聯(lián)合VMD和Shearlet變換的去噪方法研究

聶 榮，許輝群，趙椏松

(長江大學(xué) 地球物理與石油資源學(xué)院,湖北 武漢 430100)

1 引言

隨機(jī)噪聲壓制是地震數(shù)據(jù)處理的重要環(huán)節(jié),目前的方法大致分為空間域壓制和變換域壓制,信號(hào)與噪聲在特定域中具有能夠區(qū)分二者不同的特征,上述兩類方法本質(zhì)都是依據(jù)此特征進(jìn)行信噪分離[1-2]。地震信號(hào)往往都是非平穩(wěn)、非線性信號(hào),傳統(tǒng)的時(shí)頻方法具有一定的局限性。因此,Huang等[3]在1998年提出希爾伯特黃變換(Hilbert-Huang,HHT)。其中,經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(Empirical Mode Decomposition,EMD)是HHT方法中的一個(gè)重要步驟,通過EMD將信號(hào)分解為多個(gè)本征模態(tài)函數(shù)(Intrinsic Mode Function,IMF)和一個(gè)殘差信號(hào),對(duì)IMF進(jìn)行Hilbert變換可以得到瞬時(shí)信號(hào)[4-5]。近年來有大量學(xué)者對(duì)EMD方法進(jìn)行改進(jìn),Wu等[6]在2009年提出了集合經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸?Ensemble Empirical Mode Decomposition,EEMD)方法,一定程度上緩解了EMD分解出現(xiàn)的模態(tài)混疊現(xiàn)象;Torres等[7]通過改進(jìn)EEMD方法,提出了聯(lián)合互補(bǔ)集合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(Complementary Ensemble Empirical Mode Decomposition,CEEMD)方法,有效地解決了EEMD加噪去除不干凈的問題。EMD方法目前存在易受到噪聲的影響、出現(xiàn)模態(tài)混疊,沒有完整的數(shù)學(xué)推導(dǎo)等問題[8]。在2014年,Dragomiretskiy 等[9]提出變分模態(tài)分解(Variational Mode Decomposition,VMD)算法,EMD是一種遞歸分解的方法,而VMD與其不同,是一種完全非遞歸的方法,其通過不斷迭代尋找出最適合的解,確定IMF分量和中心頻率,因此VMD方法能較好解決EMD方法存在的問題[10]。

VMD方法能自適應(yīng)地分解信號(hào),然后通過重構(gòu)IMF信號(hào),得到去噪后的信號(hào)[11]。國內(nèi)外有大量學(xué)者利用信號(hào)重構(gòu)的思想開展去噪方法的研究,其中采用最多的是根據(jù)部分小波系數(shù)重構(gòu)信號(hào)。例如,Mallat等[12]采用該方法對(duì)分解后的信號(hào)進(jìn)行重構(gòu),獲得較好的去噪結(jié)果。Donho等[13]提出先利用小波分解獲得小波系數(shù),其次將該系數(shù)依設(shè)定的閾值進(jìn)行處理,最后根據(jù)處理結(jié)果獲取有效數(shù)據(jù)。選擇合適的閾值對(duì)小波變換處理含噪數(shù)據(jù)具有十分重要的作用,閾值如果不合適,會(huì)使小波變換處理復(fù)雜,且維度較高的數(shù)據(jù)存在一定的局限性。此外,多尺度幾何分析的其他常用方法還包括：Curvelet變換[14],Ridgelet變換[15]等,這些方法在處理去噪方面已取得了較好的結(jié)果。

Guo等[16]在2007年根據(jù)緊支撐框架構(gòu)造理論,提出了Shearlet變換,它具有多方向性、可稀疏表示的特性,能夠較好地?cái)[脫小波變換的局限性[17]。為提高地震資料的品質(zhì),筆者提出一種變分模態(tài)分解(VMD)和Shearlet變換聯(lián)合去噪的方法,該方法通過VMD將含噪的地震信號(hào)分解為一系列頻率的IMF分量,然后使用Shearlet變換對(duì)含有噪聲的IMF分量進(jìn)行去噪處理,最后對(duì)去噪后的IMF分量進(jìn)行重構(gòu)。通過合成信號(hào)與模型進(jìn)行對(duì)比分析,取得了較好的結(jié)果。

2 方法原理

2.1 VMD基本原理

變分模態(tài)分解算法(VMD)能夠有效地解決EMD算法中的模態(tài)混疊現(xiàn)象[18]。VMD具體方法如下：

1)將信號(hào)f(t)用式(1)分解為K個(gè)模態(tài)分量uk(t),uk(t)定義為一組調(diào)幅-調(diào)頻信號(hào),即

(1)

uk(t)=Ak(t)cos(φk(t))

(2)

式(1)和式(2)中,Ak(t)為振幅;φk(t)為相位函數(shù),非單調(diào)遞減,變化速度遠(yuǎn)大于Ak(t),瞬時(shí)頻率為ωk(t)=φk(t)′。

2)設(shè)模態(tài)分量IMF是有限帶寬的(在中心頻率ωk(t)附近),則通過估計(jì)每個(gè)IMF的帶寬建立帶寬之和最小的變分約束公式,即

(3)

