數(shù)學(xué)建模助力哈爾濱工業(yè)大學(xué)化工專業(yè)“新工科”建設(shè)

胡興誠，周欣，徐平

哈爾濱工業(yè)大學(xué)化工與化學(xué)學(xué)院，哈爾濱 150001

1 “新工科”背景下推動(dòng)學(xué)科交叉融合的重要性

高等工程教育在我國高等教育中占有重要的地位。深化工程教育改革、建設(shè)工程教育強(qiáng)國、加快工程教育改革創(chuàng)新，對(duì)服務(wù)和支撐我國經(jīng)濟(jì)轉(zhuǎn)型升級(jí)有重大意義[1]。2017年2月，教育部召開高等工程教育發(fā)展戰(zhàn)略研討會(huì)并深入探討了“新工科”的內(nèi)涵特征與建設(shè)路徑，針對(duì)新型工程領(lǐng)域科技人才的快速培養(yǎng)，推出高校“新工科”教學(xué)改革計(jì)劃。“新工科”教改要深刻把握三個(gè)要點(diǎn)：新專業(yè)、專業(yè)的新要求、交叉融合再出新[2]。與新專業(yè)相比，傳統(tǒng)工科專業(yè)需要在專業(yè)改革上增加深入的思考和實(shí)際的行動(dòng)。哈爾濱工業(yè)大學(xué)(以下簡(jiǎn)稱“哈工大”)化工學(xué)科成立于20世紀(jì)30年代，具有悠久的歷史和豐富的學(xué)術(shù)成果。為了滿足未來產(chǎn)業(yè)需求，加快培養(yǎng)新興領(lǐng)域工程科技人才，專業(yè)培養(yǎng)模式的轉(zhuǎn)型和升級(jí)是必要的。針對(duì)“新工科”背景下交叉融合再出新的要點(diǎn)，筆者以哈工大化工專業(yè)“新工科”建設(shè)為例，通過具體的案例介紹如何將數(shù)學(xué)建模與化工專業(yè)交叉融合，探索培養(yǎng)學(xué)生的新機(jī)制及推進(jìn)“新工科”發(fā)展的有效方法。

2 數(shù)學(xué)建模與化工學(xué)科的交叉融合再出新

數(shù)學(xué)建模是利用數(shù)學(xué)語言對(duì)實(shí)際問題予以定性或者定量描述的過程，是將復(fù)雜問題抽象化、簡(jiǎn)單化的過程。參加數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽能拓展大學(xué)生的科研視野，培養(yǎng)創(chuàng)造精神及合作意識(shí)，極大地提升大學(xué)生的綜合素質(zhì)。同時(shí)，數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽作為一座連通數(shù)學(xué)與其他多門學(xué)科的橋梁，其選題一般源自科學(xué)和工程技術(shù)、人文和社會(huì)科學(xué)等領(lǐng)域經(jīng)適當(dāng)簡(jiǎn)化處理后的實(shí)際問題，具有很強(qiáng)的靈活性與應(yīng)用性。學(xué)生通過對(duì)競(jìng)賽問題的討論和分析，搜集資料，提出經(jīng)得起實(shí)踐檢驗(yàn)的新觀點(diǎn)、新思路、新方案來解決實(shí)際問題，是培養(yǎng)大學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)的重要途經(jīng)[3,4]。這類競(jìng)賽一般要求參賽者根據(jù)題目的要求，完成一篇涵蓋模型的假設(shè)，模型的建立與求解，模型的分析與檢驗(yàn)，模型的評(píng)價(jià)、改進(jìn)和推廣等內(nèi)容的論文，參賽過程幾乎模擬了科學(xué)研究的一般過程，可以促進(jìn)大學(xué)生分析解決問題的能力和抽象化思維，對(duì)培養(yǎng)大學(xué)生知識(shí)的融會(huì)貫通能力、計(jì)算機(jī)軟件的綜合應(yīng)用能力、專業(yè)論文的撰寫能力、團(tuán)隊(duì)協(xié)作和交流能力有重要的意義。要想把化工專業(yè)學(xué)懂、學(xué)透，就必不可少需要掌握數(shù)學(xué)建模的知識(shí)，尤其是數(shù)學(xué)建模中涉及的極限思想、發(fā)散思想與類比思想的綜合應(yīng)用，對(duì)化學(xué)相關(guān)專業(yè)的學(xué)習(xí)大有益處[5,6]。

