一道數(shù)學奧林匹克選拔題的探究與推廣

鄭劍暉

福建省莆田第五中學 (351100)

本題內涵豐富,由之可得到一些有用的結論,并進一步變換出一系列數(shù)學競賽試題和數(shù)學問題.

結論3 設x,y,z是正實數(shù),且xy+yz+zx+2xyz=1,則x+y+z≥2(xy+yz+zx).

由以上結論還可以變換出一系列數(shù)學問題.

題1 (2014年羅馬尼亞數(shù)學競賽試題)已知x,y,z>0,且xyz+xy+yz+zx=4,求證:x+y+z≥3.

這就分別得到并證明了如下試題:

題7 (2004年地中海地區(qū)數(shù)學奧林匹克試題)已知x,y,z是正數(shù),且xy+yz+zx+2xyz=1,證明:2(x+y+z)+1≥32xyz.

題10 (2005年哈薩克斯坦數(shù)學奧林匹克試題)已知a,b,c>0,且abc=a+b+c+2,求證ab+bc+ca≥2(a+b+c).

題11 (1996年越南數(shù)學奧林匹克試題)設x,y,z∈R+,且xy+yz+zx+xyz=4,證明:x+y+z≥xy+yz+zx.