考慮Gauss移動(dòng)熱源瞬態(tài)效應(yīng)的傳熱結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化

周崇偉, 趙清海,2, 陳建良, 時(shí)高松

(1. 青島大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院, 山東 青島 266071;2. 青島大學(xué) 電動(dòng)汽車智能化動(dòng)力集成技術(shù)國(guó)家地方聯(lián)合工程研究中心, 山東 青島 266071)

0 引 言

移動(dòng)熱源散熱問題在工程應(yīng)用中普遍存在,如汽車制動(dòng)盤摩擦生熱和金屬材料的熱處理等．考慮移動(dòng)熱源條件下傳熱結(jié)構(gòu)的瞬態(tài)熱效應(yīng),設(shè)計(jì)高效散熱拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),將移動(dòng)熱源的熱量迅速地傳遞到環(huán)境中,從而有效提高結(jié)構(gòu)的散熱性能,具有重要研究意義．

Caroline[1]分析了移動(dòng)熱源在半無限大物體中引起的熱傳導(dǎo)問題,無限時(shí)移動(dòng)熱源周圍的溫度場(chǎng)表現(xiàn)為穩(wěn)態(tài)．Atluri等[2]考慮熱傳導(dǎo)系數(shù)因素,在較寬的熱源速度范圍內(nèi)研究了運(yùn)動(dòng)熱源所產(chǎn)生的溫度場(chǎng),給出了不同坐標(biāo)系中,不同速度情況下,溫度場(chǎng)隨時(shí)間變化的情形,并給出了不同熱源速度下的溫度場(chǎng)分布．對(duì)于穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)問題,左孔天等[3]通過對(duì)熱傳導(dǎo)結(jié)構(gòu)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模,設(shè)計(jì)出結(jié)構(gòu)優(yōu)化的最佳散熱路徑．Bouk[4]對(duì)拓?fù)鋬?yōu)化方法系統(tǒng)進(jìn)行了比較,并對(duì)拓?fù)鋬?yōu)化方法在熱傳導(dǎo)問題中的實(shí)際工程應(yīng)用現(xiàn)狀進(jìn)行了綜述．陳擁平等[5]以變密度法為基礎(chǔ),建立了以結(jié)構(gòu)散熱弱度最小化為目標(biāo)的穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)拓?fù)鋬?yōu)化模型．趙清海等[6]提出了一種周期性約束下的穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法．張暉等[7]針對(duì)熱源隨結(jié)構(gòu)變化的穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題, 考慮熱載荷的拓?fù)湎嚓P(guān)性進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)．龍凱等[8]基于獨(dú)立聯(lián)系映射法,解決了多工況下的穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)拓?fù)鋬?yōu)化問題．閆浩等[9]提出了一種密度指數(shù)函數(shù)插值的有序多材料性能近似模型,實(shí)現(xiàn)了三類熱邊界條件下復(fù)雜熱環(huán)境的多材料傳熱結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化．Zhao等[10]基于無網(wǎng)格的廣義有限差分法和具有懲罰插值模型的固體各向同性微觀結(jié)構(gòu),提出了穩(wěn)態(tài)散熱結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化方法．

上述文獻(xiàn)都是基于穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)開展研究的,然而移動(dòng)熱源溫度場(chǎng)本質(zhì)上為瞬態(tài),其溫度分布大都隨時(shí)間和空間變化．因此,Turteltaub[11]將SIMP方法擴(kuò)展應(yīng)用到瞬態(tài)拓?fù)鋬?yōu)化,考慮了瞬態(tài)效應(yīng)對(duì)拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果的影響．吳書豪等[12-13]基于區(qū)域溫度控制函數(shù)構(gòu)建瞬態(tài)熱傳導(dǎo)拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型,開展了瞬態(tài)熱傳導(dǎo)結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法研究．李信卿等[14]搭建了基于有序有理近似材料屬性法的多材料插值模型,提出了一種周期性多材料瞬態(tài)熱傳導(dǎo)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法．Zhuang等[15]對(duì)瞬態(tài)熱傳導(dǎo)設(shè)計(jì)的多重溫度準(zhǔn)則和三相拓?fù)鋬?yōu)化進(jìn)行了探究,考慮了瞬態(tài)效應(yīng)的熱傳導(dǎo)拓?fù)鋬?yōu)化過程中熱柔順度最大值最小化的問題．上述考慮瞬態(tài)效應(yīng)的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì),極大地推動(dòng)了考慮熱源時(shí)變下傳熱結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)優(yōu)化理論的發(fā)展．

