數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用策略

鄭冬

【摘要】“數(shù)”與“形”反映了事物兩個(gè)方面的屬性，根據(jù)二者的對(duì)應(yīng)關(guān)系指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)研究是數(shù)學(xué)教學(xué)的有效途徑.文章先介紹了數(shù)形結(jié)合思想的內(nèi)涵，然后結(jié)合具體教學(xué)案例說(shuō)明該思想在教學(xué)導(dǎo)入、精講、練習(xí)、總結(jié)等教學(xué)環(huán)節(jié)中的具體應(yīng)用策略，以期為優(yōu)化高中數(shù)學(xué)教學(xué)提供確切參考.

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合思想；高中數(shù)學(xué)；教學(xué)；應(yīng)用策略

高中數(shù)學(xué)以研究事物的數(shù)量關(guān)系與空間形態(tài)為重點(diǎn)，旨在培養(yǎng)高中生從不同角度認(rèn)識(shí)事物的思維能力.教師將抽象思維與形象思維培養(yǎng)教學(xué)有機(jī)結(jié)合，能夠促使學(xué)生在直觀觀察數(shù)學(xué)對(duì)象的過(guò)程中探析其本質(zhì)特征.而要做到這一點(diǎn)，教師需要將數(shù)形結(jié)合思想靈活應(yīng)用到數(shù)學(xué)課程教學(xué)當(dāng)中.作為教學(xué)工作的實(shí)施者，教師有必要把握數(shù)形結(jié)合思想的內(nèi)涵，同時(shí)根據(jù)課程教學(xué)規(guī)律思考該思想在不同教學(xué)環(huán)節(jié)中的應(yīng)用策略，并在教學(xué)過(guò)程中總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，不斷推進(jìn)高中數(shù)學(xué)教學(xué)的優(yōu)化.

一、數(shù)形結(jié)合思想的內(nèi)涵

數(shù)學(xué)以“數(shù)”與“形”為基本研究對(duì)象，二者在合適的條件下可以相互轉(zhuǎn)化.“數(shù)”具有精確性，可用于闡明事物的具體屬性；“形”具有直觀性，可用于闡明事物的空間形式.數(shù)形結(jié)合思想以“數(shù)”與“形”的聯(lián)系為基礎(chǔ)，根據(jù)二者的對(duì)應(yīng)關(guān)系轉(zhuǎn)化“數(shù)”或“形”的形態(tài)，以此直觀呈現(xiàn)問(wèn)題內(nèi)容，抽象表達(dá)問(wèn)題原理.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合思想占據(jù)重要地位.教師可以利用數(shù)軸圖、函數(shù)圖像、單位圓、三角形等直觀圖示實(shí)現(xiàn)“以形助數(shù)”，幫助學(xué)生解決集合、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、不等式等代數(shù)難題；還可以利用集合的運(yùn)算、函數(shù)解析式、直線方程、曲線方程、向量坐標(biāo)運(yùn)算等數(shù)學(xué)公式實(shí)現(xiàn)“以數(shù)解形”，幫助學(xué)生快速解決立體幾何、平面解析幾何等幾何難題.這樣，教師在教學(xué)中通過(guò)“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”將代數(shù)式的精確刻畫與幾何圖形的直觀描述有機(jī)結(jié)合，使代數(shù)、幾何問(wèn)題相互轉(zhuǎn)化，有利于學(xué)生充分理解數(shù)學(xué)原理的本質(zhì)特征，掌握數(shù)學(xué)概念和運(yùn)算的幾何意義以及常見(jiàn)曲線的代數(shù)特征.