掌握一定數(shù)學(xué)建模的基礎(chǔ)，有利于深化對(duì)化學(xué)專業(yè)理論知識(shí)的消化和應(yīng)用理解。在物理化學(xué)課程中學(xué)習(xí)與吸附熱力學(xué)相關(guān)的內(nèi)容時(shí)，會(huì)涉及根據(jù)吸附等溫線曲線判斷吸附類型(Langmuir吸附、Freundlich吸附、Temkin吸附等)，從而推測(cè)吸附的機(jī)理(化學(xué)吸附、物理吸附)。然而，在實(shí)際的科研工作中，由吸附熱力學(xué)的實(shí)驗(yàn)得到的往往是非連續(xù)的數(shù)據(jù)點(diǎn)。比如，尋找具有高穩(wěn)定性、動(dòng)力學(xué)快、安全性高且成本低的儲(chǔ)氫材料是氫氧火箭發(fā)動(dòng)機(jī)研發(fā)的重點(diǎn)問題。而在測(cè)試不同材料吸附氫及儲(chǔ)存氫的過程中，吸附曲線的繪制是不可避免的，要想繪制出吸附曲線并預(yù)測(cè)其吸附性質(zhì)，必須對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合。擬合算法就是一種重要的數(shù)學(xué)模型，其核心思想是建立一系列數(shù)學(xué)關(guān)系明確、形式簡(jiǎn)潔的曲線，從而對(duì)原本復(fù)雜的問題予以簡(jiǎn)化的描述，但是并不要求擬合曲線經(jīng)過每一個(gè)樣本點(diǎn)，只需保證誤差足夠小即可。如Sun等[7]在研究KOH改性的生物質(zhì)碳吸附劑對(duì)重金屬Cd2+的吸附時(shí)，對(duì)于不同吸附劑濃度下的平衡吸附量數(shù)據(jù)分別進(jìn)行了Langmuir擬合與Freundlich擬合，而要想判斷吸附類型，則需要考察擬合曲線的R2值。R2值越高，說明擬合效果越好，從而推測(cè)該吸附的吸附機(jī)理?？梢?，即使是教材結(jié)論的最基本應(yīng)用也會(huì)涉及線性擬合這種數(shù)學(xué)建模最常使用的手段，而線性擬合是機(jī)器學(xué)習(xí)的一種基本預(yù)測(cè)模型。