綜上可知,散熱結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)缺乏考慮移動(dòng)熱源瞬態(tài)效應(yīng)對(duì)拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果的影響．考慮移動(dòng)熱源的瞬態(tài)效應(yīng)時(shí),熱源隨時(shí)空變化增加了傳熱結(jié)構(gòu)優(yōu)化的復(fù)雜性．因此,本文基于瞬態(tài)熱傳導(dǎo)優(yōu)化設(shè)計(jì)問題,建立了以變密度法為基礎(chǔ)的拓?fù)鋬?yōu)化模型．針對(duì)Gauss熱源模型進(jìn)行仿真模擬,分別考慮了以傳熱結(jié)構(gòu)區(qū)域溫度最大值最小化與最小散熱弱度為設(shè)計(jì)目標(biāo),通過伴隨變量法對(duì)目標(biāo)函數(shù)與約束條件進(jìn)行了靈敏度推導(dǎo),并基于移動(dòng)漸近線法對(duì)設(shè)計(jì)變量進(jìn)行了更新迭代．最后通過數(shù)值算例驗(yàn)證了所提方法的必要性與有效性．

1 瞬態(tài)熱傳導(dǎo)效應(yīng)分析

熱源的瞬態(tài)效應(yīng)涉及到結(jié)構(gòu)熱傳導(dǎo)隨時(shí)間變化,需要建立復(fù)雜的瞬態(tài)熱傳導(dǎo)模型．這要求對(duì)瞬態(tài)熱傳導(dǎo)過程進(jìn)行準(zhǔn)確建模,包括考慮瞬態(tài)熱傳導(dǎo)方程、邊界條件和初始條件等．尤其在移動(dòng)熱源進(jìn)行傳熱結(jié)構(gòu)優(yōu)化時(shí)考慮熱源瞬態(tài)效應(yīng),其隨時(shí)間空間均發(fā)生變化．

1．1 考慮瞬態(tài)響應(yīng)的傳熱結(jié)構(gòu)

考慮瞬態(tài)效應(yīng)的傳熱結(jié)構(gòu)如圖1所示,由熱源Q(t)加熱的設(shè)計(jì)域應(yīng)用了兩種邊界條件,一個(gè)是恒溫邊界Γ1,另一個(gè)是絕熱邊界Γ2,設(shè)計(jì)域內(nèi)部采用高熱傳導(dǎo)屬性的材料填充,設(shè)計(jì)域需要離散成有限數(shù)量的單元,非設(shè)計(jì)域?yàn)榈蛯?dǎo)熱系數(shù)基板結(jié)構(gòu)．

采用有限元法,溫度場(chǎng)的瞬態(tài)熱傳導(dǎo)數(shù)學(xué)模型可描述為

(1)

式中M和K分別為熱容矩陣和熱傳導(dǎo)矩陣;T為節(jié)點(diǎn)溫度向量;Q為移動(dòng)熱源的熱載荷向量．

(2)

利用θ-時(shí)間差分法[14]求解結(jié)構(gòu)溫度和載荷向量：

Ti+θ=θTi+1+(1-θ)Ti,

(3)

Qi+θ=θQi+1+(1-θ)Qi．

(4)

聯(lián)立式(2)—(4)并代入式(1)中,得到溫度場(chǎng)迭代公式：

(M+θΔtK)Ti+1=[M-(1-θ)ΔtK]Ti+Δt[θQi+1+(1-θ)Qi],

(5)

式中θ為算法參數(shù),θ=1時(shí),式中向前差分,θ=0時(shí),式中向后差分;Qi為第i時(shí)刻的熱載荷向量．

圖1 瞬態(tài)效應(yīng)傳熱材料結(jié)構(gòu)