二、數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用策略

（一）導(dǎo)入環(huán)節(jié)借圖激趣，提高學(xué)習(xí)效能

良好的開(kāi)端是成功的一半.要保證課堂教學(xué)效果達(dá)到預(yù)期，教師就要做好導(dǎo)入環(huán)節(jié)的引導(dǎo)教學(xué)工作，應(yīng)認(rèn)識(shí)到教學(xué)導(dǎo)入激趣、引起學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)、建立新舊知關(guān)系的重要教學(xué)作用，并利用數(shù)形結(jié)合思想將學(xué)生過(guò)去所學(xué)知識(shí)、新課涉及教學(xué)內(nèi)容結(jié)合起來(lái)呈現(xiàn)給學(xué)生，由此引發(fā)其求知欲，促使其基于舊知遷移新知.新課引入時(shí)，教師可以圍繞課程主題出示相應(yīng)圖示，之后提出引導(dǎo)性問(wèn)題，利用直觀的圖形減弱高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的復(fù)雜性與抽象性，利用引導(dǎo)性問(wèn)題驅(qū)動(dòng)學(xué)生主動(dòng)探究新知，提高其學(xué)習(xí)效能.

以湘教版數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)“集合”一課教學(xué)為例，教師可聯(lián)系小學(xué)集合教學(xué)內(nèi)容引入新課：爺爺、奶奶、爸爸、媽媽、外公、舅媽、小明、叔叔8人去蔬果園采摘西紅柿與草莓，他們的分工如圖1所示，你能發(fā)現(xiàn)什么？

這樣將生活化場(chǎng)景與Venn圖結(jié)合應(yīng)用于教學(xué)導(dǎo)入環(huán)節(jié)，一方面可以拉近學(xué)生與新課教學(xué)內(nèi)容的距離，引發(fā)其學(xué)習(xí)興趣；另一方面能促使學(xué)生回顧小學(xué)期間所學(xué)集合知識(shí)，對(duì)具體問(wèn)題加以說(shuō)明.在此基礎(chǔ)上，教師可以提出引導(dǎo)性問(wèn)題，如：像這樣根據(jù)事物特征對(duì)其進(jìn)行分類，分類后的事物群體可用什么來(lái)表示？這個(gè)“群體”如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述？構(gòu)成“群體”的“個(gè)體”又該怎樣表示？然后指導(dǎo)學(xué)生觀察Venn圖：爸爸、外公、舅媽、叔叔4人構(gòu)成了“采摘西紅柿”的群體；爺爺、奶奶、媽媽、小明4人構(gòu)成了“采摘草莓”的群體，指導(dǎo)學(xué)生在觀察圖示的過(guò)程中從個(gè)體、整體的角度分辨相關(guān)內(nèi)容，之后引出集合與元素的概念，加深其感悟.

（二）精講環(huán)節(jié)借圖探究，提高教學(xué)深度

新知教學(xué)環(huán)節(jié)是課堂教學(xué)的關(guān)鍵環(huán)節(jié).把握學(xué)生認(rèn)知規(guī)律并合理呈現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容，才能夠提高學(xué)生認(rèn)知.鑒于高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的抽象性與復(fù)雜性，直接為其灌輸基本概念、性質(zhì)、原理容易造成其淺層學(xué)習(xí)，不利于其對(duì)相關(guān)知識(shí)的內(nèi)化與吸收.為此，教師可應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，提出代數(shù)問(wèn)題驅(qū)動(dòng)學(xué)生合作討論，促使其感悟數(shù)學(xué)規(guī)律.

學(xué)貴有疑.在新知教學(xué)環(huán)節(jié)提出問(wèn)題可激活學(xué)生思維，使其盡早進(jìn)入學(xué)習(xí)狀態(tài).為保證學(xué)生的主觀能動(dòng)性被充分調(diào)動(dòng)，教師可以結(jié)合現(xiàn)實(shí)生活中的常見(jiàn)問(wèn)題提問(wèn)，并作出細(xì)致要求，確保學(xué)生能夠按照教師設(shè)想列式計(jì)算、討論分析，感悟數(shù)學(xué)規(guī)律.