掌握一定數(shù)學(xué)建模的基礎(chǔ)，有利于運(yùn)用數(shù)學(xué)思想解決化工與化學(xué)的問題。例如，C4烯烴作為一種重要的化工原料被廣泛應(yīng)用于化工產(chǎn)品及醫(yī)藥生產(chǎn)。2021年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽B題以乙醇偶合制備C4烯烴為背景，要求通過對(duì)催化劑組合(即：Co負(fù)載量、Co/SiO2和羥基磷灰石(HAP)裝料比、乙醇濃度的組合)進(jìn)行設(shè)計(jì)，結(jié)合溫度對(duì)C4烯烴的選擇性與收率的影響，探索乙醇偶合制備C4烯烴的最佳工藝條件。該類型實(shí)驗(yàn)通常出現(xiàn)在本科畢業(yè)論文中，因其考慮的變量較多，學(xué)生通常需要2-3個(gè)月的時(shí)間才能完成相關(guān)實(shí)驗(yàn)，通過有限的數(shù)據(jù)得到定性的結(jié)論。但是這種結(jié)論主觀性比較強(qiáng)且沒有充實(shí)的數(shù)據(jù)，其結(jié)論往往不能橫向或縱向推廣，借鑒意義不大。但是如果利用數(shù)學(xué)建模手段，建立機(jī)器學(xué)習(xí)模型，我們可在大量實(shí)驗(yàn)結(jié)果基礎(chǔ)上，得出C4烯烴選擇性、乙醇轉(zhuǎn)化率分別與溫度、Co/SiO2和HAP的裝料比、Co負(fù)載量以及乙醇進(jìn)料濃度等因素的定量關(guān)系。這些定量數(shù)據(jù)要比單純通過少數(shù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果總結(jié)出的定性結(jié)論更可靠，其結(jié)論也更容易向其他反應(yīng)進(jìn)行擴(kuò)展。又例如，數(shù)學(xué)建?？捎糜诿枋鼍s塔中進(jìn)料熱狀態(tài)、回流比、操作壓力等參數(shù)對(duì)能耗的影響，明確各變量的權(quán)重，從而優(yōu)化化工生產(chǎn)設(shè)計(jì)。在優(yōu)化設(shè)計(jì)過程中，通常需要考慮以下步驟：(1) 建立熱平衡、傳質(zhì)平衡數(shù)學(xué)模型；(2) 以能耗、生產(chǎn)效率為目標(biāo)函數(shù)對(duì)變量進(jìn)行多元回歸分析；(3) 計(jì)算各變量的敏感度指數(shù)，確定權(quán)重；(4) 對(duì)目標(biāo)函數(shù)求解優(yōu)化；(5) 實(shí)驗(yàn)與驗(yàn)證。Li等[8]提出了采用多元遺傳算法對(duì)萃取精餾分離乙酸乙酯/乙醇/丁酮共沸混合物工藝的經(jīng)濟(jì)成本和氣體排放指數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化，并以操作壓力和夾帶劑流量作為變量。其優(yōu)化改進(jìn)結(jié)果與原工藝相比，氣體排放成本和運(yùn)行成本分別降低了20.94%和10.06%，火用效率提高了8.16%，并通過比較系統(tǒng)中不同控制結(jié)構(gòu)在擾動(dòng)作用下的能量消耗，發(fā)現(xiàn)CS2結(jié)構(gòu)能耗低于CS1結(jié)構(gòu)。由此可見，合理利用數(shù)學(xué)建模，可以在一定程度上指導(dǎo)化工、化學(xué)實(shí)驗(yàn)中的數(shù)據(jù)分析，為科研提供一種新的思路。

綜上所述，數(shù)學(xué)建模是一種將數(shù)學(xué)方法與技巧應(yīng)用于解決復(fù)雜的實(shí)際問題的過程。對(duì)于化工專業(yè)的學(xué)生而言，通過學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模可以幫助理解、分析和優(yōu)化化工生產(chǎn)過程、培養(yǎng)創(chuàng)新和工程實(shí)踐能力、提高學(xué)術(shù)研究的技能水平以及促進(jìn)跨學(xué)科知識(shí)的交叉應(yīng)用。

3 哈工大化工與化學(xué)學(xué)院在數(shù)學(xué)建模與化工專業(yè)融合中的探索

利用數(shù)學(xué)建模手段解決問題需要大量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。但是普通的實(shí)驗(yàn)得不到如此多的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，因此開展教改實(shí)驗(yàn)，是化工專業(yè)實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)建模與化學(xué)交叉融合的工作重點(diǎn)。在傳統(tǒng)的本科生有機(jī)化學(xué)實(shí)驗(yàn)中，如重結(jié)晶提純苯甲酸和樟腦、阿司匹林的合成、環(huán)己酮的制備等實(shí)驗(yàn)，甚至研究生在做一些合成催化劑的高級(jí)實(shí)驗(yàn)時(shí)，其合成條件及產(chǎn)物都是有明確結(jié)論的。在實(shí)踐教學(xué)過程中，大多數(shù)實(shí)驗(yàn)局限于驗(yàn)證功能，沒有給予學(xué)生發(fā)揮主觀能動(dòng)性的機(jī)會(huì)，這樣的實(shí)驗(yàn)只能促進(jìn)實(shí)驗(yàn)技能的提升，和真正的科研相差甚遠(yuǎn)，從而難以實(shí)現(xiàn)創(chuàng)新能力和工程實(shí)踐能力的培養(yǎng)。

