單套索人工肌肉的力學(xué)特性建模及試驗(yàn)分析

楊明星, 夏玉磊, 劉慶運(yùn), 湯國(guó)慶, 鄭近德

(1.安徽工業(yè)大學(xué) 特種重載機(jī)器人安徽省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,安徽 馬鞍山 243032; 2.安徽工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院,安徽 馬鞍山 243032)

套索傳動(dòng)裝置主要由具有外部的螺旋中空套管、內(nèi)部的柔性鋼絲繩索、端部固定的螺栓以及其它緊固件組成,具有結(jié)構(gòu)輕巧柔軟、質(zhì)量輕、傳輸路徑靈活多變、輸出力矩大的優(yōu)點(diǎn)。此外,套索傳動(dòng)裝置還能夠穿過(guò)狹窄彎曲的空間進(jìn)行遠(yuǎn)程動(dòng)力傳遞,并巧妙地實(shí)現(xiàn)驅(qū)動(dòng)部件和執(zhí)行部件的分離,可以有效簡(jiǎn)化機(jī)械結(jié)構(gòu)的本體設(shè)計(jì),降低系統(tǒng)整體的質(zhì)量和體積。目前,套索傳動(dòng)系統(tǒng)被廣泛用于多種類型的機(jī)器人及其傳動(dòng)裝置的系統(tǒng)設(shè)計(jì)中,如仿生靈感下的彈性執(zhí)行器設(shè)計(jì)[1]、穿戴式外骨骼機(jī)器人的驅(qū)動(dòng)部件外置[2]、機(jī)器人靈巧手的遠(yuǎn)端驅(qū)動(dòng)控制[3]以及多功能連續(xù)體機(jī)器人的姿態(tài)操作[4]等。但由于套索驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)中存在繩索受力狀態(tài)時(shí)的長(zhǎng)度變化、套管和繩索間的摩擦等因素的影響,引入了死區(qū)、間隙和遲滯等諸多非線性特性,這不僅會(huì)造成套索系統(tǒng)在傳動(dòng)過(guò)程中的能量損耗,而且嚴(yán)重影響末端執(zhí)行器的精確定位和可靠性操作[5-6]。

為了建立精確的數(shù)學(xué)模型,消除工程應(yīng)用中因傳?動(dòng)死區(qū)、摩擦、遲滯等特征的影響,國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者對(duì)套索傳動(dòng)的非線性特性進(jìn)行了研究,并取得了一些進(jìn)展。意大利博洛尼亞大學(xué)的Palli等[7]使用類LuGre動(dòng)態(tài)摩擦模型來(lái)研究繩索的蠕變現(xiàn)象,并基于靜摩擦模型對(duì)具有前饋摩擦補(bǔ)償?shù)奶姿骼刂普归_(kāi)了研究。為了描述套索驅(qū)動(dòng)手術(shù)機(jī)器人中因摩擦效應(yīng)引起的遲滯現(xiàn)象,新加坡南洋理工大學(xué)的Do等[8]提出一種改進(jìn)的歸一化Bouc-Wen模型來(lái)模擬繩索和套管之間的摩擦特性,并通過(guò)計(jì)仿真計(jì)算和試驗(yàn)驗(yàn)證了模型的正確性。加拿大瑞爾森大學(xué)的Norouzi-Ghazbi等[9]基于內(nèi)部驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)和柔性體之間的連續(xù)交互作用,建立了等效的離散模型來(lái)模擬具有連續(xù)相互作用的套索傳動(dòng)柔順特性,完成了驅(qū)動(dòng)端到連續(xù)體機(jī)器人末端執(zhí)行器之間力傳遞未知參數(shù)的識(shí)別。韓國(guó)科學(xué)技術(shù)高級(jí)學(xué)院的Rho等[10]利用電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)套索方式進(jìn)行了便攜性柔性外骨骼手套的設(shè)計(jì),提高了整個(gè)裝置的功率/質(zhì)量比,但是沒(méi)有進(jìn)行力-位移關(guān)系的建模分析。東南大學(xué)的王興松教授課題組成員一直致力于套索傳動(dòng)技術(shù)相關(guān)的研究,團(tuán)隊(duì)在套索系統(tǒng)力矩傳動(dòng)特性分析與建模[11]、驅(qū)動(dòng)執(zhí)行器設(shè)計(jì)[12]及其在外骨骼機(jī)器人[13]中的應(yīng)用等方面均有豐碩成果產(chǎn)出。

在套索傳動(dòng)路徑上適當(dāng)增加彈性元件可以減小執(zhí)行器所受到的沖擊,從而使機(jī)器人獲得更好的柔順交互性能。意大利理工學(xué)院的Di等[14]設(shè)計(jì)了一款以套索作為驅(qū)動(dòng)方式的下肢外骨骼機(jī)器人,在套索輸出端位置增加了彈簧并配備了彈簧預(yù)緊裝置,保證了系統(tǒng)的柔順性和控制精度。西安電子科技大學(xué)的李清桓等[15]設(shè)計(jì)了一款繩索驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)器人,將彈性元件加入繩索傳動(dòng)中,起到增加張緊作用的同時(shí)改善了系統(tǒng)的剛度,但建立的傳輸模型對(duì)柔性繩索傳動(dòng)特性的解釋不夠充分。中科院沈陽(yáng)自動(dòng)化研究所的劉自文等[16]設(shè)計(jì)了一款套索傳動(dòng)的柔性外骨骼手套,進(jìn)行了人體穿戴抓取物體的力控制試驗(yàn)。南京航空航天大學(xué)的陳柏等[17]提出一種基于套索的人工肌肉驅(qū)動(dòng)器,該人工肌肉由套索、拉伸彈簧和壓縮彈簧構(gòu)成,三者共同作用可實(shí)現(xiàn)相當(dāng)?shù)膹椥院腿犴樞浴Ｉ鲜鲅芯抗ぷ髦饕杏谔姿鱾鲃?dòng)在應(yīng)用中的功能實(shí)現(xiàn),對(duì)于在新型驅(qū)動(dòng)裝置中出現(xiàn)的特有死區(qū)、摩擦、遲滯等現(xiàn)象缺乏針對(duì)性的理論分析,在一定程度上制約了新型執(zhí)行器性能的進(jìn)一步提升。