以湘教版數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)“一元二次不等式”一課教學(xué)為例，教師可在新知講解環(huán)節(jié)提出現(xiàn)實(shí)問(wèn)題：學(xué)校打算在草坪上用柵欄圍一個(gè)矩形區(qū)域種植花卉.若柵欄的總長(zhǎng)度是24米，圍成的矩形區(qū)域的面積要大于20平方米，則這個(gè)矩形的邊長(zhǎng)應(yīng)為多少米？提問(wèn)后，教師要求學(xué)生設(shè)未知數(shù)，盡可能少地引入未知量.學(xué)生設(shè)長(zhǎng)為x米，建立了不等關(guān)系x2-12x+20<0，經(jīng)歷了從實(shí)際問(wèn)題中抽象出一元二次不等式的過(guò)程，形成建模能力.在此基礎(chǔ)上，教師可借助GeoGebra軟件畫出函數(shù)y=x2-12x+20的圖像，在圖像上隨機(jī)取一點(diǎn)A（x，y），拖動(dòng)A在圖像上移動(dòng)，讓學(xué)生回答，隨著點(diǎn)A位置的改變，其縱坐標(biāo)有著怎樣的變化規(guī)律，如：

（1）當(dāng)A點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0時(shí)，其橫坐標(biāo)怎么求？

（2）這個(gè)一元二次方程x2-12x+20=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根與二次函數(shù)y=x2-12x+20有什么關(guān)系？

（3）這個(gè)發(fā)現(xiàn)可以推廣到一般情況嗎？

（4）繼續(xù)觀察，二次函數(shù)y=x2-12x+20的兩個(gè)零點(diǎn)將x軸分成三段，每一段（不包括零點(diǎn)）對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖像有什么特點(diǎn)（重點(diǎn)觀察函數(shù)值）？

（5）結(jié)合圖像談?wù)勆厦胬?，矩形的邊長(zhǎng)可以是多少？

借助軟件繪制函數(shù)圖像并設(shè)置問(wèn)題串，能夠逐步引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)圖像角度切入，感悟方程的根與函數(shù)圖像之間的關(guān)系，進(jìn)而從圖像就能得到相應(yīng)的不等式解集，體會(huì)函數(shù)圖像所起的作用.

（三）練習(xí)環(huán)節(jié)數(shù)形結(jié)合，提升解題能力

優(yōu)質(zhì)的高中數(shù)學(xué)課堂要確保說(shuō)理教學(xué)與練習(xí)教學(xué)的有機(jī)統(tǒng)一.觀察配套練習(xí)冊(cè)、高考試卷中的數(shù)學(xué)習(xí)題不難發(fā)現(xiàn)，部分?jǐn)?shù)學(xué)問(wèn)題可應(yīng)用列式運(yùn)算、代入求值等常規(guī)方法解決，但部分?jǐn)?shù)學(xué)問(wèn)題卻需要從代數(shù)、幾何兩個(gè)角度出發(fā)綜合分析.高中數(shù)學(xué)練習(xí)教學(xué)環(huán)節(jié)以培養(yǎng)學(xué)生解題能力為重點(diǎn).為保證學(xué)生學(xué)會(huì)綜合“數(shù)”與“形”的關(guān)系解決問(wèn)題，教師有必要設(shè)計(jì)數(shù)形結(jié)合類型練習(xí)題，驅(qū)動(dòng)學(xué)生在審題、解題、反思的過(guò)程中總結(jié)解題技巧.需要注意的是，學(xué)生的思維發(fā)展呈螺旋上升特征.教師設(shè)計(jì)練習(xí)題目時(shí)應(yīng)遵循該規(guī)律，先設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單問(wèn)題使學(xué)生形成數(shù)形結(jié)合意識(shí)，再設(shè)計(jì)復(fù)雜問(wèn)題發(fā)展其數(shù)形結(jié)合思維.

以湘教版數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)“函數(shù)的基本性質(zhì)”一課教學(xué)為例，教師完成函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等說(shuō)理教學(xué)后，可依次設(shè)計(jì)如下習(xí)題：

第（2）題以函數(shù)的奇偶性為主要考點(diǎn)，難度中等.根據(jù)g（x）=f（x-2）是奇函數(shù)可得f（x）的圖像關(guān)于（-2，0）中心對(duì)稱，再由已知可得函數(shù)f（x）的三個(gè)零點(diǎn)為-4，-2，0；由g（x）=f（x-2）知g（x）是把函數(shù)f（x）向右平移2個(gè)單位得到的，且g（2）=g（0）=0，f（-4）=g（-2）=-g（2）=0，f（-2）=g（0）=0，得到f（x）的大致圖像如圖3所示，結(jié)合函數(shù)圖像可知，當(dāng)x≤-4或x≥-2時(shí)，xf（x）≤0，得到正確答案為C選項(xiàng).