改進(jìn)實(shí)驗(yàn)，可以嘗試讓一個(gè)年級(jí)的學(xué)生同時(shí)做一個(gè)實(shí)驗(yàn)，通過改變初始條件獲得實(shí)驗(yàn)變量和產(chǎn)率以及效率的關(guān)系，然后通過數(shù)學(xué)建模的知識(shí)，提出合理的假設(shè)，建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型予以描述，利用機(jī)器學(xué)習(xí)方法進(jìn)行擬合，從而預(yù)測(cè)哪些特征變量可以對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果以及材料性質(zhì)有明顯的作用，得到新的實(shí)驗(yàn)描述符，讓學(xué)生從“知道如何做一個(gè)實(shí)驗(yàn)”變?yōu)椤爸廊绾巫稣嬲膶?shí)驗(yàn)”。

當(dāng)然，在分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果之前，學(xué)生需要提前學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)建模有關(guān)的知識(shí)。哈工大化工與化學(xué)學(xué)院為了支持學(xué)生利用數(shù)學(xué)建模手段解決科學(xué)問題，在本科階段開設(shè)了“化學(xué)中的機(jī)器學(xué)習(xí)”課程和“機(jī)器學(xué)習(xí)虛擬仿真”實(shí)驗(yàn)，這些課程以Python語言為基礎(chǔ)，向?qū)W生介紹了當(dāng)今最流行的機(jī)器學(xué)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)和應(yīng)用，通過代碼實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)分析，以及通過數(shù)據(jù)為實(shí)驗(yàn)結(jié)果提供預(yù)測(cè)和定量結(jié)論。而在利用數(shù)學(xué)建模得到相應(yīng)結(jié)論后，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用經(jīng)典理論對(duì)求解結(jié)果進(jìn)行合理的解釋，從而加強(qiáng)后續(xù)的分析能力。例如：在化工生產(chǎn)設(shè)計(jì)優(yōu)化中建立的傳質(zhì)平衡模型，后續(xù)要利用質(zhì)量守恒原理和傳質(zhì)動(dòng)力學(xué)理論進(jìn)行相應(yīng)的解釋和驗(yàn)證。另外，學(xué)院還在每年7月份暑期組織對(duì)數(shù)學(xué)建模感興趣的同學(xué)成立建模小組，幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的全過程，讓同學(xué)了解數(shù)學(xué)建模并知道如何用數(shù)學(xué)建模知識(shí)應(yīng)用在化工基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)中。實(shí)驗(yàn)改革過程不是一朝一夕能完成的，需要學(xué)院從大局出發(fā)，整合學(xué)院教學(xué)資源，才能讓學(xué)生在進(jìn)入科研工作之前掌握真正的本領(lǐng)。

4 從競(jìng)賽參賽實(shí)例分析學(xué)科交叉融合的具體實(shí)施

工欲善其事，必先利其器?；瘜W(xué)實(shí)驗(yàn)是化工專業(yè)學(xué)生的必備專業(yè)技能，但是在得到數(shù)據(jù)之后如何建立合理的數(shù)學(xué)模型則需要進(jìn)行專業(yè)的培訓(xùn)以及參加競(jìng)賽才可以得到相應(yīng)能力的鍛煉。數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽是一種非常好的以賽代練掌握數(shù)學(xué)建模手段的方法，下面作者以帶隊(duì)參加2022年全國數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽為例介紹如何參加比賽以及賽前需要做哪些準(zhǔn)備和需要什么樣的知識(shí)儲(chǔ)備。