1．2 熱源模型分析

工程中常用的熱源模型主要有Gauss熱源、Rosenthal的解析熱源模型[16]、橢球形熱源及多熱源組合的復(fù)合熱源模型．Gauss熱源具有中心溫度高而周圍溫度遞減的特點(diǎn),例如制動(dòng)器摩擦生熱及金屬熱處理等,溫度分布符合正態(tài)分布,模型如圖2所示．

圖2 Gauss熱源模型

圖2中,O為熱源中心,R為熱源有效加熱半徑．熱源加熱過程中任意一點(diǎn)的表面熱流密度可確定為

qr=qmaxexp(-μr2/R2),

(6)

式中qr為外部熱源有效加熱范圍內(nèi)半徑為r處的表面熱流大小;qmax為加熱中心處的最大熱流,在Gauss熱源有效范圍內(nèi)qmax=103W/m2;μ為熱源的集中系數(shù),取值為3．基于有限元思想,將設(shè)計(jì)域劃分為網(wǎng)格狀,將Gauss熱源施加到單元節(jié)點(diǎn),計(jì)算熱源作用區(qū)域中所有單元節(jié)點(diǎn)的熱流密度,具體步驟如下：

① 確定熱源中心節(jié)點(diǎn)的位置．

② 計(jì)算單元各節(jié)點(diǎn)到熱源中心的距離S．

③ 將S與熱源有效加熱半徑R比較,若S不大于R(如圖3中OABC四個(gè)節(jié)點(diǎn)),則按照Gauss模型計(jì)算該表面的熱流密度;若S大于R(如圖3中節(jié)點(diǎn)DEFG),則熱流密度賦為0．

④ 判斷熱源在移動(dòng)過程中滿足規(guī)律的節(jié)點(diǎn)并賦予符合Gauss熱源規(guī)律的熱流密度．

如圖3所示,Gauss熱源在移動(dòng)過程中[17],熱源作用在基于有限元網(wǎng)格劃分后的節(jié)點(diǎn)上,相比正態(tài)分布的Gauss熱源,點(diǎn)熱源作用在單個(gè)節(jié)點(diǎn)上．將移動(dòng)熱源的路徑在時(shí)間和空間上進(jìn)行提前規(guī)劃,使其在單位時(shí)間上從指定節(jié)點(diǎn)間依次移動(dòng)．使熱源從設(shè)計(jì)域網(wǎng)格頂點(diǎn)P到達(dá)頂點(diǎn)Q,分別設(shè)計(jì)對(duì)角線移動(dòng)路徑以及區(qū)域S形移動(dòng)路徑．

圖3 Gauss熱源熱流密度及模擬路徑

經(jīng)典Rosenthal解析熱源模型,其主要被簡(jiǎn)化為集中熱源模型,按照加熱材料及尺寸形狀等方式將其簡(jiǎn)化為點(diǎn)狀、線狀、面狀三種熱源模式．其熱源溫度高度集中,如激光加熱、焊接等,熱源施加在結(jié)構(gòu)表面時(shí),可以將熱源看作一個(gè)點(diǎn)熱源．點(diǎn)熱源形成的溫度場(chǎng)其解析式為

(7)

式中P為熱源所提供的熱流量;m為材料熱擴(kuò)散率;l表示到熱源點(diǎn)的距離;c為導(dǎo)熱介質(zhì)的比熱容;t為熱源供熱時(shí)間．

1．3 Gauss熱源仿真

通過對(duì)Gauss熱源模型移動(dòng)過程進(jìn)行仿真[18-19],規(guī)劃移動(dòng)路徑,觀察仿真過程中熱源溫度分布規(guī)律．以頂點(diǎn)為散熱邊界條件,四周為絕熱材料,熱源運(yùn)動(dòng)模型為

d=v·δt, δt=tf/Nn,

(8)

式中d為移動(dòng)路徑總節(jié)點(diǎn);v為熱源移動(dòng)速度,表示單位時(shí)間經(jīng)過節(jié)點(diǎn)的快慢;δt為運(yùn)動(dòng)時(shí)間步長(zhǎng),它由總時(shí)間tf和時(shí)間劃分段數(shù)Nn決定．

