空間四自由度柔順并聯(lián)機(jī)構(gòu)設(shè)計與仿真

高新宇,張士軍,孟繁勛,楊 璐

(1.山東建筑大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院,山東 濟(jì)南 250100)(2.山東農(nóng)業(yè)大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院,山東 泰安 271000)

隨著人類社會的進(jìn)步和科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展,人們在超精密加工、納米技術(shù)、精密測量、生物醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域的研究越來越深入,精密定位技術(shù)在這些領(lǐng)域都有非常廣泛的應(yīng)用[1]。

柔性并聯(lián)機(jī)構(gòu)促進(jìn)了精密定位平臺的發(fā)展,將柔性鉸鏈理論和并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)特性相結(jié)合,應(yīng)用柔性鉸鏈替換法就能夠得到相應(yīng)的柔性并聯(lián)機(jī)構(gòu)[2]。與傳統(tǒng)的并聯(lián)機(jī)構(gòu)相比,柔性并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有各支鏈的運動副都可用柔性鉸鏈代替的特點[3]。壓電驅(qū)動具有更高的靈敏度、更快的反應(yīng)速度和更大的輸出力,所以一般的微位移平臺會選擇壓電驅(qū)動作為驅(qū)動方式[4]。壓電陶瓷具有分辨率高、能耗較低、體積較小且沒有電磁干擾等優(yōu)點,所以壓電陶瓷用作微位移驅(qū)動器更適合[5]。

現(xiàn)階段,平面多自由度精密定位平臺的發(fā)展非常迅速,例如陳庭輝[6]對傳統(tǒng)的平面微位移平臺進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計,并且改進(jìn)了放大機(jī)構(gòu),提高了定位精度?，F(xiàn)有的研究很少在空間微位移平臺領(lǐng)域展開。本文設(shè)計的微位移運動平臺使用空間多自由度平臺的設(shè)計方法,采用柔性鉸鏈代替?zhèn)鹘y(tǒng)的運動副,將傳統(tǒng)的空間并聯(lián)機(jī)構(gòu)改進(jìn)為空間柔性并聯(lián)機(jī)構(gòu),消除了傳統(tǒng)機(jī)構(gòu)鉸鏈配合的摩擦與間隙,可以實現(xiàn)4種運動。

1 柔性鉸鏈

和傳統(tǒng)的運動副相比,柔性鉸鏈具有突出的優(yōu)勢,包括結(jié)構(gòu)相對簡單、沒有運動摩擦和間隙、能夠克服由于慣性引起的振動等,柔性鉸鏈的缺點主要是運動的行程較小,所以常用于微動領(lǐng)域以提高機(jī)構(gòu)精度。目前,柔性鉸鏈廣泛應(yīng)用于精密定位平臺等領(lǐng)域[7]。

本文選用的柔性鉸鏈有如下4種:柔性球副、柔性轉(zhuǎn)動副、柔性移動副、柔性虎克鉸。

1)柔性球副。吳石磊[8]針對不同類型柔性球副進(jìn)行了力學(xué)建模以及理論計算和仿真。柔性球副具有3個自由度,可以在3個方向做獨立運動,本文選用橢圓型柔性球副,如圖1所示。

圖1 柔性球副

2)柔性轉(zhuǎn)動副。張忠奎、陳航[9-10]對轉(zhuǎn)動副的轉(zhuǎn)角剛度進(jìn)行了研究,得出柔性轉(zhuǎn)動副的中間部分在力或力矩的作用下非常容易變形,此種變形為可逆彈性變形,可實現(xiàn)繞轉(zhuǎn)動軸的轉(zhuǎn)動,柔性轉(zhuǎn)動副具有1個自由度。本文選用圖2所示的圓弧型柔性轉(zhuǎn)動副。

3)柔性移動副。楊春輝[11]對直梁平行板型柔性移動副進(jìn)行了深入研究,該柔性移動副采用對稱結(jié)構(gòu),不僅可以實現(xiàn)較大范圍內(nèi)的運動且具有更高的精度。本文選用圖3所示的直梁平行板型柔性移動副,它具有1個自由度。

圖3 柔性移動副

4)柔性虎克鉸。孫煒等[12]在給定參數(shù)的情況下對3種柔性虎克鉸進(jìn)行了理論計算和有限元分析,對比了輸出行程和轉(zhuǎn)動特性,為柔性虎克鉸的選擇提供了幫助。本文選用圖4所示的柔性虎克鉸,其可進(jìn)行兩個方向的相互轉(zhuǎn)動,具有2個自由度。

圖4 柔性虎克鉸

2 空間四自由度定位平臺設(shè)計

2.1 空間四自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)簡圖

本文提出一種空間四自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu),其簡圖如圖5所示。圖中,動平臺由a、b兩部分構(gòu)成,a和b之間由轉(zhuǎn)動副11相連接。1、4、7、13、16、19為移動副,2和5為萬向鉸,3和6為球副,8、9、10、12、14、15、17、18為轉(zhuǎn)動副。