全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽采取通訊競(jìng)賽方式，在競(jìng)賽題目發(fā)布后，需在76小時(shí)內(nèi)向競(jìng)賽組委會(huì)提交一份包含問題分析、模型假設(shè)、模型的建立與求解、模型的分析與檢驗(yàn)、模型的改進(jìn)與推廣等板塊的論文作為評(píng)閱依據(jù)。整個(gè)競(jìng)賽可以分為賽前準(zhǔn)備階段、競(jìng)賽答題階段、賽后總結(jié)階段。下面筆者將結(jié)合2022年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的參賽實(shí)例闡述數(shù)學(xué)建模如何與化工交叉融合。

4.1 賽前準(zhǔn)備階段

團(tuán)隊(duì)在賽前需要進(jìn)行充分的溝通與交流，相互了解彼此的優(yōu)勢(shì)，以盡快明確分工，例如隊(duì)長(zhǎng)A負(fù)責(zé)數(shù)學(xué)建模、隊(duì)員B負(fù)責(zé)計(jì)算機(jī)編程、隊(duì)員C負(fù)責(zé)論文寫作。在確定各自分工后，就需要展開關(guān)于數(shù)學(xué)建模理論、數(shù)學(xué)建模軟件和論文寫作技巧的學(xué)習(xí)。

數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是化工專業(yè)的基石，在化工實(shí)踐探索中涉及的各種工藝計(jì)算和數(shù)據(jù)處理，例如各種熱量、物料衡算、動(dòng)力學(xué)模擬、擴(kuò)散傳質(zhì)機(jī)制的模擬等都離不開數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，因此數(shù)學(xué)基礎(chǔ)對(duì)化工起著重要支撐作用，這在以往文獻(xiàn)中也有報(bào)道[9,10]。參加數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽通常需要學(xué)生掌握的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)主要包括：微積分、線性代數(shù)以及概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)。數(shù)學(xué)建模理論主要包括評(píng)價(jià)類模型如層次分析法、TOPSIS法等；預(yù)測(cè)類模型包括如時(shí)間序列分析、灰色預(yù)測(cè)、擬合算法等；分類模型包括如Logistic回歸、Fischer判別分析等；此外還有方程模型、規(guī)劃模型、運(yùn)籌類模型等等。在“互聯(lián)網(wǎng)+”和大數(shù)據(jù)時(shí)代下，團(tuán)隊(duì)可充分利用在線優(yōu)質(zhì)教育資源展開學(xué)習(xí)，例如：大學(xué)生慕課、bilibili網(wǎng)站等。在利用數(shù)學(xué)建模對(duì)問題進(jìn)行求解時(shí)，可以從以下幾個(gè)方面來評(píng)價(jià)所選方法的合理性，包括模型的可靠性、精度、簡(jiǎn)易程度以及可擴(kuò)展性，以確保所建立的模型能夠準(zhǔn)確描述所要解決的實(shí)際問題，并且易于實(shí)現(xiàn)和使用。

在數(shù)學(xué)模型建立之后，就需要借助現(xiàn)代計(jì)算機(jī)技術(shù)對(duì)模型進(jìn)行求解，因而學(xué)習(xí)使用數(shù)學(xué)及相關(guān)的計(jì)算機(jī)軟件，培養(yǎng)計(jì)算機(jī)軟件的綜合應(yīng)用能力是必不可少的。例如：常用的編譯類軟件：Python、C++、Java等；求解多元線性回歸、聚類算法、時(shí)間序列分析等模型時(shí)常用的統(tǒng)計(jì)分析類軟件：Stata、SPSS、SAS等；求解微分方程、灰色關(guān)聯(lián)分析等模型時(shí)常用的數(shù)值計(jì)算類軟件：Mathematica、Matlab、Mathtool等；求解線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃等模型常用的數(shù)值規(guī)劃類軟件：Lindo、Lingo等。另外，在論文寫作的過程中，涉及到數(shù)據(jù)的可視化操作時(shí)，除了采用Python、Matlab等編程軟件進(jìn)行圖像繪制，還可能用到專業(yè)的繪圖軟件如Origin、Visio等。值得注意的是，在教研工作中，需要讓學(xué)生明確各類軟件的局限性，合理選擇軟件進(jìn)行求解。比如，SPSS軟件作為一種常用的統(tǒng)計(jì)分析工具，在解決化工生產(chǎn)問題中存在其局限性。例如：面對(duì)大規(guī)模的數(shù)據(jù)分析問題時(shí)，需要對(duì)數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性和完整性進(jìn)行評(píng)估，如果不對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，使數(shù)據(jù)存在缺失或誤差，會(huì)影響最終求解結(jié)果的準(zhǔn)確性。