令Gauss熱源沿對(duì)角線以每秒經(jīng)過一個(gè)節(jié)點(diǎn)的速度移動(dòng),取tf=80,Nn=80．取移動(dòng)過程中3個(gè)位置點(diǎn)觀察熱源規(guī)律,分別取熱源在開始、中間位置以及最終位置．

如圖4所示,熱源勻速緩慢移動(dòng)過程中符合Gauss分布規(guī)律,在初始位置可以明顯觀察到中間高、四周低的溫度分布規(guī)律,移動(dòng)過程中留下明顯的“彗尾”狀溫度,到達(dá)終點(diǎn)后,移動(dòng)路徑溫度向散熱邊界方向降低．

圖4 Gaussian熱源移動(dòng)過程仿真

1．4 構(gòu)建瞬態(tài)熱傳導(dǎo)拓?fù)鋬?yōu)化模型

基于變密度[20]理論,考慮移動(dòng)熱源瞬態(tài)熱傳導(dǎo)問題建立優(yōu)化模型：

(9)

針對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行分析,考慮如下兩種優(yōu)化目標(biāo)[22]：

目標(biāo)Ⅰ 散熱弱度

(10)

目標(biāo)Ⅱ 區(qū)域溫度

f(T(x,t),x)=LTT(t),

(11)

式中L為列向量,在目標(biāo)節(jié)點(diǎn)處為1,其余為0．

1．5 靈敏度推導(dǎo)

基于伴隨變量法求解散熱弱度最小化的目標(biāo)函數(shù)．引入Lagrange因子λ1,構(gòu)建Lagrange函數(shù)：

(12)

求解新目標(biāo)函數(shù)的靈敏度,對(duì)任意設(shè)計(jì)變量xn求導(dǎo)：

(13)

將關(guān)于溫度的偏導(dǎo)數(shù)進(jìn)行分部積分計(jì)算,可得

(14)

考慮λ1|tf=0,進(jìn)行回代,所以上式經(jīng)過化簡(jiǎn)為

(15)

忽略載荷設(shè)計(jì)相關(guān)性影響,消除溫度靈敏度,則目標(biāo)函數(shù)靈敏度方程為

(16)

(17)

其中,伴隨向量λ1計(jì)算公式為

(18)

在整個(gè)時(shí)間歷程上以區(qū)域內(nèi)的最高溫度最小化為目標(biāo),最高溫度在瞬態(tài)下非連續(xù),導(dǎo)致優(yōu)化問題的求解變得更加困難,因此用聚合函數(shù)φt重新定義最高溫度目標(biāo)函數(shù)為

(19)

定義空間函數(shù)為

(20)

式中κ為聚合參數(shù),當(dāng)κ→∞時(shí),φ→Tmax,Ni表示溫控區(qū)域總節(jié)點(diǎn)數(shù)量．

結(jié)合目標(biāo)函數(shù)與約束條件構(gòu)建優(yōu)化準(zhǔn)則公式,定義Lagrange函數(shù),?t為L(zhǎng)agrange因子：

(21)

目標(biāo)函數(shù)Rt對(duì)設(shè)計(jì)變量xn進(jìn)行靈敏度推導(dǎo)：

(22)

其中

(23)

(24)

對(duì)溫度偏導(dǎo)數(shù)進(jìn)行分部積分,考慮?t|tf=0同時(shí)不考慮載荷設(shè)計(jì)相關(guān)性,消除溫度靈敏度項(xiàng)．

忽略熱載荷與設(shè)計(jì)變量關(guān)系,目標(biāo)函數(shù)為

(25)

計(jì)算Lagrange因子：

(26)

其中

(27)

(28)

1．6 算法求解過程

考慮瞬態(tài)熱傳導(dǎo)響應(yīng),基于SIMP材料插值模型,分析移動(dòng)熱源結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)研究,具體流程如下：

① 定義散熱結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)區(qū)域、材料屬性、邊界條件、熱載荷工作時(shí)間．

② 初始化材料設(shè)計(jì)變量值、溫度邊界和熱負(fù)荷移動(dòng)路徑,將設(shè)計(jì)域進(jìn)行離散網(wǎng)格劃分,獲得單元熱容矩陣和熱傳導(dǎo)矩陣．