3)引入懲罰因子α和Lagrange算子λ(t),將上述問題從“有約束”變?yōu)椤盁o約束”變分問題,如式(4)所表示：

(4)

4)采用傅里葉變換,求取二次優(yōu)化問題的頻域解更新公式。模態(tài)函數(shù)更新、中心頻率的更新和拉格朗日乘子的更新如式(5)～式(7)所示：

(7)

5)根據(jù)傅里葉逆變換,可以將式(5)從頻域轉(zhuǎn)變?yōu)闀r(shí)域,獲得各IMF分量的時(shí)域信號(hào)uk(t)。

2.2 Shearlet變換

Shearlet變換將傳統(tǒng)的仿射系統(tǒng)和合成小波理論相結(jié)合[19],通過對(duì)基函數(shù)的縮放、剪切和平移等放射變換來生成具有不同特征的Shearlet函數(shù)。當(dāng)n=2時(shí)(n表示維數(shù)),Shearlet函數(shù)定義如下[17]：

(8)

式中,SAB(ψ)是合成小波;l、m、n分別表示尺度、剪切和平移參數(shù);ψ∈L2(R2)表示合成仿射系統(tǒng)中的元素。W和V都是2×2的可逆矩陣,且|detV|=1。W與V分別表示尺度矩陣和剪切矩陣,其中前者主要是控制Shearlet變換的尺度,后者是控制Shearlet變換的方向。對(duì)任意w>0,v∈R,可得尺度矩陣W和剪切矩陣V,如下：

(9)

當(dāng)w=4,v=1時(shí),即

其形式就是Shearlet,w為尺度參數(shù),v為剪切參數(shù)。

對(duì)任意(ξ1,ξ2)∈D0,令

都有：

(10)

(11)

式(11)中,l≥0,-2l≤m≤2l-1,n∈Z2。

(12)

2.3 VMD和Shearlet變換聯(lián)合去噪

傳統(tǒng)的VMD去噪方法在對(duì)地震信號(hào)進(jìn)行去噪處理時(shí),通過信號(hào)分解獲得一系列頻率的模態(tài)分量,將分解后的K個(gè)模態(tài)分量依據(jù)頻率高低進(jìn)行劃分,一般認(rèn)為信號(hào)中的隨機(jī)噪聲都處在頻率較高的部分,所以在利用該方法進(jìn)行去噪處理時(shí),會(huì)將K個(gè)模態(tài)分量中的高頻部分直接去除,進(jìn)而致使部分含在高頻部分中的有效信息丟失。鑒于上述問題,筆者提出VMD和Shearlet變換聯(lián)合去噪的方法,該方法的主要內(nèi)容是通過Shearlet變換對(duì)含有噪聲的分量進(jìn)行去噪處理,其次將去噪后的分量進(jìn)行重構(gòu),最終達(dá)到去噪的目的。具體去噪流程如圖1所示[20]。

圖1 去噪流程Fig.1 Denoising flow diagram

3 理論模型分析

3.1 合成信號(hào)驗(yàn)證

設(shè)計(jì)由10 Hz、30 Hz和120 Hz的諧波信號(hào)構(gòu)成的合成信號(hào),通過測試對(duì)VMD算法與傳統(tǒng)EMD方法進(jìn)行對(duì)比分析,驗(yàn)證VMD的優(yōu)勢(shì)所在。該合成信號(hào)由三個(gè)簡單諧波信號(hào)與噪聲合成,如式(14)所示[21]：

(14)

式中,t∈[0,1];ynoise表示隨機(jī)噪聲。圖2(a)為合成信號(hào)(自上而下為10 Hz諧波信號(hào)、30 Hz諧波信號(hào)、120 Hz諧波信號(hào)、合成信號(hào)和含噪的合成信號(hào))及其頻譜圖,圖2(b)是EMD分解的結(jié)果及其對(duì)應(yīng)的頻譜,圖2(c)是VMD分解的結(jié)果及其對(duì)應(yīng)的頻譜。在分解效率方面,VMD僅通過4個(gè)分量即分解出三個(gè)頻率成分和噪聲,而傳統(tǒng)的EMD方法分解7個(gè)IMF分量(最后一個(gè)分量為殘差)才將10 Hz成分完全分解(圖2b中黑色框);在精度方面,VMD分解的每一個(gè)分量都準(zhǔn)確定位了合成信號(hào)的各頻率成分,而EMD分解中存在一些無效成分,由此也可證明對(duì)諧波合成信號(hào),VMD具有明顯的效率和精度優(yōu)勢(shì)。