關(guān)于論文寫作技巧主要是學(xué)習(xí)文獻(xiàn)檢索方法、明確寫作格式、積累寫作模板。數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的論文即答卷，是競(jìng)賽評(píng)定成績(jī)的唯一依據(jù)，是競(jìng)賽活動(dòng)成果的集中表現(xiàn)。因此，競(jìng)賽論文寫作是對(duì)專業(yè)論文撰寫能力的考驗(yàn)，可促進(jìn)大學(xué)生文獻(xiàn)檢索及綜述能力的發(fā)展[11]。面對(duì)復(fù)雜的實(shí)際問題，參賽隊(duì)伍僅有76小時(shí)的時(shí)間作答，因此前期需要進(jìn)行大量的文獻(xiàn)檢索，參考已有研究從而為問題的解決提供思路和方向。在競(jìng)賽過程中，不僅要會(huì)熟練地檢索中文數(shù)據(jù)庫如CNKI、萬方等，而且要學(xué)會(huì)檢索英文數(shù)據(jù)庫如Web of Science、Elsevier Science、EI工程索引等，并對(duì)文獻(xiàn)進(jìn)行整理、綜述，提煉出可以對(duì)本項(xiàng)研究起到支撐作用的要點(diǎn)。此外，由于文字表述清晰程度以及寫作格式都將納入閱卷評(píng)分的范圍，所以賽前關(guān)于競(jìng)賽論文撰寫的培訓(xùn)也潛移默化地增強(qiáng)了科研論文的寫作規(guī)范意識(shí)。因此，競(jìng)賽論文寫作，是科技論文寫作不可多得的前期訓(xùn)練，能使得撰寫專業(yè)論文的能力得到有效提升。

4.2 競(jìng)賽答題階段

賽題公布后，隊(duì)長(zhǎng)首先組織隊(duì)員針對(duì)每道題目進(jìn)行問題的初步分析，以及相應(yīng)的資料查詢，討論解題思路，綜合評(píng)估每道題目的難度和解決方案的可行性，最終選擇了C題——古代玻璃制品的成分分析與鑒別。題目的背景是基于古代玻璃制品的化學(xué)成分分析與類型鑒別，要求團(tuán)隊(duì)根據(jù)已提供的文物分類信息和相應(yīng)的主要化學(xué)成分所占百分比，分析不同類型的文物表面化學(xué)成分分布的規(guī)律以及對(duì)未知類型的文物進(jìn)行鑒定。該題目屬于考古學(xué)領(lǐng)域的文物化學(xué)成分分析與鑒定的問題，與化學(xué)專業(yè)息息相關(guān)，為化工與化學(xué)專業(yè)的學(xué)生提供了廣闊的創(chuàng)新空間。