③ 計(jì)算整體熱容矩陣和熱傳導(dǎo)矩陣,利用向前差分法得到溫度場(chǎng)和載荷向量．

④ 計(jì)算兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)對(duì)于設(shè)計(jì)變量的導(dǎo)數(shù),得到靈敏度并進(jìn)行靈敏度過濾．

⑤ 利用移動(dòng)漸進(jìn)線法對(duì)設(shè)計(jì)變量進(jìn)行更新．

⑥ 判斷優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果是否收斂,若收斂,則輸出拓?fù)錁?gòu)型;否則返回步驟③,重復(fù)步驟,直至滿足收斂．

2 數(shù) 值 算 例

考慮Gauss移動(dòng)熱源在結(jié)構(gòu)中瞬態(tài)熱傳導(dǎo)的問題,針對(duì)不同Gauss熱源移動(dòng)路徑,給出數(shù)值算例．定義傳熱結(jié)構(gòu)背景區(qū)域的熱傳導(dǎo)系數(shù)λmin與熱容系數(shù)γmin分別為0.2 W/(m·K),2.25 J/(K·m3);在結(jié)構(gòu)區(qū)域中施加熱源并布置高熱傳導(dǎo)材料,導(dǎo)熱系數(shù)為500 W/(m·K),熱容系數(shù)為1.2×105J/(K·m3)．

2．1 對(duì)角線路徑算例

如圖5所示的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)域,設(shè)計(jì)域選取為0.1 mm×0.1 mm×0.05 mm的正方形結(jié)構(gòu),并將其離散成50×50個(gè)平面四邊形單元．Gauss熱源中心點(diǎn)強(qiáng)度為103W,在固定熱源設(shè)計(jì)域中,熱源位于設(shè)計(jì)域的中心位置,四頂點(diǎn)為0 ℃點(diǎn),四邊是絕熱邊界,在不同加熱時(shí)間為0.1 s,0.5 s,1 s,5 s和10 s下,研究熱傳導(dǎo)瞬態(tài)效應(yīng)對(duì)結(jié)構(gòu)散熱拓?fù)鋬?yōu)化的影響規(guī)律．

(a) 對(duì)角線路徑設(shè)計(jì)域 (b) 中心固定熱源設(shè)計(jì)域 (a) The diagonal path design domain (b) The center fixed heat source design domain圖5 結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)域

移動(dòng)熱源沿對(duì)角線從左上頂點(diǎn)移動(dòng)至右下頂點(diǎn),設(shè)計(jì)域的余下頂點(diǎn)溫度恒為0 ℃,其他邊界為絕熱材料,過濾半徑選取rmin=1.2．

圖6中,基于穩(wěn)態(tài)傳熱的拓?fù)鋬?yōu)化模型只考慮熱量傳遞,忽略了設(shè)計(jì)域溫度不斷被上升的情況．隨著加熱時(shí)間不斷增加,結(jié)構(gòu)整體溫度場(chǎng)并非呈現(xiàn)穩(wěn)態(tài)不變,其溫度在逐漸升高,同時(shí)拓?fù)錁?gòu)型受熱源瞬態(tài)效應(yīng)的影響變化明顯．當(dāng)加熱時(shí)間足夠大時(shí),考慮瞬態(tài)熱傳導(dǎo)的傳熱結(jié)構(gòu)拓?fù)錁?gòu)型趨向于穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)拓?fù)浣Y(jié)果．

圖6 穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)與瞬態(tài)熱傳導(dǎo)的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果

針對(duì)不同的優(yōu)化目標(biāo)(目標(biāo)Ⅰ為散熱弱度,目標(biāo)Ⅱ?yàn)閰^(qū)域溫度)對(duì)傳熱結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化．作為對(duì)比,將集中熱源模型與Gauss熱源使其沿對(duì)角線路徑移動(dòng),傳熱結(jié)構(gòu)優(yōu)化結(jié)果列于表1．