圖5 空間四自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)

2.2 空間四自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度計算

圖5中構(gòu)件1～6在一個平面上,構(gòu)件7～19在一個平面上,可以把機(jī)構(gòu)分為a和b兩部分來計算自由度。先計算b部分的自由度Fb:

Fb=3n-2Pl-Ph

(1)

式中:n為構(gòu)件數(shù),Pl為低副數(shù)目,Ph為高副數(shù)目。其中,n=9,Pl=12,分別是4個移動副和8個轉(zhuǎn)動副,可得Fb=3×9-2×12=3,a部分一共有5個構(gòu)件,這5個構(gòu)件分別有6個自由度,移動副1和4分別約束5個自由度,而萬向鉸2和5分別約束4個自由度,球副3和6分別約束3個自由度,可得a部分的自由度Fa等于6。由此得出該機(jī)構(gòu)的自由度F=Fa+Fb-5=4,即該空間四自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有4個自由度。

2.3 空間四自由度柔順并聯(lián)定位平臺設(shè)計

本文設(shè)計的空間四自由度柔順并聯(lián)定位平臺由圖5所示的空間四自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)采用剛體替換法得到,運動支鏈上用柔性鉸鏈代替?zhèn)鹘y(tǒng)的運動副?？臻g四自由度柔順并聯(lián)定位平臺如圖6所示。

圖6 空間四自由度柔順并聯(lián)定位平臺

3 定位平臺運動學(xué)建模

3.1 定位平臺位姿分析

根據(jù)機(jī)械原理的知識,平臺沿X、Y軸平移以及繞Z軸轉(zhuǎn)動時,運動平臺和輔助平臺做同步且相同的運動,所以這3種運動可以看做是在同一個平面內(nèi)的運動,故可以將這3種運動簡化成平面運動。圖7為微位移平臺沿Y軸平移的運動簡圖,由于6條支鏈運動是同步的,取P點和A點分析,當(dāng)P點和A點輸入相同的位移時,E和F兩點也有相同的輸出位移。

圖7 沿Y軸平移運動簡圖

3.2 定位平臺運動學(xué)逆解分析

3.2.1沿X軸平移

首先建立定位平臺的幾何模型,沿X軸平移運動簡圖如圖8所示。

圖8 沿X軸平移運動簡圖

執(zhí)行器的輸出位移γ=[xP,yP,φP],輸入位移di=[d1,d2,d3,d4,d5,d6],XOY為靜坐標(biāo)系,靜坐標(biāo)系原點O位于整個平臺的中心處,X′PY′是固定在動平臺中心的動坐標(biāo)系,(xP,yP)為動平臺動坐標(biāo)系X′PY′原點P的坐標(biāo),φP為動平臺繞Z軸的轉(zhuǎn)動角,d1,d2,…,d6為6條運動支鏈對空間四自由度柔順并聯(lián)定位平臺的輸入量。動平臺的頂點為6個鉸接點J1,J2,…,J6;Hi和Ji分別代表相應(yīng)的轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié);γi為每個壓電陶瓷驅(qū)動器的輸出位移,與X軸正向的夾角為αi;βi為X軸正向與剛性連桿HiJi的夾角,i=1,2,…,6。

對定位平臺進(jìn)行運動學(xué)逆解分析,即通過末端執(zhí)行器的輸出位移γ來求解輸入位移di。基于幾何方法,由四自由度柔順并聯(lián)機(jī)構(gòu)閉鏈約束可得約束方程為:

lOP+lPJi=lOGi+lGiHi+lHiJi

(2)

式中:lOP為O點到P點的距離,lPJi為P點到Ji點的距離,lOGi為O點到Gi點的距離,lGiHi為Gi點到Hi點的距離,lHiJi為連桿HiJi的長度。

由式(2)和圖8可得:

di)cosαi+lHiJicosβi

(3)

di)sinαi+lHiJisinβi

(4)

當(dāng)定位平臺沿X軸平移時,動坐標(biāo)系在Y方向不發(fā)生偏移且不發(fā)生旋轉(zhuǎn),得出φP=0,yP=0,而壓電陶瓷輸出位移是豎直方向,即αi=0。簡化式(3)、(4)得:

(5)

(6)

整理式(5)、(6),消去中間變量βi得:

(7)