例如，問題一要求對(duì)這些玻璃文物的表面是否風(fēng)化與其玻璃類型(高鉀、鉛鋇)、紋飾(A，B，C)和顏色(藍(lán)綠、淺藍(lán)等9種顏色)的關(guān)系進(jìn)行分析，由于因變量和自變量均為無序定性變量，因此考慮使用χ2檢驗(yàn)。根據(jù)因變量、自變量類別的個(gè)數(shù)、樣本容量以及期望頻數(shù)格子分布等因素，通過Python計(jì)算χ2檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的過程值可知，對(duì)于建立表面風(fēng)化-紋飾、表面風(fēng)化-顏色相關(guān)性分析的χ2檢驗(yàn)應(yīng)采用Pearson卡方值，而對(duì)于建立表面風(fēng)化-玻璃類型相關(guān)性分析的χ2檢驗(yàn)應(yīng)采用Yates校正卡方值，計(jì)算得出三者對(duì)應(yīng)的p值分別為0.083888、0.50665、0.011328，說明紋飾和顏色對(duì)于文物表面是否風(fēng)化沒有顯著性影響，而玻璃類型對(duì)于文物表面是否風(fēng)化存在顯著性影響，即文物表面的風(fēng)化情況對(duì)于不同玻璃類型有顯著差異性。通過繪制表面風(fēng)化與玻璃類型的交叉圖，如圖1所示，可知鉛鋇玻璃中表面風(fēng)化的比例為70%，高鉀玻璃中表面風(fēng)化比例為33.3%，前者明顯高于后者，也定量說明了與高鉀型相比，鉛鋇型玻璃更容易發(fā)生表面風(fēng)化。

圖1 表面風(fēng)化與玻璃類型的交叉圖

又例如，問題二要求依據(jù)附件數(shù)據(jù)分析高鉀玻璃、鉛鋇玻璃的分類規(guī)律，對(duì)于每個(gè)類別選擇合適的化學(xué)成分對(duì)其進(jìn)行亞類劃分，根據(jù)“物以類聚”的基本思想，可建立系統(tǒng)聚類模型，其流程是：采用組間平均連接法，使用歐式平方距離測(cè)量樣本之間的距離，繪制出相應(yīng)的聚類譜系圖，但是根據(jù)譜系圖直接確定聚類數(shù)量具有一定的主觀性，會(huì)使得模型解釋力下降，因此可根據(jù)肘部法則，計(jì)算各個(gè)類畸變程度之和，進(jìn)而求出所有類的畸變程度(即聚合系數(shù)J)，并通過聚合系數(shù)折線圖可大致估計(jì)出最優(yōu)的聚類類別數(shù)，依此對(duì)模型進(jìn)行優(yōu)化。

在求解模型時(shí)，利用SPSS軟件對(duì)高鉀型玻璃建立系統(tǒng)聚類模型，其生成聚類譜系如圖2所示。從譜系圖紅線標(biāo)注的位置可以看出，若類間平均距離越小，各個(gè)樣本的獨(dú)立性越強(qiáng)，其越難進(jìn)行分類，故聚類類別個(gè)數(shù)越多；相反，若類間平均距離越大，則涵蓋樣本數(shù)越多，其聚類類別個(gè)數(shù)越少。顯然，距離過大或過小都不是期望得到的結(jié)果，且人為選定距離進(jìn)行類別劃分存在一定主觀性，會(huì)使得聚類模型解釋力下降，因此我們將SPSS軟件中計(jì)算得到的各類聚合系數(shù)J值進(jìn)行數(shù)據(jù)處理后，繪制出聚合系數(shù)折線圖，如圖3所示。

圖2 聚類譜系圖

圖3 聚合系數(shù)折線圖

從圖3中可以看出，K值從1到3時(shí)，畸變程度變化最大。超過3以后，畸變程度變化顯著降低，折線的下降趨勢(shì)趨向平緩，因此可認(rèn)為肘部就是K= 3，故可將高鉀玻璃的亞分類的類別數(shù)設(shè)定為3，其劃分結(jié)果如表1所示。

表1 高鉀玻璃亞類劃分

結(jié)合各采樣點(diǎn)處化學(xué)成分含量的描述性統(tǒng)計(jì)結(jié)果和該點(diǎn)是否發(fā)生風(fēng)化，可歸納出亞類劃分的方法如表2所示。