考慮移動(dòng)集中熱源和Gauss移動(dòng)熱源所優(yōu)化的拓?fù)浣Y(jié)果沿其對(duì)角線路徑對(duì)稱分布,且不同優(yōu)化目標(biāo)所優(yōu)化的散熱結(jié)構(gòu)材料分布有明顯不同．集中熱源其拓?fù)錁?gòu)型受其移動(dòng)路徑的影響,分布更加集中,而Gauss熱源熱傳導(dǎo)路徑效果更加明顯．

控制Gauss移動(dòng)熱源加熱時(shí)間,以熱源移動(dòng)速度v為變量,觀察傳熱結(jié)構(gòu)拓?fù)錁?gòu)型,可以清楚得到其運(yùn)動(dòng)過程中受到瞬態(tài)熱傳導(dǎo)影響的變化規(guī)律,如圖7所示．

表1 不同熱源拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果

圖7 穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)與移動(dòng)熱源不同速度的優(yōu)化結(jié)果

圖7中考慮了移動(dòng)熱源瞬態(tài)效應(yīng)對(duì)傳熱結(jié)構(gòu)的優(yōu)化結(jié)果的影響,隨加熱時(shí)間的不同,其瞬態(tài)效應(yīng)明顯,可與圖6中固定熱源的傳熱結(jié)構(gòu)瞬態(tài)熱傳導(dǎo)進(jìn)行對(duì)比．Gauss移動(dòng)熱源速度較為緩慢時(shí),其傳熱材料的拓?fù)錁?gòu)型瞬態(tài)效應(yīng)明顯,沿移動(dòng)路徑向恒溫點(diǎn)傳熱,材料聚集于熱源移動(dòng)路徑周圍．一定時(shí)間內(nèi),當(dāng)熱源在路徑上處于高速移動(dòng)時(shí),可以將其視為固定在路徑上的穩(wěn)態(tài)熱源．Gauss熱源沿路徑移動(dòng),熱源速度的變化導(dǎo)致整體結(jié)構(gòu)的溫度并非穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng),因此,非穩(wěn)態(tài)的溫度變化必須要考慮移動(dòng)熱源在瞬態(tài)效應(yīng)下對(duì)傳熱結(jié)構(gòu)的熱傳導(dǎo)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)．

圖8為Gauss熱源移動(dòng)速度下,傳熱結(jié)構(gòu)的目標(biāo)函數(shù)隨迭代步數(shù)的變化．在迭代過程中,目標(biāo)函數(shù)能快速收斂到最優(yōu)解,不同速度的移動(dòng)Gauss熱源對(duì)于傳熱結(jié)構(gòu)優(yōu)化迭代過程會(huì)有一定影響,產(chǎn)生輕微波動(dòng),但整體趨勢(shì)平緩,證明該方法具有較好的穩(wěn)定性．

由圖9可得出其優(yōu)化后的材料最高溫度變化趨勢(shì)．兩個(gè)優(yōu)化目標(biāo)隨體積分?jǐn)?shù)變化的溫度變化規(guī)律,其溫度變化趨勢(shì)呈現(xiàn)一致性,即隨著傳熱材料的增加,移動(dòng)熱源下的整體結(jié)構(gòu)最高溫度下降明顯．目標(biāo)Ⅱ在對(duì)角線路徑隨材料體積變化的最高溫度小于目標(biāo)Ⅰ,而優(yōu)化目標(biāo)Ⅰ的溫度變化幅度明顯比目標(biāo)Ⅱ更迅速．

(a) 目標(biāo)Ⅰ (b) 目標(biāo)Ⅱ (a) Objective Ⅰ(b) Objective Ⅱ圖8 不同熱源速度下的目標(biāo)函數(shù)隨迭代步數(shù)變化曲線