本文將Hill肌肉模型與套索傳動(dòng)機(jī)構(gòu)相結(jié)合,提出了一種新型的單套索人工肌肉驅(qū)動(dòng)器,該裝置具有簡(jiǎn)單的機(jī)械結(jié)構(gòu)和優(yōu)異的柔順驅(qū)動(dòng)性能,為創(chuàng)新性柔順驅(qū)動(dòng)器的實(shí)現(xiàn)提供了一種思路。分別從靜力學(xué)和動(dòng)力學(xué)的角度對(duì)套索傳動(dòng)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了建模和分析,根據(jù)剛度關(guān)系將輸入位移選為動(dòng)力學(xué)模型輸入,提高了模型的實(shí)用性。在此基礎(chǔ)上分析了套索人工肌肉傳遞特性影響因素,并搭建試驗(yàn)臺(tái)進(jìn)行了試驗(yàn)驗(yàn)證,所得結(jié)論為套索人工肌肉的工程應(yīng)用提供重要的理論支持。

1 單套索人工肌肉傳動(dòng)特性建模

如圖1(a)所示,單套索人工肌肉的設(shè)計(jì)靈感來(lái)自Hill肌肉模型。Hill肌肉模型是描述肌肉特性的一種簡(jiǎn)單而有效的方式,在簡(jiǎn)化肌肉的功能和結(jié)構(gòu)之后,它主要包括三種物理元素:一個(gè)可控收縮力的收縮元CE、一個(gè)與CE并聯(lián)的彈性元PE、一個(gè)與CE和PE串聯(lián)的彈性元SE[18]。其中,CE產(chǎn)生的力等于SE產(chǎn)生的力,最終肌肉模型產(chǎn)生的力等于PE和CE的組合,這三個(gè)要素協(xié)同作用,以順利實(shí)現(xiàn)特定肌肉的傳輸特性。

圖1 基于Hill模型的單套索人工肌肉原理示意圖Fig.1 Schematic diagram of a single tendon-sheath artificial muscle based on Hill model

結(jié)合Hill三元素模型以及套索傳動(dòng)系統(tǒng),得到如圖1(b)所示的單套索人工肌肉整體結(jié)構(gòu)方案。其中,傳動(dòng)系統(tǒng)的末端連接到一個(gè)拉簧,該拉伸彈簧在系統(tǒng)中充當(dāng)負(fù)載。電機(jī)驅(qū)動(dòng)的套索部分作為肌肉的主動(dòng)收縮元CE為系統(tǒng)提供收縮力和位移,套管末端與擋塊之間的拉伸彈簧可以看作為人工肌肉的串聯(lián)彈性元SE,繩索與擋塊固連后與負(fù)載拉簧相連。并聯(lián)彈性元PE的一端固定,另一端通過(guò)擋塊與繩索單向連接。當(dāng)肌肉長(zhǎng)度小于原長(zhǎng)度時(shí),擋塊與PE之間無(wú)接觸,PE彈性元不參與作用;當(dāng)肌肉被拉伸超出原長(zhǎng)時(shí),擋塊會(huì)帶動(dòng)PE向外拉伸,此時(shí)PE就會(huì)承受部分拉力。PE在被拉到一定程度時(shí)可承受絕大部分負(fù)載以保護(hù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)。本文設(shè)計(jì)的單套索人工肌肉結(jié)構(gòu)輕巧、輸出力大,具有類似肌肉的彈性及收縮機(jī)制。為了研究套索人工肌肉的傳動(dòng)特性并進(jìn)一步提高其在致動(dòng)器中的應(yīng)用性能,有必要對(duì)其傳動(dòng)性能相關(guān)的靜力學(xué)特性和動(dòng)力傳動(dòng)特性進(jìn)行分析。

1.1 單套索人工肌肉靜力學(xué)建模

(1)單套索傳動(dòng)靜力學(xué)建模

如圖2所示為單套索傳動(dòng)模型,通常情況下套索在工作時(shí)可以看作是一條任意光滑的空間曲線。套管的兩端分別固定在J,K兩處,Xin,Fin分別表示傳動(dòng)系統(tǒng)的輸入位移與輸入拉力,Xout,Fout分別為系統(tǒng)相應(yīng)的輸出位移與輸出拉力,x是指從J點(diǎn)起沿套管方向的弧長(zhǎng),L為套管的總長(zhǎng)度,kL為彈性負(fù)載的剛度。

圖2 任意形狀的單套索傳動(dòng)模型Fig.2 A single tendon-sheath transmission model with arbitrary shape

考慮到套索的摩擦力主要由彎曲繩索所受的軸向拉力產(chǎn)生,為了進(jìn)一步定量分析套索力與位移之間的傳遞關(guān)系,可以通過(guò)微元分析方法建立空間任意曲線形式的套索傳動(dòng)模型。如圖3所示,可將套索分割成若干段,每一段可作為一個(gè)二維微元體,取弧長(zhǎng)x處的微元體進(jìn)行分析,R(x)為微元彎曲半徑,F(x)與F(x+Δx)分別為目標(biāo)套索微元兩端的拉力,Δx代表微元弧長(zhǎng),Δθ是微元弧長(zhǎng)所對(duì)應(yīng)的圓心角,Ff與FN分別為套管對(duì)繩索的動(dòng)摩擦力和法向壓力。