上述測試結(jié)果表明,VMD去噪方法的效果相較EMD具有一定優(yōu)勢(shì)。進(jìn)一步驗(yàn)證了VMD算法與Shearlet變換聯(lián)合去噪方法有效性。對(duì)式(15)分別進(jìn)行VMD去噪、小波去噪以及VMD和Shearlet變換聯(lián)合去噪,通過重構(gòu)信號(hào)及其頻譜對(duì)比(圖3)可知,圖3(b)VMD去噪雖然較好地恢復(fù)了有效信號(hào),但仍存在較多噪聲;而圖3(c)小波去噪通過自適應(yīng)選取合適閾值對(duì)信號(hào)進(jìn)行去噪并重構(gòu),其中雖然保留多數(shù)有效信號(hào),使得大量噪聲被去除,但同時(shí)也將高頻有效信號(hào)去除;圖3(d)通過VMD和Shearlet變換聯(lián)合去噪,不僅去除了大量噪聲,并且使得有效信號(hào)得到了極大的保護(hù)。通過信噪比值量化對(duì)比(表1),也證明該方法在抑制噪聲上具有一定的優(yōu)勢(shì)。

圖2 不同方法分解前后的合成信號(hào)及頻譜Fig.2 Synthetic signal and spectrogram before and after decomposition by different methods

圖3 不同方法去噪前后信號(hào)及其頻譜對(duì)比Fig.3 Signal and spectrum comparison before and after denoising by different methods

表1 數(shù)據(jù)去噪效果對(duì)比

3.2 楔狀體模型

為驗(yàn)證本文方法的有效性,設(shè)計(jì)如下楔狀體模型(圖4),該模型正演參數(shù)如下：地震子波頻率30 Hz,速度分別為：2 500 m/s、2 700 m/s、2 500 m/s,密度分別為：2.2 g/cm3、2.4 g/cm3、2.2 g/cm3。

以30 Hz雷克子波作為震源子波,與反射系數(shù)褶積合成地震剖面如圖4的楔狀體模型(圖5a為圖4添加10 dB隨機(jī)噪聲后的正演記錄)所示,采樣點(diǎn)為120,道數(shù)120,楔狀體模型的頂、底反射系數(shù)分別為0.08和-0.08。圖5是模型及相關(guān)處理方法的對(duì)比圖,通過對(duì)比小波去噪方法和VMD與Shearlet變換聯(lián)合方法對(duì)楔狀體模型處理的結(jié)果(圖5b和圖5c)可以看出,后者對(duì)旁瓣效應(yīng)也有一定的壓制。其中VMD分解的K值的確定是通過中心頻率法確定,圖4是由單頻子波構(gòu)成;圖6是圖5(a)中第35道和第70道數(shù)據(jù)進(jìn)行VMD分解及其頻譜的結(jié)果,根據(jù)該結(jié)果可以確定采用本文方法時(shí),將K設(shè)置為2即可將單個(gè)頻率和噪聲分解。

3.3 實(shí)際數(shù)據(jù)測試

進(jìn)一步驗(yàn)證該方法的適用性,對(duì)含隨機(jī)噪聲的實(shí)際地震資料進(jìn)行測試。含噪地震剖面如圖7(a)所示,該數(shù)據(jù)道數(shù)為110、采樣點(diǎn)為401、采樣時(shí)間為1 ms。通過使用VMD去噪方法(圖7b)、小波去噪方法(圖7c)以及本文方法(圖7d)對(duì)含噪數(shù)據(jù)進(jìn)行處理,根據(jù)結(jié)果的綜合對(duì)比可知,采用VMD去噪方法,雖然能有效濾除部分噪聲,但同時(shí)濾除了部分有效信息,使得同相軸連續(xù)性較差;相較VMD方法,采用小波去噪獲得的結(jié)果較好,能濾除噪聲的同時(shí)保持同相軸的連續(xù)性,但仍有部分區(qū)域存在未去除的噪聲(圖中黑色圈中存在較明顯未濾除掉的噪聲)。相較前兩種方法,本文方法的去噪效果更明顯,不僅能最大限度地濾除噪聲,而且盡可能地保留了大量原始有效信息,同時(shí)也保持原始數(shù)據(jù)同相軸的連續(xù)性。

圖5 加噪信號(hào)正演記錄剖面對(duì)比Fig.5 Noise signal forward modeling record section comparison

圖6 圖5(a)隨機(jī)2道數(shù)據(jù)做VMD的結(jié)果及其頻譜Fig.6 The results and corresponding spectra of VMD using two random data channels in figure 5(a)

圖7 實(shí)際數(shù)據(jù)不同方法去噪結(jié)果Fig.7 Demising results of actual data by different methals

4 結(jié)論

本文構(gòu)建VMD和Shearlet變換聯(lián)合去噪方法,其利用了變分模態(tài)分解算法分解一系列不同中心頻率分布的模態(tài)分量,避免了EMD分解過程中存在模態(tài)混疊的缺陷,然后通過具有多尺度和多方向特征的Shearlet變換,對(duì)模態(tài)分量進(jìn)行噪聲去除,在做去噪處理的同時(shí)盡可能保留有效信息,提高地震數(shù)據(jù)的信噪比。模型測試結(jié)果表明該方法可以去噪,且較傳統(tǒng)方法具有一定的優(yōu)勢(shì),信噪比和均方誤差均可反映其效果。進(jìn)一步運(yùn)用實(shí)際資料證實(shí)了方法的實(shí)用性,但針對(duì)更為復(fù)雜地震地質(zhì)條件的實(shí)際資料有待進(jìn)一步驗(yàn)證方法的普適性。