表2 高鉀玻璃亞類劃分依據(jù)

因此，利用相同的策略也可以解決鉛鋇型玻璃的亞類劃分問題。

4.3 賽后總結(jié)階段

由于比賽時(shí)間緊湊，參賽者的能力也有限，在答題過程中難免會(huì)出現(xiàn)考慮不周全的情況，比如有的團(tuán)隊(duì)理解題意不足，沒有抓住和解決主要矛盾，導(dǎo)致?lián)熘ヂ閬G西瓜；有的團(tuán)隊(duì)對(duì)于某個(gè)子問題建立的模型不夠準(zhǔn)確，導(dǎo)致求解結(jié)果誤差大，牽一發(fā)而動(dòng)全身；有的團(tuán)隊(duì)由于時(shí)間匆忙，求解模型之后沒有對(duì)模型進(jìn)行靈敏度分析和穩(wěn)定性檢驗(yàn)，顧頭而不顧尾；有的團(tuán)隊(duì)甚至沒有按時(shí)完成賽題，寥寥數(shù)筆就草草收尾。因此團(tuán)隊(duì)在賽后應(yīng)該積極開展針對(duì)競(jìng)賽全過程的復(fù)盤與反思，閱讀當(dāng)屆優(yōu)秀獲獎(jiǎng)?wù)撐牟⑴c自己隊(duì)伍的參賽作品進(jìn)行對(duì)比，找差距、找短板，這樣積累了比賽經(jīng)驗(yàn)，更有益于下次參加數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽時(shí)的發(fā)揮與表現(xiàn)，類似的競(jìng)賽還有美國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽(MCM/ICM)、“深圳杯”數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽、東三省數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽等。本次比賽，作者帶的隊(duì)伍獲得了兩項(xiàng)全國數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽黑龍江省賽區(qū)一等獎(jiǎng)。參加比賽的過程是緊張的，但是比賽為學(xué)生打開了一扇門，讓他們知道了如何從紛雜的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象中看到事物的本質(zhì)，不僅培養(yǎng)了學(xué)生的科研素質(zhì)，也為撰寫科研論文及規(guī)劃科研路線提供了非常好的實(shí)踐機(jī)會(huì)。同時(shí)，在比賽后，幾名組員在各自專業(yè)實(shí)驗(yàn)或?qū)嵺`中體現(xiàn)了超出普通學(xué)生的科研能力，在工程實(shí)踐創(chuàng)新、知識(shí)融會(huì)貫通、計(jì)算機(jī)軟件綜合應(yīng)用、專業(yè)論文撰寫以及團(tuán)隊(duì)交流與協(xié)作等方面都得到了提高。這說明，適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)建模競(jìng)賽培訓(xùn)以及競(jìng)賽對(duì)化工專業(yè)“新工科”建設(shè)是非常有利的，這種學(xué)科之間的交叉融合也為哈工大在學(xué)校新百年培養(yǎng)更多的學(xué)術(shù)大師以及工業(yè)巨匠奠定了基礎(chǔ)。

5 結(jié)語

通過數(shù)學(xué)建模與化工學(xué)科的交叉融合，讓化工與化學(xué)專業(yè)的學(xué)生掌握一定數(shù)學(xué)建模的基礎(chǔ)，有利于深化對(duì)化學(xué)專業(yè)理論的知識(shí)消化和應(yīng)用理解，同時(shí)有利于運(yùn)用數(shù)學(xué)思想解決化工與化學(xué)的問題。通過開展活躍的教改實(shí)驗(yàn)，可以讓學(xué)生從“知道如何做一個(gè)實(shí)驗(yàn)”變?yōu)椤爸廊绾巫稣嬲膶?shí)驗(yàn)”，并且通過參加數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽“以賽代練”，從而培養(yǎng)學(xué)生的工程實(shí)踐能力和創(chuàng)新能力，對(duì)“新工科”教學(xué)改革有重要的指導(dǎo)意義。