圖3 套索的微元體受力分析Fig.3 Force analysis of the tendon-sheath element

對(duì)套索微元進(jìn)行受力平衡分析可得

(1)

(2)

考慮當(dāng)微元足夠小時(shí),高階無(wú)窮小量dF(x)sin(Δθ/2)可以忽略不計(jì),cos(Δθ/2) =1且sin(Δθ/2)=Δθ/2。因此式(2)可寫(xiě)為

(3)

因?yàn)?消去式(3)中的Ff和FN可得

(4)

式中,κ(x)為弧長(zhǎng)x處套管的曲率。

(5)

式中:ξ(L)為整條套索曲線的彎曲程度;F(0),F(L)分別為輸入端和輸出端的拉力。

由于系統(tǒng)中的繩索存在彈性形變,當(dāng)輸入拉力方向剛開(kāi)始改變時(shí)輸出端的拉力仍保持上一時(shí)刻的值而不會(huì)立刻響應(yīng),直到輸入端拉力減小至輸出端拉力足以反向拉動(dòng)整段套索為止。其數(shù)學(xué)表述為

(6)

假設(shè)繩索一直處于彈性形變范圍內(nèi),根據(jù)胡克定律可以獲得套索微元的形變量為

(7)

式中:dδ(x)為x處微元體的形變量;E,A分別為繩索的彈性模量和橫截面積。

假設(shè)繩索不存在軸向轉(zhuǎn)動(dòng),可在區(qū)間[0,L]內(nèi)對(duì)式(7)進(jìn)行積分描述套索傳遞路徑上總的變形量為

(8)

套索變形量與力的傳遞有相似之處,假設(shè)在t0時(shí)刻輸入端運(yùn)動(dòng)方向改變時(shí)其輸出端位移保持不變,直到進(jìn)入下一個(gè)響應(yīng)階段。因此,套索總形變量表述為

(9)

此時(shí),套索輸入位移和輸出位移的關(guān)系為

Xout=Xin-δ(x)

(10)

因此,單套索傳動(dòng)機(jī)構(gòu)中靜力學(xué)研究的力與位移傳遞關(guān)系可通過(guò)式(5)、式(9)以及式(10)來(lái)描述。

(2)單套索傳動(dòng)死區(qū)分析

由于套索傳動(dòng)死區(qū)對(duì)本研究套索人工肌肉的傳動(dòng)特性有一定影響,有必要針對(duì)影響套索死區(qū)大小的因素進(jìn)行分析。

在套索由拉伸狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)榉潘蔂顟B(tài)時(shí)會(huì)經(jīng)過(guò)一個(gè)放松死區(qū),由放松狀態(tài)變?yōu)槔鞝顟B(tài)時(shí)會(huì)經(jīng)過(guò)一個(gè)拉伸死區(qū)。放松位移死區(qū)為拉伸狀態(tài)結(jié)束時(shí)拉索的總伸長(zhǎng)量與放松狀態(tài)下輸出端將有位移輸出時(shí)拉索的總伸長(zhǎng)量之差,這兩個(gè)狀態(tài)點(diǎn)的輸入拉力之差即為放松力死區(qū)。具體推導(dǎo)過(guò)程如下。

為了簡(jiǎn)化結(jié)論推導(dǎo),這里不妨假設(shè)套管曲率半徑為定值R。令P,P′分別為放松位移死區(qū)和放松力死區(qū)的輸入位移變化量,根據(jù)式(6)和式(9)可得

(11)

P′=Fin1-Fin2

(12)

式中:ε1=1-exp(-μξ(L));ε2=1-exp(μξ(L));Fin1為放松死區(qū)起點(diǎn)時(shí)套索輸入端拉力,Fin2為放松死區(qū)終點(diǎn)套索輸入端拉力。令F01為放松死區(qū)套索輸出端拉力,由式(6)可知Fin1與Fin2可表示為

(13)

聯(lián)立式(11)～式(13)可得

(14)

由式(14)可以看出當(dāng)套索全曲率ξ(L)不變時(shí),隨著R值的增大,套索傳動(dòng)位移的損耗和位移死區(qū)也將增大。值得注意的是,相同情況下拉力死區(qū)不受套管半徑R的影響。

為了探究摩擦因數(shù)μ以及全曲率ξ(L)對(duì)放松死區(qū)的影響,根據(jù)式(14)將放松位移死區(qū)函數(shù)P分別對(duì)全曲率ξ(L)、摩擦因數(shù)μ進(jìn)行求導(dǎo)可得

(15)

式中,ζ=μξ(L)(eμξ(L)-e-μξ(L))-eμξ(L)-e-μξ(L)+2。

已知式(15)中的參數(shù)均為正數(shù),顯然放松位移死區(qū)P及其對(duì)ξ(L)的導(dǎo)數(shù)值恒大于零,故隨著全曲率ξ(L)的增大,放松位移死區(qū)P也會(huì)隨之增大。此外,由式(15)無(wú)法直接看出?與0的大小關(guān)系,可將?視為μ的函數(shù),?(μ)的導(dǎo)數(shù)為

(16)

式中,參數(shù)均為正數(shù),所以?(μ)的導(dǎo)數(shù)大于零,并且由?(0)=0和μ>0可知?(μ)>0,從而可得P對(duì)μ的導(dǎo)數(shù)值大于零。因此,隨著摩擦因數(shù)的增大,拉伸位移死區(qū)也會(huì)隨之增大。同理可證放松力死區(qū)P′隨著摩擦因數(shù)μ的增大而增大,放松力死區(qū)P′也隨著全曲率ξ(L)的增大而增大。拉伸死區(qū)分析情況與放松死區(qū)的分析方法相同,在此不再贅述。

