一道2023年IMO不等式試題的解法與推廣

江智如 蔡 珺

福建省南平市高級(jí)中學(xué) (353000)

1 試題呈現(xiàn)

本試題是2023年第64屆IMO第4題．從an的表達(dá)式容易想到Cauchy-Schwarz不等式,可得an>n,等號(hào)不成立,于是a2023>2023,與試題結(jié)論相異,所以改變思路方向,考慮遞推關(guān)系式．

又an+1=

2 解法探究

解法1：(利用Cauchy-Schwarz不等式證明[1])

解法2：(利用數(shù)學(xué)歸納法證明)由分析可知a2023≥2023,而3034-2023=1011,故2023=2×1011+1,3034=3×1011+1．

下面先歸納證明:a2m+1≥3m+1,其中m=1,2,…,1011．

(i)當(dāng)m=1時(shí),a3=

=3,其中x1,x2,x3兩兩不等,故等號(hào)不成立．

又a3∈Z,故由整數(shù)的離散性可得a3≥4,所以原不等式成立．

(ii)假設(shè)m=k,k=1,2,…,1010時(shí),不等式成立,即a2k+1≥3k+1．那么,a2(k+1)+1=a2k+3=

所以,由(i)(ii)知,對(duì)m=1,2,…,1011,a2m+1≥3m+1均成立,因此,當(dāng)m=1011時(shí),a2023≥3034成立．

3 推廣

由解法2的證明過程,我們可以將m取值范圍推廣到全體正整數(shù),得到試題的推廣形式[2]:

結(jié)論：設(shè)x1,x2,…,xn,…,是一組兩兩不等的無窮正實(shí)數(shù)列,若對(duì)?n∈N*,an=

本結(jié)論是原試題的推廣,但使用范圍更廣．