圖9 最高溫度變化

表2 材料體積占比不同下拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果

如表2所示,隨著設(shè)計(jì)域體積分?jǐn)?shù)的遞增,兩個(gè)目標(biāo)優(yōu)化后的拓?fù)錁?gòu)型材料的分布具有一定的規(guī)律．以散熱弱度最小化為優(yōu)化目標(biāo),材料占比較小時(shí),其傳熱結(jié)構(gòu)不夠穩(wěn)定,受移動(dòng)熱源瞬態(tài)效應(yīng)影響較大,隨體積分?jǐn)?shù)的增加,優(yōu)化后的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)趨于穩(wěn)定,材料向熱源移動(dòng)路徑集中,同時(shí)向0 ℃點(diǎn)延伸．區(qū)域溫度最大值最小化的優(yōu)化目標(biāo),其優(yōu)化后的材料分布逐漸向?qū)蔷€移動(dòng)路徑周圍集中靠攏,即從加熱路徑向零溫度點(diǎn)延伸的變化,材料占比足夠大時(shí),優(yōu)化后的構(gòu)型邊界清晰、結(jié)構(gòu)合理．

2．2 方形區(qū)域路徑

針對(duì)區(qū)域路徑移動(dòng)熱源的結(jié)構(gòu)散熱優(yōu)化,設(shè)計(jì)域幾何尺寸同樣取1 mm×1 mm×0.8 mm,將其離散為80×80的四節(jié)點(diǎn)方形單元．熱源移動(dòng)區(qū)域路徑如圖10所示,令其設(shè)計(jì)域四頂點(diǎn)為溫度恒定為0 ℃的恒溫材料,其余材料為隔溫絕熱材料．

圖10 區(qū)域S形路徑結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)域

如圖11所示,給定移動(dòng)熱源速度v=1 s-1,在離散單元中取中心20×20的移動(dòng)范圍,以熱源加熱時(shí)間為變量,考慮Gauss移動(dòng)熱源對(duì)傳熱結(jié)構(gòu)的拓?fù)浣Y(jié)果具有明顯的瞬時(shí)性,其材料分布隨著加熱時(shí)間的變化邊界更加清晰,結(jié)構(gòu)更加合理．

圖11 S形路徑移動(dòng)熱源的拓?fù)錁?gòu)型

Gauss移動(dòng)熱源在離散的結(jié)構(gòu)單元內(nèi)部區(qū)域進(jìn)行移動(dòng),規(guī)劃熱源移動(dòng)路徑范圍,使其分別在單元中心區(qū)域以5×5,10×10,20×20,25×25的方形單元范圍內(nèi),移動(dòng)速度為0.5 s-1經(jīng)過1單元,利用奇偶性改變運(yùn)動(dòng)方向進(jìn)行S形路徑移動(dòng),控制迭代次數(shù)直至達(dá)到優(yōu)化結(jié)構(gòu)的傳熱路徑最佳．優(yōu)化拓?fù)錁?gòu)型列于表3．

根據(jù)優(yōu)化結(jié)果顯示,在針對(duì)目標(biāo)Ⅰ進(jìn)行優(yōu)化時(shí),同一速度Gauss移動(dòng)熱源的在不同移動(dòng)范圍內(nèi)的運(yùn)動(dòng)對(duì)傳熱結(jié)構(gòu)優(yōu)化結(jié)果具有一定影響,運(yùn)動(dòng)范圍相對(duì)整體結(jié)構(gòu)較小時(shí),其熱源可近似為固定點(diǎn)熱源,其拓?fù)錁?gòu)型會(huì)受熱源瞬態(tài)效應(yīng)的影響,構(gòu)型分枝較多,其溫度分布受到移動(dòng)熱源運(yùn)動(dòng)終點(diǎn)的影響呈現(xiàn)非對(duì)稱性．然而,拓?fù)浣Y(jié)果呈現(xiàn)一定規(guī)律性,在熱源移動(dòng)區(qū)域較小時(shí),進(jìn)行傳熱優(yōu)化的結(jié)構(gòu)其主散熱結(jié)構(gòu)仍然是向角點(diǎn)延伸,隨著熱源移動(dòng)區(qū)域的增大及加熱時(shí)間的增長(zhǎng),角點(diǎn)延伸區(qū)域材料分布越來越多,最終呈現(xiàn)X形結(jié)構(gòu)．隨著運(yùn)動(dòng)范圍占據(jù)整體結(jié)構(gòu)的比例上升,散熱材料集中分布在運(yùn)動(dòng)路徑并向恒溫點(diǎn)發(fā)散,其拓?fù)錁?gòu)型呈現(xiàn)出X形,中間溫度較高區(qū)域也隨之變大,最高溫度點(diǎn)位于熱源運(yùn)動(dòng)終點(diǎn)處并偏向與位置最近的恒溫點(diǎn)散熱．