綜上,全曲率ξ(L)、摩擦力μ的增大將會(huì)增加套索在傳動(dòng)過(guò)程中力和位移的損耗。除此之外,全曲率一定時(shí),位移死區(qū)還隨著套管半徑R增大而增大,但拉力死區(qū)不受套管半徑R的影響。

(3)單套索人工肌肉建模

為便于分析,本研究基于Hill肌肉模型的套索人工肌肉的結(jié)構(gòu)原理如圖4所示。首先假設(shè)在t1時(shí)刻擋塊開(kāi)始與并聯(lián)彈性元PE相互接觸,設(shè)此時(shí)人工肌肉長(zhǎng)度變化量ΔLe以及套索輸出位移Xout均為0。

圖4 Hill人工肌肉結(jié)構(gòu)原理圖Fig.4 Structural schematic diagram of the Hill artificial muscle

人工肌肉的長(zhǎng)度等于原長(zhǎng)的初始時(shí)刻,因并聯(lián)彈性元PE承載的拉力小于其初始內(nèi)應(yīng)力Fj,其長(zhǎng)度并無(wú)明顯變化,當(dāng)其內(nèi)應(yīng)力被完全克服后會(huì)促使并聯(lián)彈性元開(kāi)始動(dòng)作。因此,給定Xj=-Fj/kSE和Xc=Xout(t)-Xout(t1),則有

(17)

此時(shí),對(duì)擋塊節(jié)點(diǎn)處受力分析,可得

Fm=FPE+FSE

(18)

式中,FSE=FCE=F(L,t)。

將式(6)、式(17)和式(18)聯(lián)立求解,可得人工肌肉力傳遞特性表達(dá)式為

(19)

由式(19)可以看出:當(dāng)人工肌肉長(zhǎng)度小于原長(zhǎng)時(shí)并聯(lián)彈性元不參與作用,此刻Xout≥0,λ=FPE=0,Fm=FCE;在t1時(shí)刻,并聯(lián)彈性元與擋塊開(kāi)始相互接觸,此時(shí)FPE=0且Fm=FCE;當(dāng)PE承載部分力但其長(zhǎng)度幾乎不發(fā)生改變(即0>Xc>Xj)時(shí),FPE=|Xc|kSE,肌肉輸出力由PE和SE共同提供;當(dāng)肌肉長(zhǎng)度變化量為ΔLe>0時(shí),PE承擔(dān)的拉力與長(zhǎng)度變化量遵循胡克定律?；谏鲜龇治?選取合適參數(shù)對(duì)套索人工肌肉靜態(tài)模型進(jìn)行仿真,所得拉力及位移傳遞特性曲線如圖5所示。

圖5 套索人工肌肉的靜態(tài)模型仿真Fig.5 Static model simulation of the tendon-sheath artificial muscle

a～b過(guò)程,電機(jī)輸入位移從0增至9.8 mm,系統(tǒng)輸出拉力從34.4 N增至43.6 N;b～c過(guò)程,電機(jī)反轉(zhuǎn),電機(jī)輸入位移由9.8 mm減至9.7 mm,因死區(qū)的存在,其輸出端無(wú)響應(yīng),輸出拉力保持在43.6 N附近;c～d過(guò)程,電機(jī)輸入位移繼續(xù)減至0,輸出端拉力逐漸從43.6 N減至34.4 N,因擋塊只在人工肌肉伸長(zhǎng)時(shí)起作用,此時(shí)并聯(lián)彈性元不參與作用;d～e過(guò)程,電機(jī)輸入位移由0減小至-2.82 mm,并聯(lián)彈性元受到的拉力小于其內(nèi)應(yīng)力,其長(zhǎng)度無(wú)明顯變化,人工肌肉輸出力保持在34.4 N附近。至此完成了人工肌肉的半個(gè)動(dòng)作周期,后半個(gè)周期與前半個(gè)周期類似,在此不再贅述。

1.2 單套索人工肌肉的動(dòng)力學(xué)建模

在上述靜力學(xué)模型中忽略了繩索的質(zhì)量以及速度對(duì)力的影響,因此在動(dòng)力學(xué)模型中加入了繩索質(zhì)量和阻尼。如圖6所示,將圖2所示的繩索分成n個(gè)首尾相連的彈簧-質(zhì)量-阻尼系統(tǒng),其中xin,xout,Fin,Fout和kL分別表示系統(tǒng)輸入位移、輸出位移、輸入拉力、輸出拉力以及負(fù)載的彈性系數(shù);xi,mi,ki,fi,ci分別表示第i個(gè)套索單元的位移、質(zhì)量、彈性系數(shù)、來(lái)自套管的摩擦力和阻尼系數(shù)。

圖6 單套索傳動(dòng)的動(dòng)力學(xué)模型示意圖Fig.6 Schematic diagram of dynamic model for the single tendon-sheath transmission

根據(jù)牛頓方程,對(duì)第i個(gè)彈簧-質(zhì)量-阻尼系統(tǒng)受力分析可得

(20)

式中:1≤i≤n;x0=xin;cn+1=0。此時(shí),輸出力和位移可表示為

(21)

式中,F0為預(yù)緊力。

如圖7所示,在動(dòng)力學(xué)的基礎(chǔ)上加入串聯(lián)/并聯(lián)彈性元后,套索人工肌肉的運(yùn)動(dòng)過(guò)程可以分為如下三個(gè)階段。

圖7 套索人工肌肉的動(dòng)力學(xué)模型圖Fig.7 Dynamic model diagram of the tendon-sheath artificial muscle

第一階段:舒張階段。此時(shí)并聯(lián)彈性元參與作用,人工肌肉的長(zhǎng)度大于原長(zhǎng),此時(shí)動(dòng)力學(xué)方程表述為

(22)

