打破思維定式　促進(jìn)深度探究

孫磊

“包裝的學(xué)問(wèn)”是北師大版五年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)好玩中的一節(jié)綜合實(shí)踐課，本節(jié)課借助問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生綜合應(yīng)用表面積知識(shí)討論“多個(gè)相同的長(zhǎng)方體組合包裝時(shí)如何節(jié)約包裝紙”這個(gè)實(shí)際問(wèn)題，使學(xué)生在操作、探索中體會(huì)策略多樣化，感受優(yōu)化思想，發(fā)展空間觀念，樹立節(jié)約意識(shí)。在實(shí)際教學(xué)中，教師要關(guān)注新課標(biāo)倡導(dǎo)下的核心素養(yǎng)的發(fā)展，著重發(fā)展學(xué)生的推理意識(shí)、空間觀念與應(yīng)用意識(shí)，因勢(shì)利導(dǎo)幫助學(xué)生進(jìn)行推理、驗(yàn)證，同時(shí)建立思維困境，打破思維定式，促進(jìn)學(xué)生深度探究。

片段一：談話引入，復(fù)習(xí)舊知

師：生活中有很多物品需要包裝，如牛奶、鞋子、粽子等，如果你是商家，對(duì)于商品的包裝你會(huì)考慮哪些方面呢？

生1：包裝要牢固一些，材料要符合環(huán)保要求。

生2：包裝要美觀一些，顧客才會(huì)選購(gòu)。

生3：包裝要節(jié)省材料，不能過(guò)度包裝。

師：大家說(shuō)得很好，包裝的學(xué)問(wèn)大著呢！這節(jié)數(shù)學(xué)課我們就從節(jié)省包裝材料的角度來(lái)學(xué)習(xí)包裝的學(xué)問(wèn)。（板書課題）

師：生活中大家經(jīng)常喝牛奶，想一想包裝這樣一盒牛奶需要多大面積的包裝紙呢？（PPT出示一盒牛奶的圖片，見圖1）

生：牛奶盒是一個(gè)長(zhǎng)方體，我們可以利用長(zhǎng)方體的表面積公示來(lái)計(jì)算。長(zhǎng)方體的表面積=（長(zhǎng)×寬+長(zhǎng)×高+寬×高）×2。

師：從數(shù)學(xué)的角度來(lái)看，牛奶盒可以看作是一個(gè)長(zhǎng)方體，長(zhǎng)、寬、高分別是10 cm、4 cm、7 cm，請(qǐng)大家來(lái)算一算這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積。（教師根據(jù)學(xué)生的計(jì)算結(jié)果板書：（10×4+7×4+10×7）×2=276（cm2）

【思考】物品包裝的現(xiàn)象比較普遍，牛奶在學(xué)生的生活里比較常見，利用牛奶盒的包裝情境引入數(shù)學(xué)思考符合學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)。將牛奶盒抽象為一個(gè)長(zhǎng)方體，通過(guò)求包裝紙大小的過(guò)程，使學(xué)生感知到包裝的問(wèn)題不但是一個(gè)生活問(wèn)題，更是一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題。在這一環(huán)節(jié)，教師通過(guò)與學(xué)生的對(duì)話，有效喚醒了學(xué)生原有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)將生活問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題。教學(xué)中既引入了本節(jié)課所要探究的主題情境，又復(fù)習(xí)了長(zhǎng)方體表面積的計(jì)算方法，一盒牛奶表面積計(jì)算結(jié)果也為后續(xù)探索多盒牛奶組合包裝的方法奠定了基礎(chǔ)。

片段二：提出問(wèn)題，建立沖突

1.研究包裝兩盒牛奶的方案

師：兩盒牛奶，如果要包成一包，怎樣包才能節(jié)約包裝紙呢？（見圖2）同學(xué)們利用手中的長(zhǎng)方體試著擺一擺，看一看一共有幾種包裝方案。（同桌之間利用長(zhǎng)方體紙盒進(jìn)行操作。）

生1：我們找到了三種方案，分別是將7×10的面進(jìn)行重疊、4×10的面進(jìn)行重疊，還有4×7的面進(jìn)行重疊。

師：這幾個(gè)面大小不一樣，你能用簡(jiǎn)潔的話來(lái)說(shuō)出包裝方案嗎？

生2：分別是把兩個(gè)大面重疊、兩個(gè)中面重疊、兩個(gè)小面重疊。（見圖3）我們覺(jué)得把大面重疊最節(jié)省包裝紙。

【思考】將兩盒牛奶包成一包，打破了學(xué)生固有的根據(jù)一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高求表面積的認(rèn)識(shí)，需要學(xué)生在操作過(guò)程中調(diào)動(dòng)多種感官，羅列由兩個(gè)相同長(zhǎng)方體組合成新的長(zhǎng)方體后有可能產(chǎn)生的所有變化情況。為了掃除學(xué)生在語(yǔ)言表述上的障礙，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生將三種面概括為大、中、小面，有助于學(xué)生思考，便于學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)時(shí)敘述自己的方法。