第（3）題綜合考查了函數(shù)的基本性質(zhì)，難度較高.數(shù)形結(jié)合是解決該問(wèn)題的突破口.首先作出函數(shù)f（x）的圖像，如圖4所示，觀察圖像，當(dāng)x=1時(shí)，y最小，最小值為2；當(dāng)x=0時(shí)，y=3；當(dāng)x=2時(shí)，y=3.又函數(shù)y=x2-2x+3在閉區(qū)間[0，m]上有最大值3，最小值2，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是[1，2]，得到正確答案為C選項(xiàng).

這樣設(shè)計(jì)難度進(jìn)階的數(shù)學(xué)問(wèn)題驅(qū)動(dòng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行分析求解，可以滿足學(xué)生學(xué)以致用的學(xué)習(xí)需求，提升其解題能力.

（四）總結(jié)環(huán)節(jié)數(shù)形雙用，鞏固學(xué)習(xí)成果

總結(jié)環(huán)節(jié)是高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的收尾環(huán)節(jié)，主要用于匯總課堂教學(xué)知識(shí)點(diǎn)，夯實(shí)學(xué)生學(xué)習(xí)成果.此環(huán)節(jié)中，若教師直接采取注入式教學(xué)手段羅列重要知識(shí)點(diǎn)，難免會(huì)讓學(xué)生陷入死記硬背的學(xué)習(xí)困境，影響其總結(jié)質(zhì)量.為避免出現(xiàn)這一問(wèn)題，教師可根據(jù)數(shù)學(xué)研究中“數(shù)”與“形”的關(guān)系指導(dǎo)學(xué)生自主歸納.一方面出示圖形，要求學(xué)生識(shí)圖列式，說(shuō)出相關(guān)原理；另一方面出示代數(shù)式，要求學(xué)生繪圖解釋，聯(lián)想空間形式.

以湘教版選擇性必修第一冊(cè)“直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系”一課教學(xué)為例.教師可先出示幾何圖形，提出問(wèn)題：如圖5所示，如何判斷這條直線與圓的位置關(guān)系？

這樣，分別應(yīng)用圖示驅(qū)動(dòng)學(xué)生聯(lián)想直線與圓位置關(guān)系中反映的數(shù)量關(guān)系，應(yīng)用數(shù)量關(guān)系驅(qū)動(dòng)學(xué)生聯(lián)想圓與圓的位置關(guān)系，使學(xué)生在“數(shù)”與“形”靈活轉(zhuǎn)化的過(guò)程中完成對(duì)新課教學(xué)內(nèi)容的內(nèi)化與吸收，達(dá)到鞏固其學(xué)習(xí)成果的教學(xué)目的.

結(jié) 語(yǔ)

“形”具有直觀性，“數(shù)”具有精確性，在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中結(jié)合使用“數(shù)”與“形”，有利于學(xué)生建構(gòu)完整的知識(shí)體系，提高其認(rèn)知水平.實(shí)際教學(xué)中，教師應(yīng)明確課堂不同環(huán)節(jié)的主要育人任務(wù)，如導(dǎo)入環(huán)節(jié)應(yīng)激發(fā)學(xué)生探究意識(shí)，精講環(huán)節(jié)應(yīng)提高其認(rèn)知水平，練習(xí)環(huán)節(jié)應(yīng)訓(xùn)練其遷移應(yīng)用思維，等等.根據(jù)不同環(huán)節(jié)的教學(xué)需要靈活使用數(shù)形結(jié)合思想，確保學(xué)生在識(shí)圖、列式、綜合分析的過(guò)程中真正掌握數(shù)學(xué)原理，形成深刻認(rèn)知.除此之外，教師還應(yīng)不斷在教學(xué)過(guò)程中汲取經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，不斷改進(jìn)教學(xué)方法，確保學(xué)生在對(duì)比圖形、分析代數(shù)式的過(guò)程中扎實(shí)掌握數(shù)學(xué)原理與思想方法，提高其學(xué)習(xí)有效性.

【參考文獻(xiàn)】

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