深化周期理解促進(jìn)思維生長(zhǎng)

■謝曉豐

三角函數(shù)的性質(zhì)是高考的重要考點(diǎn),周期性作為三角函數(shù)的性質(zhì)之一,有其自身的規(guī)律和特點(diǎn)。下面結(jié)合不同題型,分析三角函數(shù)的周期性問題的求解方法與技巧。

題型1:根據(jù)結(jié)論求三角函數(shù)的周期

題型2:根據(jù)周期的定義求三角函數(shù)的周期

例2 求下列函數(shù)的最小正周期。

點(diǎn)睛:求三角函數(shù)的周期常用兩種方法,一是定義法,二是圖像法。

題型3:函數(shù)的周期性與其他性質(zhì)之間的聯(lián)系

例3 已知函數(shù)f(x)是定義在R 上周期為2 的奇函數(shù),若f(0.5)=1,求f(1),f(3.5)的值。

解:(方法1)由已知可設(shè)函數(shù)f(x)=sin(πx),所以f(1)=sinπ=0,f(3.5)=

(方法2)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義在R 上周期為2的奇函數(shù),所以f(1)=f(1-2)=f(-1)=-f(1),即f(1)=0。

因?yàn)閒(0.5)=1,所以f(3.5)=f(3.5-4)=f(-0.5)=-f(0.5)=-1。

點(diǎn)睛:本題以抽象函數(shù)為載體,考查函數(shù)的周期性與奇偶性。

題型4:根據(jù)函數(shù)的周期性求參數(shù)的范圍

點(diǎn)睛:利用三角函數(shù)的周期性與單調(diào)性的關(guān)系,結(jié)合已知條件和圖像變換規(guī)律求出ω的臨界值,從而確定ω的取值范圍。