2.初步發(fā)現(xiàn)重疊面積和表面積的關(guān)系

師：大家同意他的看法嗎？怎樣來(lái)證明呢？

生：同意！可以算出拼成的三個(gè)大長(zhǎng)方體的表面積各是多少平方厘米，再比一比大小。

師：小組分工算一算，然后在小組內(nèi)討論，看你發(fā)現(xiàn)了什么。（學(xué)生分工計(jì)算三種方案的表面積）

生1：我的計(jì)算方法是：

大面重疊：4+4=8（cm）

（10×7+7×8+10×8）×2=412（cm2）

中面重疊：7+7=14（cm）

（14×4+14×10+10×4）×2=472（cm2）

小面重疊：10+10=20（cm）

（20×7+20×4+4×7）×2=496（cm2）

我發(fā)現(xiàn)重疊大面最節(jié)約包裝紙。

生2：我是這樣算的：

大面重疊：276×2-7×10×2=412（cm2）

中面重疊：276×2-4×10×2=472（cm2）

小面重疊：276×2-7×4×2=496（cm2）

我發(fā)現(xiàn)重疊的面越大，就越節(jié)省包裝紙。

生3：也可以說(shuō)重疊的面越大，長(zhǎng)方體的表面積就越小。

師：你們的這個(gè)發(fā)現(xiàn)很重要?？磥?lái)包裝的學(xué)問(wèn)原來(lái)藏在這里。（板書：重疊的面越大，表面積就越小）

【思考】學(xué)生結(jié)合操作活動(dòng)能夠直觀地感受到將兩個(gè)最大的面重疊長(zhǎng)方體的表面積小，但這只是依賴觀察對(duì)比，缺乏深度思考。不同拼法會(huì)產(chǎn)生不同的包裝面積，而且具有變化規(guī)律，這些需要學(xué)生去證實(shí)自己的推斷，通過(guò)長(zhǎng)方體模型表面積的量化學(xué)生可以嘗試著解釋節(jié)省包裝紙的原因：兩個(gè)長(zhǎng)方體的表面積之和不變，重疊起來(lái)的面越大，露在外面的面積就越小。在這一環(huán)節(jié)，教師引導(dǎo)學(xué)生討論兩盒牛奶的三種包裝方案，設(shè)置認(rèn)知沖突，借助數(shù)據(jù)驗(yàn)證促進(jìn)學(xué)生有序思考，初步形成節(jié)約包裝紙方案的策略。

片段三：?jiǎn)栴}延伸，打破思維定式

1.研究包裝四盒牛奶的方案

師：將四盒牛奶包成一包，怎樣包才能節(jié)約包裝紙呢？（見圖4）我們先利用手中的長(zhǎng)方體擺一擺，研究有幾種包裝方案？（四人小組合作，尋求不同的方案）

生1：經(jīng)過(guò)研究發(fā)現(xiàn)，我們可以把6個(gè)大面重疊、6個(gè)中面重疊、6個(gè)小面重疊。

生2：還有4個(gè)大面4個(gè)中面重疊、4個(gè)大面4個(gè)小面重疊、4個(gè)中面4個(gè)小面重疊，一共6種不同的方案。（根據(jù)學(xué)生匯報(bào)相機(jī)出示，見圖5）

【思考】由探討兩盒牛奶到探討四盒牛奶的包裝面積，包裝方案復(fù)雜了很多，打破了學(xué)生原有的思維定式。除了常規(guī)的大面重疊、中面重疊、小面重疊，又多了4個(gè)大面4個(gè)中面重疊、4個(gè)大面4個(gè)小面重疊、4個(gè)中面4個(gè)小面重疊，一共6種不同的方案。學(xué)生獨(dú)立探究的困難較大，在這里通過(guò)合作學(xué)習(xí)的方式，讓學(xué)生充分地利用學(xué)具擺一擺、試一試，在探討交流中相互補(bǔ)充完善6種包裝方案，既培養(yǎng)學(xué)生有序思考的習(xí)慣，又培養(yǎng)了學(xué)生的空間觀念。