3.2.2繞Z軸轉(zhuǎn)動

對繞Z軸的轉(zhuǎn)動進(jìn)行分析時,方法同繞X軸平移。先建立該運動下定位平臺的幾何模型,運動簡圖如圖9所示。

圖9 沿Z軸轉(zhuǎn)動運動簡圖

基于幾何方法,由式(2)和圖9可得式(3)、(4),當(dāng)定位平臺繞Z軸旋轉(zhuǎn)時,動坐標(biāo)系在Y方向不發(fā)生偏移,得出yP=0,壓電陶瓷輸出位移依舊是豎直方向,即αi=0,簡化式(3)、(4)得:

(8)

(9)

整理式(8)、(9),消去中間變量βi得:

(10)

3.2.3繞X軸轉(zhuǎn)動

首先,建立定位平臺的幾何模型,繞X軸轉(zhuǎn)動運動簡圖如圖10所示。

圖10 繞X軸轉(zhuǎn)動運動簡圖

分析方式同3.2.1和3.2.2,此時只有運動支鏈1和2運動,其余支鏈不動。末端執(zhí)行器的輸出位移η=[xP,yP,φP],輸入位移di=[d1,d2]。動平臺的頂點為2個鉸接點J1和J2;ηi為每個壓電陶瓷驅(qū)動器的輸出位移。

基于幾何方法可得:

(11)

由四自由度柔順并聯(lián)機(jī)構(gòu)閉鏈約束可得約束方程為:

lOP+lPJi=lOGi+lGiHi+lHiJi

(12)

由式(12)和圖10得:

(13)

(14)

當(dāng)定位平臺繞X軸轉(zhuǎn)動時,壓電陶瓷輸出位移是豎直方向,即αi=0,將式(11)代入并簡化式(13)、(14)得:

(15)

(16)

整理式(15)、(16),消去中間變量βi得:

(17)

4 定位平臺有限元仿真分析

由前文可知,本文設(shè)計的空間四自由度柔順并聯(lián)定位平臺有4個自由度,能夠?qū)崿F(xiàn)4種不同的運動,即2種轉(zhuǎn)動和2種移動。利用SolidWorks軟件建立空間四自由度柔順并聯(lián)定位平臺模型,將其導(dǎo)入ANSYS Workbench軟件中進(jìn)行有限元分析,從而得出4種不同情況下的位移,即該定位平臺所能實現(xiàn)的運動[13]。其中,壓電陶瓷pst150/5/100 vs10的行程為0～0.01 mm,定位平臺材料選用65Mn彈簧鋼,密度ρ=7.81 g/cm3,彈性模量E=2.1×1011Pa,泊松比μ=0.288。

4.1 沿Y軸平移

當(dāng)6條運動支鏈處輸入端的輸入位移均為10 μm時,根據(jù)機(jī)械原理分析該機(jī)構(gòu)的運動可知,動平臺輸出位移應(yīng)為10 μm,圖11為有限元分析結(jié)果,理論計算結(jié)果和仿真結(jié)果的最大誤差為0.15%。

圖11 沿Y軸平移位移云圖

4.2 沿X軸平移

當(dāng)6條運動支鏈處輸入端的輸入位移分別為10.000、-10.000、4.142、-4.142、-4.142、4.142 μm時,由式(7)得動平臺輸出位移為11.071 μm,有限元分析的結(jié)果如圖12所示,理論計算結(jié)果和仿真結(jié)果的最大誤差為10.112%。

圖12 沿X軸平移位移云圖

4.3 繞Z軸轉(zhuǎn)動

由圖13及式(10)得,當(dāng)6條運動支鏈處輸入端的輸出位移分別為4.013、-4.013、10.000、-10.000、6.265、-6.265 μm時,φP范圍為0～0.053 74°。

圖13 繞Z軸轉(zhuǎn)動位移云圖

4.4 繞X軸轉(zhuǎn)動

由圖14和式(17)得,當(dāng)6條運動支鏈處輸入端的輸出位移分別為10、-10、0、0、0、0 μm時,φP范圍為0～0.042 32°。

圖14 繞X軸轉(zhuǎn)動位移云圖

5 結(jié)果分析

由前文可知,沿Y軸平移和沿X軸平移時最大相對誤差為0.150%和10.112%,繞Z軸轉(zhuǎn)動和繞X軸轉(zhuǎn)動時最大相對誤差為5.040%和9.580%,計算可得,誤差均在合理范圍內(nèi),驗證了運動學(xué)模型理論分析的合理性。

6 結(jié)束語

本文設(shè)計了一種空間四自由度柔順并聯(lián)機(jī)構(gòu)。使用SolidWorks軟件建立了空間四自由度柔順并聯(lián)定位平臺的模型,首先了進(jìn)行理論計算,然后用ANSYS Workbench軟件進(jìn)行了有限元分析,得到位移云圖。經(jīng)分析可知,驅(qū)動平臺運動時其位移分布較合理,誤差也在合理范圍內(nèi)?？臻g四自由度柔順并聯(lián)定位平臺定位精度可達(dá)微米級。