避免機構(gòu)邊界全部在給定工作空間的一側(cè),C、Bi、Aij需均勻分布于平面或者三維空間中,那么包含關(guān)系可定義為如下的不等式:

(10)

式中:n=∞。實際計算中,取n為較大的球,對所有點都成立,則機構(gòu)工作空間包含任務工作空間;若存在一點不滿足公式(10),則機構(gòu)工作空間不包含任務工作空間。特別是當公式(10)等于0時,表明給定任務工作空間和機構(gòu)工作空間恰好相切。

包含關(guān)系的模型示意圖如圖4所示。虛線為給定任務工作空間邊界,實線是機構(gòu)工作空間邊界,在工作空間兩個邊界中間有空洞情況,從點C出發(fā)的兩個射線L1、L2分別交于給定任務工作空間點B1、B2和機構(gòu)工作空間點A11、A12、A21、A22,根據(jù)公式(10)計算可得:CB2-CA21<0,CB2-CA22<0,CB1-CA11>0,CB1-CA12<0,顯然此時機構(gòu)工作空間不包含給定任務工作空間。

圖4 包含關(guān)系的模型示意圖

圖5 長方體和球體的任務工作空間體積優(yōu)化曲線

根據(jù)式(10)建立優(yōu)化目標模型:

minf(R,r,l1,l2,l3)=fitness

s.t.L1i-L2ij≤0i=1,2,…,s,

j=1,2,…,k

(11)

式中:fitness為想要優(yōu)化的目標函數(shù)。

可以通過罰函數(shù)法將任務工作空間優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為無約束優(yōu)化問題,設(shè)f(R,r,l1,l2,l3)為目標函數(shù),則:

(12)

式中:μ為一較大的正數(shù),設(shè)定為比目標函數(shù)值最大值大得多的數(shù)。

4.3 優(yōu)化算法選擇

邊界點搜索算法目標函數(shù)設(shè)計:采用球面坐標法完成對機構(gòu)不同參數(shù)下工作空間的搜索[13],從中心點增加半徑,對搜索球面進行約束判斷,當上一半徑的約束從1變成0,或者從0變成1時,記錄發(fā)生突變的約束邏輯值為1的邊界點坐標值;從C點出發(fā)至機構(gòu)邊界點Aij形成射線簇,此射線簇與給定任務工作空間邊界相交于點Bi,根據(jù)公式(10)計算各邊界點到中心點的距離,同時定義目標函數(shù)如下:

(13)

式中:V為工作空間體積。

選擇遺傳算法完成優(yōu)化目標的搜索[12,14],參數(shù)見表4,適應度計算采用排序法,選擇隨機遍歷抽樣算法,利用分散重組方式,分別對兩種給定任務工作空間下的兩種目標函數(shù)進行優(yōu)化,求其約束下的最小值。參數(shù)取值范圍見表5。

表4 遺傳算法參數(shù)

表5 機構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)取值范圍 單位:m

4.4 優(yōu)化結(jié)果分析

根據(jù)建立的目標函數(shù)模型,通過MATLAB得到優(yōu)化曲線,如圖4所示,相對應優(yōu)化參數(shù)值見表6。優(yōu)化目標在100代左右都降低到了比較理想的值。以球體為例的工作空間體積V優(yōu)化結(jié)果為5.1 m3,以長方體為例的工作空間體積V優(yōu)化結(jié)果為5.9 m3,此時給定的任務工作空間在工作空間內(nèi)占比最大。分析表明,優(yōu)化后機構(gòu)工作空間的利用率更高,從而使并聯(lián)機構(gòu)控制更靈敏。

表6 優(yōu)化參數(shù)值列表

圖6和圖7是優(yōu)化后機構(gòu)工作空間和給定任務工作空間的空間位置圖,以球體和長方體為例,在以體積V為優(yōu)化目標的情況下,任務工作空間被工作空間緊密包絡(luò)在內(nèi)部,分布緊湊,工作空間利用率高。算例表明:不同任務工作空間優(yōu)化效果都十分顯著,工作空間利用率明顯提升,驗證了優(yōu)化模型的正確性,同時對于復雜并聯(lián)機構(gòu)工作空間和多種優(yōu)化目標,該模型有效且簡單,能夠適應不同機構(gòu)給定任務工作空間的約束優(yōu)化問題。

圖6 以球體為例的工作空間和給定任務工作空間的空間位置圖

圖7 以長方體為例的工作空間和給定任務工作空間的空間位置圖

5 結(jié)束語

本文以純移動并聯(lián)機構(gòu)作為研究對象,提出了一種空間三平移并聯(lián)機構(gòu),拓撲結(jié)構(gòu)分析證明機構(gòu)具有空間三維移動的運動特性,基于矢量法建立非線性方程組,計算機構(gòu)的位置正解和逆解,同時根據(jù)數(shù)值法研究機構(gòu)的工作空間性能。分析了結(jié)構(gòu)參數(shù)對工作空間的影響趨勢,建立了給定任務工作空間約束問題的數(shù)學模型,通過智能優(yōu)化算法完成結(jié)構(gòu)參數(shù)最優(yōu)解的計算,驗證了模型的正確性,表明該機構(gòu)具有較好的應用前景。