對(duì)高中物理實(shí)驗(yàn)題中直線斜率計(jì)算的討論

譚小虎 陳嘉聰 馬 穎

(廣州大學(xué)物理與材料科學(xué)學(xué)院,廣東 廣州 510006)

培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)驗(yàn)探究能力是高中物理教學(xué)的重要目標(biāo),實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理是實(shí)驗(yàn)探究的重要一環(huán).課標(biāo)明確提出學(xué)生要會(huì)用圖像處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),能根據(jù)圖像獲得結(jié)論[1].

實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合直線斜率的計(jì)算是高中物理實(shí)驗(yàn)題常見的考查形式,這類題計(jì)算方法多、計(jì)算量大、出錯(cuò)概率高,且在教學(xué)中常常缺少明確的計(jì)算方法指導(dǎo),成為學(xué)生不易攻克的難點(diǎn)問題.本文為尋求簡(jiǎn)便、準(zhǔn)確的計(jì)算方法,討論了最小二乘法、逐差法[2]、作圖法[3]和常見不嚴(yán)謹(jǐn)解法在計(jì)算結(jié)果與過程方面的差異,希望能為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合直線斜率計(jì)算題的教學(xué)提供一定參考.

1 問題提出與初步分析

以2019年高考物理江蘇卷第11題第4、第5小問為例,對(duì)原題文字?jǐn)⑹龊蛨D表稍作調(diào)整后,問題呈現(xiàn)如下.

為測(cè)量Rx,利用圖1(a)所示電路,調(diào)節(jié)滑動(dòng)變阻器測(cè)得5組電壓U1和電流I1的值,作出U1-I1圖像如圖1(b)所示.再將電壓表改接在a、b兩端,測(cè)得5組電壓U2和電流I2的值,數(shù)據(jù)見表1,請(qǐng)根據(jù)已知數(shù)據(jù)繪制U2-I2圖像,并計(jì)算Rx的值.

表1 U2和I2的值

圖1 電路圖及U1-I1關(guān)系圖像

①

②

③

此題關(guān)鍵在于如何利用現(xiàn)有數(shù)據(jù)盡可能準(zhǔn)確地計(jì)算U1/I1和U2/I2的值,兩值的計(jì)算本質(zhì)上都是實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合直線斜率的計(jì)算.由于計(jì)算U2/I2值所需數(shù)據(jù)已直接給出,下面將利用多種方法先對(duì)U2/I2的值進(jìn)行計(jì)算并分析差異.

2 U2/I2值的計(jì)算與四種方法的比較

最小二乘法、逐差法和作圖法是物理實(shí)驗(yàn)常用的數(shù)據(jù)處理方法,討論它們?cè)诟咧形锢韺?shí)驗(yàn)題中使用的可行性對(duì)于高中教學(xué)具有重要意義.對(duì)學(xué)生最常使用的不嚴(yán)謹(jǐn)計(jì)算方法進(jìn)行簡(jiǎn)析,在教學(xué)中明確該方法的缺陷同樣重要.

2.1 最小二乘法

最小二乘法是高中階段精度最高的直線擬合方法,利用該方法計(jì)算U2/I2的值,并作為標(biāo)準(zhǔn)值,再比較其它計(jì)算方法與該方法的差異.

設(shè)(x1,y1),(x2,y2),…,(xi,yi),…,(xn,yn)是實(shí)驗(yàn)測(cè)得自變量x與因變量y的n組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù),處理實(shí)際問題時(shí),誤差較小的變量作為xi.本題沒有對(duì)兩電表的測(cè)量誤差作明確敘述,因此認(rèn)為兩表測(cè)量誤差相差不大,選取任一電表的測(cè)量值作為xi在計(jì)算中均可接受.以I2i作為xi,結(jié)合表1數(shù)據(jù)由最小二乘法公式得:

④

再由excel軟件得到U2-I2圖像如圖2所示.

圖2 U2-I2關(guān)系圖像

最小二乘法可以精確地計(jì)算U2/I2的值,但計(jì)算量較大,步驟較多,花費(fèi)時(shí)間較長(zhǎng).考慮到物理科考試時(shí)長(zhǎng)的限制,并非所有學(xué)生都適合在物理實(shí)驗(yàn)題計(jì)算中采用最小二乘法,因此,還需對(duì)其他計(jì)算方法進(jìn)行對(duì)比和討論.

2.2 逐差法

學(xué)生在“測(cè)定勻變速直線運(yùn)動(dòng)的加速度”實(shí)驗(yàn)中首次利用逐差法處理數(shù)據(jù)、計(jì)算加速度,在此之后,應(yīng)當(dāng)理解和掌握逐差法.教師要讓學(xué)生知道逐差法是數(shù)據(jù)處理的方法,而非加速度計(jì)算的專屬方法,讓學(xué)生在電路實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理中使用逐差法,可實(shí)現(xiàn)知識(shí)的正向遷移.