式中:Kr1=kSE(kPE+kL)/(kSE+kPE+kL);0≤xn≤A-xj;A為輸入位移的幅值;xj=Fj/kSE;Fj為并聯(lián)彈性元作用時(shí)的內(nèi)應(yīng)力。

第二階段:克服彈簧內(nèi)應(yīng)力階段。由于并聯(lián)彈性元存在初始內(nèi)應(yīng)力,使得當(dāng)并聯(lián)彈性元達(dá)到原長(zhǎng)時(shí)其上依然存在力,此時(shí)串聯(lián)彈性元需要繼續(xù)拉伸至其上的拉力與負(fù)載彈簧拉力相等時(shí),并聯(lián)彈性元拉力為零,此時(shí)動(dòng)力學(xué)方程表述為

(23)

其中,

第三階段:收縮階段。此時(shí)并聯(lián)彈性元不參與作用,人工肌肉可簡(jiǎn)化為串聯(lián)彈性元與負(fù)載彈簧串聯(lián)的模型,其動(dòng)力學(xué)方程可表述為

(24)

式中,A

針對(duì)套索傳動(dòng)系統(tǒng)力傳遞死區(qū)明顯的問(wèn)題,為了提高模型的實(shí)用性,將系統(tǒng)輸入端位移選為動(dòng)力學(xué)模型的輸入。綜上所述,可得套索傳動(dòng)的動(dòng)態(tài)模型為

(25)

其中,

(26)

(27)

(28)

M,K,C均為n階方陣,M可描述為

M=diag(m,…,m)

(29)

K可描述為

K=K(i,j)

(30)

式中,1≤i≤n,1≤j≤n,K(n,n)=km。當(dāng)i=jXc時(shí)km=-k-[kSE(kPE+kL)]/(kSE+kPE+kL),Dm=0,人工肌肉工作在舒張階段; 當(dāng)0>Xc>Xj時(shí)km=-k-kSE,Dm=A·kSE-Fd,人工肌肉工作在克服并聯(lián)彈性元內(nèi)應(yīng)力階段; 當(dāng)Xc>0時(shí)km=-k-kSE·kL/(kSE+kL),Dm=A·kSE·kL/(kSE+kL)-Fd,人工肌肉工作在收縮階段。

C=C(i,j)

(31)

式中,1≤i≤n,1≤j≤n,C(n,n)=-c。當(dāng)i=j

綜上所述,式(25)中除了未知的摩擦力向量fn×1,其余參數(shù)均為已知或可求量。因此,對(duì)套索動(dòng)力學(xué)模型求解問(wèn)題轉(zhuǎn)換成了處理套索內(nèi)部摩擦力的問(wèn)題?？紤]LuGre動(dòng)態(tài)摩擦模型可以準(zhǔn)確地描述庫(kù)倫摩擦、黏性摩擦、預(yù)滑動(dòng)、Stribeck效應(yīng)等現(xiàn)象,同時(shí)又具有良好的實(shí)用性、求解方便容易理解等優(yōu)點(diǎn)。本研究采用Lugre模型對(duì)系統(tǒng)的摩擦進(jìn)行描述,Lugre模型的數(shù)學(xué)描述為

(32)

式中:z為剛毛平均變形量;x為兩接觸表面相對(duì)位移;f為摩擦力;Fc為庫(kù)侖摩擦力;Fs為靜態(tài)黏性摩擦力;σ0為剛毛剛度;σ1為微觀阻尼系數(shù);σ2黏性摩擦因數(shù);νs為Stribeck速度。

聯(lián)立式(25)和式(32),套索傳動(dòng)整個(gè)過(guò)程的動(dòng)態(tài)過(guò)程可描述為

(33)

為初步驗(yàn)證所建立的套索傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)模型以及基于套索傳動(dòng)的人工肌肉動(dòng)態(tài)模型的正確性,以試驗(yàn)參數(shù)為準(zhǔn)對(duì)單套索模型以及基于套索傳動(dòng)的人工肌肉模型進(jìn)行仿真分析。試驗(yàn)所用繩索直徑d=1.2 mm,套管長(zhǎng)度L=785 mm,繩索線密度ρ=0.25 kg/(100 m),套管全曲率θ=π,負(fù)載彈簧剛度KL=1.58 N/mm,串聯(lián)彈性元?jiǎng)偠菿SE=2.23 N/mm,并聯(lián)彈性元?jiǎng)偠菿PE=1.11 N/mm,系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)參數(shù)如表1所示。

表1 動(dòng)態(tài)模型仿真參數(shù)Tab.1 Parameters of dynamic model simulation

仿真計(jì)算得套索傳動(dòng)動(dòng)態(tài)模型的拉力和位移特性曲線如圖8所示,套索人工人肌肉動(dòng)態(tài)模型的拉力特性曲線如圖9所示。值得注意的是:雖然試驗(yàn)中規(guī)定了套索輸入端的位移信息為一個(gè)正弦信號(hào),而由于套索的傳遞具有嚴(yán)重的非線性,使得套索輸入力不是正弦信號(hào),為了真實(shí)地反映套索的行為,本文在式(28)中引用了輸入位移來(lái)等效表示輸入力,這樣可以使模型的仿真與實(shí)際情況相符。

圖8 單套索傳動(dòng)的動(dòng)態(tài)模型仿真結(jié)果Fig.8 Dynamic model simulation results of the single tendon-sheath transmission

圖9 套索人工肌肉的動(dòng)態(tài)模型仿真結(jié)果Fig.9 Dynamic model simulation results of the tendon-sheath artificial muscle