由區(qū)域溫度最大值最小化為目標(biāo)的拓?fù)浣Y(jié)果可知,當(dāng)移動(dòng)熱源小范圍運(yùn)動(dòng)時(shí),其拓?fù)錁?gòu)型呈現(xiàn)X形, 溫度分布大體與拓?fù)錁?gòu)型重合, 中心移動(dòng)范圍擴(kuò)大, 其溫度分布不再沿其拓?fù)錁?gòu)型, 受運(yùn)動(dòng)終點(diǎn)的位置影響較大．

表3 Gauss移動(dòng)熱源不同移動(dòng)范圍的拓?fù)錁?gòu)型

對(duì)比不同目標(biāo)函數(shù)下的拓?fù)錁?gòu)型及溫度云圖, 在相同熱源移動(dòng)區(qū)域下, 目標(biāo)Ⅰ溫度幅值明顯高于目標(biāo)Ⅱ．移動(dòng)區(qū)域較小(5×5)時(shí),熱源作用時(shí)間短,因此熱源瞬態(tài)效應(yīng)明顯．目標(biāo)Ⅰ優(yōu)化結(jié)構(gòu)傳熱路徑較為復(fù)雜,路徑尚未連接恒溫點(diǎn),整體設(shè)計(jì)域溫度偏高,熱源最高溫度高達(dá)243.87 ℃;目標(biāo)Ⅱ優(yōu)化后的構(gòu)型形成了更為高效的傳熱路徑,設(shè)計(jì)域溫度最大溫度僅為73.19 ℃．移動(dòng)區(qū)域的增加使優(yōu)化后地路徑有效地連通了恒溫頂點(diǎn),傳熱材料分布更加集中,溫度得到有效降低．相比目標(biāo)Ⅰ優(yōu)化后的溫度分布,隨著移動(dòng)路徑的變化,其目標(biāo)Ⅱ整體結(jié)構(gòu)最高溫度更低,以區(qū)域溫度最大值最小化為目標(biāo)的拓?fù)錁?gòu)型相比以最小散熱弱度為目標(biāo)的優(yōu)化,在考慮移動(dòng)熱源的瞬態(tài)情況下具有更佳的散熱效果．

3 結(jié) 論

1) 本文以對(duì)角線路徑為例,對(duì)Gauss熱源模型移動(dòng)過程中溫度分布進(jìn)行模擬,驗(yàn)證了將Gauss移動(dòng)熱源作為熱載荷應(yīng)用于結(jié)構(gòu)優(yōu)化的有效性和可行性．

2) 基于變密度法建立了考慮移動(dòng)Gauss熱源瞬態(tài)效應(yīng)的傳熱結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化模型,分析了不同優(yōu)化目標(biāo)下的拓?fù)錁?gòu)型．算例表明,材料比例小于36%時(shí),不同目標(biāo)的溫度賦值變化幅度較大,超過后最高溫度趨向穩(wěn)定降低．調(diào)整散熱材料體積占比,可以得到傳熱更佳的拓?fù)錁?gòu)型,驗(yàn)證了該方法的有效性．

3) 優(yōu)化結(jié)果表明,基于控制變量的思想,不同Gauss熱源移動(dòng)速度、移動(dòng)路徑范圍以及材料體積占比優(yōu)化的拓?fù)錁?gòu)型均會(huì)受到熱源瞬態(tài)效應(yīng)的影響．溫度云圖顯示目標(biāo)Ⅱ優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)整體溫度明顯低于目標(biāo)Ⅰ的優(yōu)化結(jié)構(gòu),最高溫度僅為目標(biāo)Ⅰ的1/2左右．不同優(yōu)化目標(biāo)的傳熱結(jié)構(gòu)優(yōu)化結(jié)果存在一定的差異性和規(guī)律性,可為將來工程應(yīng)用中考慮移動(dòng)熱源的傳熱結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)研究提供理論基礎(chǔ)．