小球在非固定凹槽中的下滑時(shí)間研究

陳 勝 楊爍涓 楊 慶

(1. 電子科技大學(xué),四川 成都 611731; 2. 邵東市城區(qū)第三初級(jí)中學(xué),湖南 邵陽(yáng) 422899;3. 成都七中,四川 成都 610042)

球槽模型中,如果軌道固定不動(dòng),小球沿旋輪線軌道從端點(diǎn)到最低點(diǎn)的下滑時(shí)間最短,并與自身質(zhì)量無(wú)關(guān).然而,當(dāng)接觸面光滑且凹槽形狀較為復(fù)雜時(shí),例如2023年新課標(biāo)Ⅰ卷物理第15題考查小球在橢圓形軌道中的相對(duì)運(yùn)動(dòng),小球的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)將受自身質(zhì)量、凹槽質(zhì)量及凹槽形狀等因素的影響,呈現(xiàn)出較為特殊的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象.

1 模型及問(wèn)題

例1.如圖1所示,在光滑水平地面上放置一個(gè)質(zhì)量為M的勻質(zhì)光滑凹槽,其軌道形狀函數(shù)為y=

圖1 球槽模型示意圖f(x),凹槽的開(kāi)口寬度為2a,深度為b.質(zhì)量為m的小球從軌道左端點(diǎn)由靜止開(kāi)始下滑,整個(gè)過(guò)程凹槽不翻轉(zhuǎn),重力加速度為g,求小球下滑到凹槽最低點(diǎn)的時(shí)間.

2 公式推導(dǎo)

以凹槽最低點(diǎn)為原點(diǎn),建立非慣性坐標(biāo)系xOy,其中x和y為小球相對(duì)于槽的位置,取向右為速度和位移正方向.vm和vM分別為小球和凹槽相對(duì)于地面的速度,xm和xM分別為小球和凹槽相對(duì)地面的位移.

小球下降高度b-y時(shí),根據(jù)能量守恒,小球的重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為小球和凹槽的動(dòng)能,可得

(1)

由于地面光滑,小球凹槽系統(tǒng)在水平方向上的動(dòng)量守恒,

mvx+MvM=0.

(2)

將式(2)對(duì)時(shí)間進(jìn)行積分(等價(jià)于質(zhì)心不變定理)

mxm+MxM=0.

(3)

小球和凹槽的位移在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終遵從幾何關(guān)系

a+xm-xM=x.

(4)

由式(3)(4)得(1+m/M)xm=x-a,于是小球絕對(duì)速度的豎直分量為

(5)

聯(lián)立式(1)～(5),小球在(x,y)處的絕對(duì)速度的水平分量為

(6)

小球相對(duì)于凹槽的水平速度vx′為

(7)

于是小球從左端點(diǎn)到達(dá)凹槽最低點(diǎn)的時(shí)間為

(8)

等價(jià)于

其中y=f(x)與x=f-1(y)互為反函數(shù).

3 數(shù)值結(jié)果與分析

3.1 軌道一定

圖2 小球速度分量與其在凹槽中位置的關(guān)系曲線(a) vx-x; (b) vy-x.[圖中小框中為t-M/m曲線,與圖3(b)一致]

隨著M/m的增大,vx-x曲線逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),小球到達(dá)凹槽相同位置的速度增大.曲線之間間距逐漸減小,對(duì)應(yīng)的下滑時(shí)間t收斂于凹槽固定時(shí)小球從端點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)的時(shí)間.然而,從t-M/m圖可知,M/m增大將使得vx和t同時(shí)增加,于是小球速度越大,并不一定導(dǎo)致下滑時(shí)間更短.這是因?yàn)樾∏蚺c凹槽處于相對(duì)運(yùn)動(dòng),小球在凹槽中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間取決于小球與凹槽之間的速度差值(相對(duì)速度),而與小球的絕對(duì)速度無(wú)關(guān).此外,由動(dòng)量守恒定律可知,當(dāng)小球向右運(yùn)動(dòng)時(shí),凹槽將向左運(yùn)動(dòng),小球相對(duì)凹槽的速度將增加,從而減少了小球到達(dá)相同位置所需的時(shí)間.

當(dāng)小球與凹槽的質(zhì)量相差不大時(shí),它們之間的相互作用將顯著影響小球的運(yùn)動(dòng).一般來(lái)說(shuō),M/m越大,凹槽對(duì)小球的約束力和反作用力也較大,導(dǎo)致小球“慢”下來(lái),做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng).同時(shí)vx增大vM減小,兩者之間的相對(duì)速度減小,小球的下滑時(shí)間增加,具體時(shí)間由M/m比值決定,而其中M起主要影響.結(jié)合vy-x圖進(jìn)行分析,同一位置處的vy逐漸減小,與vx的定性關(guān)系完全相反,并且vy-x曲線呈現(xiàn)下凹形狀,小球豎直方向經(jīng)歷先加速再減速的過(guò)程,且vy的最大值隨M/m的增大而減小,速度發(fā)生轉(zhuǎn)折的x值也更靠近端點(diǎn),這兩個(gè)因素都使得小球下滑時(shí)間增加.

3.2 質(zhì)量比一定

圖3 (a) 3種不同軌道形狀圖及(b)下滑時(shí)間和M/m的關(guān)系曲線

4 總結(jié)與反思

本文基于一道高考物理壓軸題進(jìn)行拓展分析,探究了具有較特殊形狀的球槽模型中的相對(duì)運(yùn)動(dòng),并利用公式和圖像法得出：凹槽和小球的質(zhì)量比越大,凹槽軌道的形狀越彎曲,小球從端點(diǎn)下滑到軌道最低點(diǎn)的時(shí)間就越短.因此,教師在教學(xué)中不能僅局限于經(jīng)典結(jié)構(gòu),還應(yīng)該學(xué)會(huì)拓展思維,延伸模型的應(yīng)用范圍,并掌握問(wèn)題背后的物理原理和機(jī)制,以進(jìn)行合理的分析.同時(shí)教師不僅要教導(dǎo)學(xué)生解題步驟,還可以借助作圖軟件或?qū)嶒?yàn)等手段,讓學(xué)生直觀感受到相對(duì)運(yùn)動(dòng)背后的物理圖像,以加深他們對(duì)此物理概念的理解.只有這樣,學(xué)生才能擁有更廣泛的認(rèn)知,更好地理解答案的來(lái)源,從而提高物理學(xué)習(xí)的效果和質(zhì)量.