2 套索傳動(dòng)試驗(yàn)平臺(tái)搭建及模型驗(yàn)證

2.1 套索傳動(dòng)特性試驗(yàn)平臺(tái)介紹

為了驗(yàn)證推導(dǎo)的單套索傳動(dòng)位移/力傳遞模型及影響其傳動(dòng)特性的因素,搭建了圖10所示的單套索傳動(dòng)試驗(yàn)平臺(tái)。該試驗(yàn)臺(tái)主要由基于dSPACE在內(nèi)的快速控制原型(rapid control prototype,RCP)系統(tǒng)、一個(gè)Maxon電機(jī)及其驅(qū)動(dòng)器、兩個(gè)激光位移傳感器、兩個(gè)拉力傳感器、一根套索以及與其連接的負(fù)載彈簧組成。其中,RCP系統(tǒng)的軟件包括Matlab-simulink、實(shí)時(shí)接口(real-time interface,RTI)模塊庫(kù)和dSPACE上位機(jī)ControlDesk,激光位移傳感器型號(hào)為CMOS IL-300,拉力傳感器的型號(hào)為SBT630。dSPACE通過(guò)CAN-open與電機(jī)驅(qū)動(dòng)器實(shí)現(xiàn)通訊,使電機(jī)工作在位置模式下。電機(jī)通過(guò)套索按照預(yù)定軌跡拉動(dòng)負(fù)載彈簧,位于套索兩端的傳感器用于采集系統(tǒng)的輸入力、輸入位移、輸出力和輸出位移,采集到的模擬量信號(hào)經(jīng)過(guò)數(shù)據(jù)采集卡傳輸至上位機(jī)ControlDesk用于模型驗(yàn)證。

圖10 單套索傳動(dòng)特性的試驗(yàn)平臺(tái)Fig.10 Experimental platform for the single tendon-sheath transmission characteristics

2.2 套索傳動(dòng)模型驗(yàn)證及其影響因素分析

本試驗(yàn)采取控制變量的方法來(lái)探究套索傳動(dòng)影響因素,參照試驗(yàn)組參數(shù)設(shè)置如下:輸入位移10 sin(ωx)+10(mm),套管彎曲半徑250 mm,全曲率為π,套管內(nèi)襯材料為尼龍,預(yù)緊力25 N(預(yù)緊力定義為套索輸出力的最小值)。為了驗(yàn)證已推導(dǎo)套索傳動(dòng)模型的正確性,將理論計(jì)算的仿真結(jié)果與參考試驗(yàn)組的測(cè)試結(jié)果進(jìn)行比較,如圖11所示。

圖11 單套索傳動(dòng)仿真與實(shí)驗(yàn)對(duì)比圖Fig.11 Comparison between simulation and experiment of the single tendon-sheath transmission

圖11的對(duì)比結(jié)果主要反映兩個(gè)現(xiàn)象:一是動(dòng)態(tài)模型與靜態(tài)模型的仿真計(jì)算結(jié)果較為接近;二是試驗(yàn)測(cè)量的系統(tǒng)輸出位移略小于仿真計(jì)算值,在拉力傳遞特性圖中這種差別主要體現(xiàn)在系統(tǒng)開(kāi)始換向時(shí),但總體上模型與試驗(yàn)的誤差較小。前者現(xiàn)象的原因主要是繩索的質(zhì)量較輕且屬于低速傳動(dòng),靜態(tài)模型與動(dòng)態(tài)模型相差較小。對(duì)于后者,除了由于位移傳感器的擋光片無(wú)法安裝在套管的端點(diǎn)處,造成了測(cè)量的輸出位移偏小,還因信號(hào)處理中使用了濾波器導(dǎo)致信號(hào)失真。

此外,根據(jù)前文可知影響套索傳動(dòng)特性的因素主要有傳動(dòng)速度、全曲率ξ(L) 、摩擦因數(shù)μ以及套管半徑R等,下面通過(guò)單獨(dú)調(diào)整某一試驗(yàn)變量來(lái)進(jìn)行試驗(yàn)分析。

(1) 角頻率的影響

該組試驗(yàn)中角頻率分別設(shè)置為0.5 rad/s,1.0 rad/s和1.5 rad/s,得到的傳動(dòng)特性如圖12所示。

從圖12中可以看出,當(dāng)角頻率為0.5 rad/s時(shí)其位移傳遞特性曲線抖動(dòng)較大,這是由于速度較小,系統(tǒng)容易出現(xiàn)爬行現(xiàn)象。由系統(tǒng)力的傳遞特性圖可以看出角頻率為0.5 rad/s時(shí),系統(tǒng)拉力死區(qū)最小;角頻率為1.5 rad/s時(shí),系統(tǒng)拉力死區(qū)最大。因此角頻率增大時(shí)拉力死區(qū)也隨之增大,這是由于在實(shí)際情況下套索內(nèi)部存在與速度相關(guān)的阻尼力。

(2)全曲率的影響

在探究全曲率對(duì)套索傳動(dòng)特性影響時(shí),試驗(yàn)中套管彎曲半徑分別選取了π/2、π和3π/2,套索傳動(dòng)特性曲線如圖13所示。從圖13中可以明顯看出,全曲率由π/2增大到3π/2過(guò)程中拉力放松死區(qū)大約從14.5 N增大到41.1 N。這是因?yàn)槔K索與套管間的接觸面積增大,也就導(dǎo)致了摩擦力的增大。

圖13 不同全曲率時(shí)的位移與拉力關(guān)系圖Fig.13 Diagram of displacement and tension at different total curvature

當(dāng)全曲率為零時(shí)理論上就可以避免死區(qū),但是這并沒(méi)有實(shí)際的應(yīng)用。因此在人工肌肉應(yīng)用領(lǐng)域,在進(jìn)行人工肌肉線路規(guī)劃時(shí)應(yīng)實(shí)現(xiàn)盡可能小的全曲率,以期達(dá)到最好的傳動(dòng)效果。此外,由于套管與繩索間摩擦力的增大使位移傳遞損失增大的同時(shí)拉力損失也隨之增大,所以當(dāng)全曲率變大時(shí)其最大輸出力會(huì)變小,在其它試驗(yàn)中也出現(xiàn)了這種現(xiàn)象。