⑤

以最小二乘法計(jì)算結(jié)果為標(biāo)準(zhǔn)值,聯(lián)立④⑤得以上結(jié)果相對(duì)誤差為0.58%,可見應(yīng)用逐差法計(jì)算,準(zhǔn)確性較高.

逐差法在計(jì)算量小、過程簡(jiǎn)單的前提下達(dá)到了較高的準(zhǔn)確度.強(qiáng)調(diào)逐差法在多種實(shí)驗(yàn)情景下的使用,不再局限于計(jì)算加速度,可提升學(xué)生實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理和知識(shí)遷移的能力.

2.3 作圖法

作圖法即基于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)描點(diǎn)手繪圖線以后,若圖線為一條直線,則在直線上另取兩點(diǎn)坐標(biāo)(x1,y1)、(x2,y2),通過以下公式計(jì)算直線斜率k:

⑥

應(yīng)用作圖法計(jì)算,結(jié)果較為準(zhǔn)確,且選擇離中值較遠(yuǎn)的兩點(diǎn)數(shù)據(jù)代入計(jì)算時(shí)相對(duì)誤差更小.不過,作圖法的計(jì)算建立在人手畫圖的基礎(chǔ)上,計(jì)算結(jié)果受人為因素影響較大,偶然性較強(qiáng),應(yīng)作為逐差法不適用時(shí)的備選方法.

2.4 常見的不嚴(yán)謹(jǐn)解法簡(jiǎn)析

部分學(xué)生由于基礎(chǔ)不扎實(shí)或貪圖計(jì)算方便,計(jì)算擬合直線斜率時(shí),在已有的多組數(shù)據(jù)中只隨意取用一組進(jìn)行計(jì)算,此種計(jì)算方法不夠嚴(yán)謹(jǐn)、科學(xué),下文將該方法簡(jiǎn)稱為單點(diǎn)法.為避免學(xué)生再使用單點(diǎn)法,與此同時(shí)利用單點(diǎn)法的不嚴(yán)謹(jǐn)性培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)思維,教師應(yīng)向?qū)W生展示單點(diǎn)法計(jì)算結(jié)果的誤差,給學(xué)生親身體會(huì)其不嚴(yán)謹(jǐn)性,留下深刻印象.

在本題中使用單點(diǎn)法即將表1中5組電壓和電流的值分別相除得到5組U2/I2值,計(jì)算結(jié)果及其與最小二乘法結(jié)果之間的相對(duì)誤差如表2所示.

表2 單點(diǎn)法計(jì)算結(jié)果

由表2可知,5次單點(diǎn)法計(jì)算結(jié)果存在明顯差異,具有較大的偶然性.教師要讓學(xué)生明白沒有充分利用數(shù)據(jù),計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確性將難以保障.單點(diǎn)法違背了利用多組數(shù)據(jù)以期望減小誤差的基本實(shí)驗(yàn)原則,不利于學(xué)生實(shí)驗(yàn)探究意識(shí)和能力的提升.

綜上,在高中物理實(shí)驗(yàn)題中計(jì)算實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合直線斜率時(shí),逐差法應(yīng)作為首選方法,而作圖法則是逐差法不適用時(shí)的可選方法.

3 U1/I1值與Rx值的計(jì)算

計(jì)算U1/I1值需要在圖1(b)中讀取點(diǎn)跡的坐標(biāo),可確定圖1(b)中點(diǎn)跡的橫坐標(biāo)即I1值是等間隔變化,而縱坐標(biāo)U1值的準(zhǔn)確讀取則需要利用圖1(b)中的小方格進(jìn)行估讀.

縱軸上得分度值為0.1V,因此讀數(shù)時(shí)采用十分法估讀到分度值后一位,讀取圖1(b)中的點(diǎn)跡坐標(biāo)如表3所示.

表3 原題圖2讀數(shù)結(jié)果

⑨

利用逐差法計(jì)算U1/I1的值,舍棄U1值最小的那組數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算,結(jié)合表3數(shù)據(jù)由逐差公式得:

⑩

聯(lián)立③④⑨可得最小二乘法求得的待測(cè)電阻:Rx=23.25 Ω

聯(lián)立③⑤⑩可得逐差法求得的待測(cè)電阻:

Rx=23.63 Ω

4 結(jié)束語(yǔ)

在計(jì)算高中物理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合直線的斜率時(shí),建議使用逐差法和作圖法,其中逐差法為首選方法.當(dāng)逐差法不適用時(shí)再選用作圖法,選用時(shí)取用離中值較遠(yuǎn)的兩組數(shù)據(jù)代入計(jì)算,相對(duì)誤差更小.