2.深入理解重疊面積和表面積的關(guān)系

師：這么多包裝方案，哪一種才能做到節(jié)約包裝紙呢？你是怎么想的？

生1：一定是6個(gè)大面重疊最節(jié)約包裝紙。重疊的面越大，表面積就越小。

生2：不一定。還有的方案重疊了8個(gè)面，也有可能更加節(jié)約包裝紙。

師：我們換個(gè)思路。不能確定哪種方案最節(jié)約包裝紙，能不能排除不節(jié)約包裝紙的方案？

生3：6個(gè)中面重疊、6個(gè)小面重疊沒(méi)有6個(gè)大面重疊的面積大，可以排除。

生4：4個(gè)大面4個(gè)小面重疊、4個(gè)中面4個(gè)小面重疊也不如4個(gè)大面4個(gè)中面重疊的面積大，所以也可以排除。

師：那么“6大”和“4大4中”哪種拼法重疊的面積大呢？（PPT出示圖6）請(qǐng)大家在小組內(nèi)研究一下。

生5：“6大”重疊的面積是7×10×6=420（cm2），“4大4中”重疊的面積是7×10×4+10×4×4=440（cm2），“4大4中”這種拼法重疊的面積更大一些，也更節(jié)約包裝紙。

師：有沒(méi)有更簡(jiǎn)便的方法呢？

生6：“6大”和“4大4中”比較，都包含“4大”，其實(shí)只需要比較“2大”和“4中”哪種拼法重疊的面積大，也就是“1大”和“2中”比大小?！?大”的面積是7×10=70（cm2），“2中”的面積是4×10×2=80（cm2），所以還是“4大4中”這種拼法更加節(jié)約包裝紙。

生7：可以不用計(jì)算，直接用長(zhǎng)方體1個(gè)大面和2個(gè)中面比一比，也能夠發(fā)現(xiàn)2個(gè)中面的面積合起來(lái)大于1個(gè)大面的面積。

師：看來(lái)我們也可以不用算，借助推理得到結(jié)論。你有什么新的發(fā)現(xiàn)？

生8：研究包裝的方案時(shí)，只把大面重疊不一定最節(jié)約包裝紙，最終要看重疊的總面積大小。

師：那之前的結(jié)論應(yīng)怎樣修改、完善呢？

生9：應(yīng)該是重疊的面積越大，長(zhǎng)方體的表面積就越小。

（教師完善板書）

【思考】借助原有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生能直觀感受到6個(gè)大面重疊肯定比6個(gè)中面或者6個(gè)小面重疊更節(jié)省包裝紙。但還有三種包裝方案又是不同大小的面產(chǎn)生的新的組合方式，這樣通過(guò)問(wèn)題的延伸，出現(xiàn)了新的認(rèn)知沖突：除了重疊最大的面，還有一種情況是重疊面的數(shù)量多，最終將問(wèn)題的解決指向：重疊的面積最大，才最節(jié)約包裝紙。在解決這個(gè)問(wèn)題時(shí)如果延用驗(yàn)證兩盒牛奶的包裝方案必然計(jì)算量很大，一旦陷入煩瑣的計(jì)算，學(xué)生的推理思考能力必然被削弱。在這一環(huán)節(jié)，教師要培養(yǎng)學(xué)生有序思考、合理分類、化繁為簡(jiǎn)的思維習(xí)慣，借助操作、推理、簡(jiǎn)化計(jì)算，打破學(xué)生的思維定式，強(qiáng)化“重疊的總面積大小決定包裝的面積的大小”這一結(jié)論，發(fā)展學(xué)生的推理意識(shí)和空間觀念。

片段四：應(yīng)用拓展，走向生活

師：通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你們有什么收獲呢？

生1：我知道了多個(gè)長(zhǎng)方體包裝成一包時(shí)，重疊的面積越大，長(zhǎng)方體的表面積就越小。

生2：解決問(wèn)題的時(shí)候有多種方案，要找到最便捷的方案。

生3：包裝物品時(shí)我們既要節(jié)約包裝紙，還要注意保護(hù)環(huán)境。

師：大家說(shuō)得很好！生活中不同的物品有不同的包裝方案，但都包含數(shù)學(xué)的智慧，用數(shù)學(xué)的眼光看待包裝的問(wèn)題，你會(huì)有不一樣的發(fā)現(xiàn)。

【思考】數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，最終也應(yīng)用于生活，通過(guò)對(duì)多個(gè)長(zhǎng)方體組合包裝的問(wèn)題探討，學(xué)生能感知到包裝中的數(shù)學(xué)思考價(jià)值。包裝不僅僅是一個(gè)生活中的問(wèn)題，更是一個(gè)具有實(shí)用價(jià)值的數(shù)學(xué)問(wèn)題。學(xué)生在課堂中的收獲可以延伸到生活中，應(yīng)用這樣的規(guī)律可以解決很多生活中節(jié)約空間或者節(jié)約包裝面積的實(shí)際問(wèn)題。我們可以用數(shù)學(xué)的眼光來(lái)觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維思考世界，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界。學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升，必須建立在深度探究的基礎(chǔ)上。在認(rèn)知建立與打破的不斷迭代中，真實(shí)的學(xué)習(xí)才能發(fā)生，學(xué)生才能真正提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

編輯：陳鮮艷