(3)摩擦力的影響

該組試驗(yàn)中套索的潤(rùn)滑條件分別設(shè)置為尼龍?zhí)坠芗訚?rùn)滑油、尼龍?zhí)坠?、鋼制套管加?rùn)滑油以及鋼制套管四種接觸條件,傳動(dòng)特性曲線如圖14(a)所示。四種條件下的拉力死區(qū)分別為25.6 N,27.4 N,49.5 N和52.9 N,可見(jiàn)摩擦力對(duì)套索傳動(dòng)性能的影響極為明顯,尼龍?zhí)坠芟啾扔阡撝铺坠芷淅λ绤^(qū)減小明顯。為提高套索的傳動(dòng)性能,減小死區(qū)與遲滯現(xiàn)象,本試驗(yàn)在套管中加入了潤(rùn)滑油, 尼龍?zhí)坠芘c鋼套管的傳動(dòng)特性均得到一定改善。

圖14 不同材料時(shí)拉力與位移關(guān)系試驗(yàn)結(jié)果Fig.14 Experimental results of relationship between tension and displacement in different materials

為了便于比較不同條件下套索傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的位移傳遞特性,本文將不同試驗(yàn)組位移傳遞特性圖兩兩進(jìn)行對(duì)比,對(duì)比結(jié)果如圖14(b)～圖14(d)所示。可以看出尼龍?zhí)坠茉囼?yàn)組位移傳遞效率略高于鋼制套管試驗(yàn)組,因此減小摩擦力可提高套索傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的傳遞效率,從其它位移對(duì)比圖中均可得到相似結(jié)論。

(4)套管彎曲半徑的影響

該組試驗(yàn)中套管彎曲半徑分別設(shè)置為250 mm、200 mm、150 mm,得到的傳動(dòng)特性如圖15所示。套管半徑的變化,實(shí)際上是套管長(zhǎng)度的變化,在拉力一定時(shí)套管總長(zhǎng)度與套索伸長(zhǎng)量正相關(guān),由于繩索的剛度較大,力和位移曲線未出現(xiàn)明顯的變化

圖15 不同套管彎曲半徑時(shí)的位移與拉力關(guān)系Fig.15 Relationship between displacement and tension of different casing bending radius

(5)預(yù)緊力的影響

該組試驗(yàn)中套索預(yù)緊力分別設(shè)置為15 N,25 N和35 N,傳動(dòng)特性曲線如圖16所示。由圖可知,在實(shí)現(xiàn)相同目標(biāo)位移的情況下,預(yù)緊力越大使得所需要的拉力也越大,其拉力死區(qū)也會(huì)相應(yīng)變大。這是因?yàn)轭A(yù)緊力增加后,繩索和套管之間的摩擦力隨之增加,位移損失也會(huì)因摩擦力的增大而增大。但考慮在實(shí)際應(yīng)用中,過(guò)小的預(yù)緊力會(huì)導(dǎo)致套索松弛,因此在傳動(dòng)系統(tǒng)工作前有必要對(duì)其進(jìn)行適當(dāng)預(yù)緊。

圖16 不同預(yù)緊力時(shí)的位移與拉力關(guān)系Fig.16 Relationship between displacement and tension under different preloads

3 單套索人工肌肉試驗(yàn)平臺(tái)搭建及模型驗(yàn)證

3.1 單套索人工肌肉的試驗(yàn)平臺(tái)介紹

為了驗(yàn)證套索人工肌肉模型的正確性以及探究串聯(lián)/并聯(lián)彈性元?jiǎng)偠葘?duì)人工肌肉傳動(dòng)性能的影響,在原套索傳動(dòng)試驗(yàn)平臺(tái)的基礎(chǔ)上加入所需的彈性元件,搭建了圖17(a)所示的單套索人工肌肉的性能測(cè)試試驗(yàn)平臺(tái)。其中,主動(dòng)收縮元CE模仿肌纖維為人工肌肉提供動(dòng)力輸入,串聯(lián)彈性元SE模仿肌腱和肌纖維的彈性,并聯(lián)彈性元PE一端固定,另一端通過(guò)滑塊與套索單向連接,其只在人工肌肉被拉長(zhǎng)時(shí)起作用,模仿了肌肉放松狀態(tài)下的被動(dòng)剛度。

圖17 套索人工肌肉的試驗(yàn)原理及其試驗(yàn)平臺(tái)Fig.17 Experimental principle and platform for the single tendon-sheath artificial muscle

由圖17可以看出,繩索的一端與減速器相連,另一端穿過(guò)套管與人工肌肉相連,隨后人工肌肉的末端連接負(fù)載彈簧。套索輸入端和人工肌肉輸出端安裝有拉力傳感器和位移傳感器,用于分別測(cè)量系統(tǒng)的輸入和輸出的力、位移信號(hào)。一方面,將人工肌肉模型仿真計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)測(cè)量結(jié)果進(jìn)行對(duì)比;另一方面,選擇不同剛度的串聯(lián)/并聯(lián)彈性元件進(jìn)行測(cè)試試驗(yàn),采集試驗(yàn)中系統(tǒng)力與位移的數(shù)據(jù),并對(duì)人工肌肉的傳遞特性進(jìn)行對(duì)比分析。

3.2 單套索人工肌肉模型驗(yàn)證結(jié)果分析

定義并聯(lián)彈性元與擋塊開(kāi)始接觸時(shí)人工肌肉為原長(zhǎng),選擇并聯(lián)彈性元、串聯(lián)彈性元?jiǎng)偠确謩e為1.01 N/mm和2.3 N/mm,試驗(yàn)測(cè)得套索人工肌肉的力/位移傳遞特性與仿真計(jì)算結(jié)果的對(duì)比情況如圖18所示。

