漫談無(wú)理數(shù)的“那些事”

朱嘉穎

數(shù)學(xué)源于對(duì)真實(shí)問(wèn)題的思考，離不開(kāi)善于觀察的慧眼。數(shù)從自然數(shù)走向小數(shù)，從正數(shù)走向負(fù)數(shù)，從有理數(shù)走向?qū)崝?shù)的漫長(zhǎng)過(guò)程中，我們與無(wú)理數(shù)相遇了。

無(wú)理數(shù)的“真面目”

我們知道，無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)。我們還能在數(shù)軸上找到表示無(wú)理數(shù)的點(diǎn)。比如[2]，我們可以在數(shù)軸上方畫(huà)一個(gè)Rt△ABC，點(diǎn)A在原點(diǎn)處，點(diǎn)B在數(shù)軸1的位置，AB=BC=1。在Rt△ABC中，AC2=2，AC=[2]。以原點(diǎn)為圓心，AC長(zhǎng)為半徑作圓弧，與數(shù)軸正半軸的交點(diǎn)即為所求的[2]（如圖1）。

觀察數(shù)軸，我們可以發(fā)現(xiàn)1<[2]<2，那么[2]到底是多少呢？我們可以通過(guò)不斷嘗試大于1且小于2的數(shù)，逐漸接近[2]的精確值。在數(shù)學(xué)中，不斷縮小取值范圍可以通過(guò)“二分法”實(shí)現(xiàn)。我們先取1與2的中間值1.5，因?yàn)?.52=2.25>2，所以1<[2]<1.5。接著試1與1.5的中間值1.25，因?yàn)?.252=1.5625<2，所以1.25<[2]<1.5。為了運(yùn)算的簡(jiǎn)便，我們不妨嘗試計(jì)算1.3，因?yàn)?.32=1.69<2，所以1.3<[2]<1.5。接下來(lái)我們嘗試1.4，因?yàn)?.42=1.96<2，所以1.4<[2]<1.5。以此類(lèi)推，[2]的取值范圍不斷精確，最后，我們可以推得[2]≈1.414。如果有興趣的話，你可以繼續(xù)用“二分法”來(lái)嘗試確定[3]、[5]的大小。

無(wú)理數(shù)“PK記”

既然無(wú)法精確表示無(wú)理數(shù)的值，我們?cè)撊绾伪容^無(wú)理數(shù)的大小？如[3]和[7]。

方法一，因?yàn)閇3]<[4]，[7]>[4]，所以[3]<[7]。

方法二，因?yàn)椋╗3]）2=3和（[7]）2=7，3<7，所以[3]<[7]。

方法三，把[3]和[7]在數(shù)軸上表示出來(lái)，觀察它們的左右位置。

取中間值法、平方法、數(shù)軸法，我們可以從“數(shù)與形”兩個(gè)角度，比較兩個(gè)無(wú)理數(shù)的大小。

無(wú)理數(shù)的“分割術(shù)”

我們?nèi)绾尾鸱譄o(wú)理數(shù)的整數(shù)部分與小數(shù)部分？如求[3]的整數(shù)部分與小數(shù)部分。

方法一，用“數(shù)”：（[3]）2=3，而12=1，22=4，1<3<4，所以1<[3]<2。即[3]的整數(shù)部分是1，小數(shù)部分只要用整個(gè)數(shù)減去整數(shù)部分，即[3]-1。

方法二，用“形”：在數(shù)軸上把表示[3]的點(diǎn)畫(huà)出來(lái)。我們知道[3]無(wú)法表示為一個(gè)兩條直角邊都是正整數(shù)的直角三角形的斜邊，所以我們只能逆向思維，表示為一個(gè)一條直角邊為1、斜邊為2的直角三角形的另一條直角邊。如圖2，AB=1，用圓規(guī)在數(shù)軸上截取AC=2，則BC=[3]。觀察可知，[3]的整數(shù)部分是1，則小數(shù)部分是[3]-1。

顯然用“數(shù)”的方法，我們可以更快地將無(wú)理數(shù)進(jìn)行“分割”。

那么，你能試著拆分一下[39]+4的整數(shù)部分與小數(shù)部分嗎？

無(wú)理數(shù)的“應(yīng)用界”

當(dāng)然，無(wú)理數(shù)還有很多的妙用。在數(shù)學(xué)中，我們可以在方格紙中畫(huà)一個(gè)三條邊長(zhǎng)都是無(wú)理數(shù)的三角形；在生活中，普遍應(yīng)用于藝術(shù)設(shè)計(jì)、建筑設(shè)計(jì)等領(lǐng)域的黃金分割比[5-12]，也是個(gè)無(wú)理數(shù)……

我相信，只要我們擁有一雙善于發(fā)現(xiàn)的眼睛，一定可以發(fā)現(xiàn)更多與無(wú)理數(shù)相關(guān)的“故事”。

小作者用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題，從有好奇心走向數(shù)學(xué)思考，進(jìn)而分析問(wèn)題、解決問(wèn)題。我們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)始于好奇，精于思考，成于堅(jiān)持。讓我們像科學(xué)家一樣思考，不斷提高自己的數(shù)學(xué)思維能力。

（指導(dǎo)教師：張滕越）