圖18 套索人工肌肉傳遞特性的結(jié)果對(duì)比圖Fig.18 Comparison of transmission characteristics of the single tendon-sheath artificial muscle

從圖18中可以看出,套索人工肌肉的位移/力傳遞特性的仿真計(jì)算與試驗(yàn)結(jié)果基本吻合,由于套索具有明顯的滯回特性,人工肌肉在收縮和放松過(guò)程中出現(xiàn)了與肌肉相似的滯回現(xiàn)象;然而由于繩索剛度較大,蠕變現(xiàn)象并不明顯。試驗(yàn)結(jié)果中輸出力和輸出位移的最大值略小于仿真計(jì)算,其原因是除了套索傳動(dòng)特性的影響外,人工肌肉的加入增加了輸出位移的測(cè)量結(jié)果。此外,由拉力傳遞特性曲線可知,當(dāng)系統(tǒng)輸出拉力小于34.3 N時(shí)并聯(lián)彈性元參與作用,可以發(fā)現(xiàn)并聯(lián)彈性元的加入在一定程度上降低了人工肌肉的傳遞效率,同時(shí)增大了整體的輸出剛度。

為了分別探究串聯(lián)彈性元?jiǎng)偠群筒⒙?lián)彈性元?jiǎng)偠葘?duì)套索人工肌肉的驅(qū)動(dòng)柔順性、傳動(dòng)效率等特性的影響,先后選取了不同剛度的串聯(lián)/并聯(lián)彈性元件對(duì)人工肌肉傳遞特性進(jìn)行研究。將并聯(lián)彈性元件的剛度設(shè)為1.01 N/mm,串聯(lián)彈性元SE 的剛度分別選為1.2 N/mm,1.9 N/mm,2.3 N/mm和2.96 N/mm,所測(cè)人工肌肉的位移和拉力傳遞特性曲線如圖19(a)所示;將串聯(lián)彈性元件的剛度定為2.3 N/mm,并聯(lián)彈性元PE的剛度分別選為0.37 N/mm、1.0 N/mm、1.3 N/mm和1.9 N/mm,所測(cè)人工肌肉的位移和拉力傳遞特性如圖19(b)所示。

圖19 串聯(lián)/并彈性元對(duì)人工肌肉傳遞特性的影響Fig.19 Influence of series/parallel elastic elements on transfer characteristics of the tendon-sheath artificial muscle

由圖19(a)可以看出,改變串聯(lián)彈性元的剛度對(duì)位移傳遞結(jié)果的影響較大。具體表現(xiàn)為:當(dāng)串聯(lián)彈性元?jiǎng)偠冉档蜁r(shí),輸出位移與輸入位移的比值變小,位移傳遞效率降低,套索人工肌肉表現(xiàn)得更柔順;當(dāng)串聯(lián)彈性元?jiǎng)偠容^大時(shí),套索人工肌肉彈性變形量較小,輸出位移更接近于輸入位移,套索人工肌肉傳動(dòng)效率較高。因此,在實(shí)際應(yīng)用中可以選擇剛度合適的串聯(lián)彈性元以滿足不同應(yīng)用場(chǎng)景的要求。由圖19(b)可以看出,當(dāng)并聯(lián)彈性元?jiǎng)偠冉档蜁r(shí),系統(tǒng)的輸入位移更接近輸出位移,同時(shí)拉力所受阻礙也更小,套索人工肌肉傳動(dòng)效率較高;而當(dāng)并聯(lián)彈性元?jiǎng)偠仍龃髸r(shí),并聯(lián)彈性元對(duì)人工肌肉的保護(hù)力度也隨之提高,但是其位移和力的傳動(dòng)效率出現(xiàn)大幅度降低,因此需要綜合考慮并聯(lián)彈性元對(duì)人工肌肉的保護(hù)力度以及人工肌肉的傳動(dòng)效率選擇適當(dāng)?shù)牟⒙?lián)彈性元?jiǎng)偠取?/p>

4 結(jié) 論

本文通過(guò)理論計(jì)算與試驗(yàn)驗(yàn)證相結(jié)合的方法探究了影響套索人工肌肉傳遞特性的因素。根據(jù)仿真分析以及試驗(yàn)現(xiàn)象的結(jié)果可以得出以下結(jié)論:

(1)全曲率一定時(shí),位移死區(qū)隨著套管半徑R增大而增大,但拉力死區(qū)不受套管半徑R的影響。預(yù)緊力的選擇需要在滿足負(fù)載要求的前提下,盡可能選擇較小值。

(2)可通過(guò)增大串聯(lián)彈性元的剛度提高人工肌肉的傳動(dòng)效率,但是串聯(lián)彈性元?jiǎng)偠冗^(guò)大會(huì)降低人工肌肉的柔順性輸出;并聯(lián)彈性元對(duì)人工肌肉起輔助作用,過(guò)大的剛度會(huì)導(dǎo)致傳動(dòng)效率降低,可依據(jù)現(xiàn)有驅(qū)動(dòng)能力與負(fù)載的大小適當(dāng)選擇并聯(lián)彈性元?jiǎng)偠取?/p>

(3)在系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型中,根據(jù)剛度關(guān)系將動(dòng)力學(xué)模型的輸入選為輸入端位移,提高了模型的實(shí)用性。本文所探究的套索人工肌肉傳遞特性可為套索人工肌肉在工業(yè)機(jī)器人領(lǐng)域、醫(yī)療領(lǐng)域等其他應(yīng)用領(lǐng)域提供重要的理論指導(dǎo)。